平面向量的基本性质

一、选择题 1.若向量a=（3，2），b=（0，－1），则向量2b－a的坐标是（ ）

A.（3，－4） B.（－3，4） C.（3，4） D.（－3，－4）

2.设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则OA?OB等于（ ）

A.

3 4 B.－

3 4 C.3 D.－3

3.若向量a=（1，1），b=（1，－1），c=（－1，2），则c等于（ ） A.－

331311a+b B.a－b C. a－b 222222D.－

31a+b 224.设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则

①（a·b）c－（c·a）b=0 ②|a|－|b|<|a－b| ③（b·c）a－（c·a）b不与c垂直 ④（3a+2b）（3a－2b）=9|a|2－4|b|2中，是真命题的有（ ） A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 5.已知向量a和b的夹角为120°，且|a|=2，|b|=5，则（2a－b）·a=_____.

10.若非零向量α、β满足|α+β|=|α－β|，则α与β所成角的大小为_____.

11.已知向量OA=（－1，2），OB=（3，m），若OA⊥AB，则m= . 6.设a=（m+1）i－3j，b=i+（m－1）j，（a+b）⊥（a－b），则m=_____. 7.已知a+b=2i－8j，a－b=－8i+16j，那么a·b=_____.

8、已知ABA．2

9、若平面向量与向量

A．

平面向量基本定理

2014年9月18日星期四

一、课前准备： 复习1: 共线向量定理: (思考：为什么限定 a 0 向量a (a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数 , 使b a.

?)

(若a 0,当b 0时， 不唯一；当b 0时， 不存在) 复习2 : 给定平面内任意两个向量e1 , e2 , 我们能否作出向量2e1 3e2 ?向 量 的 合 成

d 2e1 3e 2

e2 e1

d

2014年9月18日星期四

如: 已知 e1 , e2 , 是同一平面内的两个

不共线向量，a 是这一平面内的任一向量. 探究： a 与 e1 , e2 , 的关系

e1

想 一 想 ？

ae2

2014年9月18日星期四

学生活动：

OC OM ON 1OA 2 OB即

a 1 e1 2 e2Me1A

e1

a

C

e2

向 量 的 分 解

O

N

e2

B

2014年9月18日星期四

知识点一

平面向量基本定理a,

1. 如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量，

那么对于这一平面的任意向量

有且只有 一对实数 1 , 2 ,使 存 唯 在 性把不共线的向量 基底

a 1 e1 2 e2

一叫做表示这一平面内所有向量

平面向量基本定理

2014年9月18日星期四

一、课前准备： 复习1: 共线向量定理: (思考：为什么限定 a 0 向量a (a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数 , 使b a.

?)

(若a 0,当b 0时， 不唯一；当b 0时， 不存在) 复习2 : 给定平面内任意两个向量e1 , e2 , 我们能否作出向量2e1 3e2 ?向 量 的 合 成

d 2e1 3e 2

e2 e1

d

2014年9月18日星期四

如: 已知 e1 , e2 , 是同一平面内的两个

不共线向量，a 是这一平面内的任一向量. 探究： a 与 e1 , e2 , 的关系

e1

想 一 想 ？

ae2

2014年9月18日星期四

学生活动：

OC OM ON 1OA 2 OB即

a 1 e1 2 e2Me1A

e1

a

C

e2

向 量 的 分 解

O

N

e2

B

2014年9月18日星期四

知识点一

平面向量基本定理a,

1. 如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量，

那么对于这一平面的任意向量

有且只有 一对实数 1 , 2 ,使 存 唯 在 性把不共线的向量 基底

a 1 e1 2 e2

一叫做表示这一平面内所有向量

52向量空间的定义和基本性质

5.2向量空间的定义和基本性质

授课题目：5.2线性空间的定义和基本性质

教学目标：理解并掌握线性空间的定义及基本性质

授课时数：3学时

教学重点：线性空间的定义及基本性质

教学难点：性质及有关结论的证明

教学过程：

一、线性空间的定义

1. 引例―――定义产生的背景

例子． 设 , , Fn,a,b F则向量的加法和数与向量的乘法满足下述运算律.

（1） （2）( ) ( )

对 ，有 使 （ ） 0 （3） 零向量 有 （4）

（5）a( ) a a （6）(a b) a b

（7）(ab) a(b ) （8）1

这里 , , Fn,a,b F

2. 向量空间的定义－抽象出的数学本质

Def: 设V 是一个非空集合，其中的元素称为向量。记作 , , , ；F是一个数域a,b,c F,如果在集合V中定义了一个叫做加法的代数运算，且定义了F V到V的一个叫做纯量乘法的代数运算.（F中元素a与V中 的乘积记作a ,a V）。如

平面的基本性质与推论

§1.2 点、线、面之间的位置关系

1．2.1 平面的基本性质与推论

一、基础过关

1． 下列图形中，不一定是平面图形的是

A．三角形

C．梯形 B．菱形 D．四边相等的四边形

( ) ( ) 2． 空间中，可以确定一个平面的条件是

A．两条直线

C．一个三角形 B．一点和一条直线 D．三个点

( ) 3． 已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有

A．1条或2条

C．1条或3条 B．2条或3条 D．1条或2条或3条

4． 给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公

共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________．

5． 已知α∩β＝m，a α，b β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．

6． 如图，梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平

面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．

7． 空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明此

三条直线必相交于一点．

二、能力提升

8． 空间

平面的基本性质与推论

§1.2 点、线、面之间的位置关系

1．2.1 平面的基本性质与推论

一、基础过关

1． 下列图形中，不一定是平面图形的是

A．三角形

C．梯形 B．菱形 D．四边相等的四边形

( ) ( ) 2． 空间中，可以确定一个平面的条件是

A．两条直线

C．一个三角形 B．一点和一条直线 D．三个点

( ) 3． 已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有

A．1条或2条

C．1条或3条 B．2条或3条 D．1条或2条或3条

4． 给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公

共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________．

5． 已知α∩β＝m，a α，b β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．

6． 如图，梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平

面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．

7． 空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明此

三条直线必相交于一点．

二、能力提升

8． 空间

平面向量基本定理教学设计

２

黎栋材１，　王尚志１

（）首都师范大学数学科学学院　１北京师范大学附属实验中学　１１．０００４８；２．０００３２

］就《平面向量基本定理》的教学重点进１　　文［

并就定理本身给出了两点具体的建议，行了分析，

很受启发．文［基于新课程理念，为平面向量的２］教学提出宝贵的建议．笔者认为，中学数学教学除还需要以学生的了要高观点认识数学本质之外，

认知水平，在学生已有知识上建构新的知识体系，从而发展学生的思维能力．１　内容及地位分析

１．１　向量改变学生对运算的认识

向量是近代数学的产物，是非常重要和基本的概念之一．向量具有一套与数的运算截然不同特别是向量的数量积属于“的运算系统，Ｖ×Ｖ→的运算，这对学生而言是一次对运算认识的Ｒ型”

２］

，而平面向量基本定理则是统一不同运算飞跃［

系统中转站，是展示数学魅力的良好载体．１．２　平面向量基本定理是沟通数与形的桥梁平面向量的加法、减法以及实数与向量的积均体现向量的几何特征，一旦有了平面向量基本平面内的向量便与一对有序实数构定理作保证，

建了一一对应的关系，于是，向量的加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积、两个向量平行与垂直、两个向量的夹角等都可以转化为代数运算，从另外，利用向而实现向量

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《平面向量基本定理》教学设计

一、教学内容

本节内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修4(人教A版）》第二章2.3.1平面向量基本定理。学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理）之后的又一重点内容，它是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转化为代数运算的基础，使向量的工具性得到初步的体现，具有承前启后的作用。 二、教学方法与教学手段

本节课为新授课。根据班级的实际情况，在教学中积极践行新课程理念，倡导合作学习；注重学生动手操作能力与自主探究能力；在教学活动中始终以教师为主线、学生为主体，让学生经历动手操作、合作交流、观察发现、归纳总结等一系列的学习活动。教学方法是综合法，教学手段采用学案式（因条件限制，不使用多媒体）。 三、三维目标 1、知识与技能

（1）了解平面向量基本定理及其意义，会用基底表示某一向量；掌握两个向量夹角的定义及二向量垂直的概念，会初步求解简单的二向量夹角问题，会根据图形判断两个向量是否垂直。 （2）培养学生作图、判断、求解的基本能力。 2、过程与方法

（1）经历平面向量基本定理的探究过程，让学生体会由特殊到一般的思维方法；

（2）通

平面向量基本定理

2015年4月3日星期五

一、课前准备： 复习1: 共线向量定理: (思考：为什么限定 a 0 向量a (a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数 , 使b a.

?)

(若a 0,当b 0时， 不唯一；当b 0时， 不存在) 复习2 : 给定平面内任意两个向量e1 , e2 , 我们能否作出向量2e1 3e2 ?向 量 的 合 成

d 2e1 3e 2

e2 e1

d

2015年4月3日星期五

如：已知 e1 , e2 , 是同一平面内的两个

不共线向量，a 是这一平面内的任一向量. 探究： a 与 e1 , e2 , 的关系

e1

想 一 想 ？

ae2

2015年4月3日星期五

学生活动：

OC OM ON 1OA 2 OB即

a 1 e1 2 e2Me1A

e1

a

C

e2

向 量 的 分 解

O

N

e2

B

2015年4月3日星期五

知识点一

平面向量基本定理

1. 如果 e1 , e2是同一平面内的两个不共线向量，

那么对于这一平面的任意向量 a,

有且只有 一对实数 1 , 2 ,使 存 唯 在 性把不共线的向量 基底

a 1 e1 2 e2

一叫做表示这一平面内所有向量的一组

ee

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向量

1、在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点,则（ ）

???????1??????????????????????????A、AB与AC共线 B、DE与CB共线C、ADsin?与AE相等 D、AD与BD相等

2、下列命题正确的是（ ）

????????A、向量AB与BA是两平行向量

????aaB、若、b都是单位向量,则=b

????????C、若AB=DC,则A、B、C、D四点构成平行四边形

D、两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3、在下列结论中，正确的结论为（ ）

????????????(1)a∥b且|a|=|b|是a=b的必要不充分条件；(2)a∥b且|a|=|b|是a=b的既不充分也不必要条件；????????????(3)a与b方向相同且|a|=|b|是a=b的充要条件；(4)a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条

件A、(1)(3) B、(2)(4) C、(3)(4) D、(1)(3)(4)

4、把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点,则终点所构成的图形是 ；若这些向量为单位向