转化与化归思想的区别

第4讲 化归与转化的思想

一、化归与转化的思想简介

匈牙利著名数学家罗莎·彼得在他的名著《无穷的玩艺》中，通过一个十分生动而有趣的笑话，来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的。有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶，水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放在煤气灶上。”提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做？”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说：“点燃煤气，再把水壶放上去。”但是更完善的回答应该是这样的：“只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做，而数学家却会回答：‘只须把水壶中的水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了’”。

“把水倒掉”，这就是化归，这就是数学家常用的方法。翻开数学发展的史册，这样的例子不胜枚举，笛卡儿誉其为“万能方法”。他在《指导思维的法则》一书中指出：第一，将任何种类的问题转化为数学问题；其次，将任何种类的数学问题转化为代数问题；第三，将任何代数问题转化为方程式的求解。

其实所谓化归思想，一般就是指人们将待解决或难以解决的问题通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解

第7讲 化归与转化的思想在解题中的应用

一、知识整合

1．解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。

2．化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。

3．转化有等价转化和非等价转化。等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。

4．化归与转化应遵循的基本原则：

（1）熟悉化原则：

江阴高中高三数学专题复习⑶ 转化与化归思想2013.3

【知识归纳】

1．数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等．高考试题主要体现以下几个方面的考查：

（1）常量与变量的转化：如分离变量，求范围等．

（2）数与形的互相转化：若解析几何中斜率、函数中的单调性等． （3）数学各分支的转化：函数与立体几何、向量与解析几何等的转化． （4）实际问题向数学模型的转化问题． 2．转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，常见的转化方法有：

（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；

（2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题； （3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化； （4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；

（5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径； （6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结

.. 专题七：思想方法专题第四讲 转化与化归思想

【思想方法诠释】

数学问题的解答离不开转化与化归，它既是一种数学思想，又是一种数学能力，是高考重点考查的最重要的思想方法．在高中数学的学习中，它无个不在，比如：处理立体几何问题时，将空间问题转化到一个平面上解决；在解析几何中，通过建立坐标系将几何问题化归为代数问题；复数问题化归为实数问题等．

1．转化与化归的原则

（1）目标简单化原则：将复杂的问题向简单的问题转化．

（2）和谐统一性原则：即化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量、形关系上趋于统一的方向进行，使问题的条件和结论更均匀和恰当．

（3）具体化原则：即化归言论自由应由抽象到具体． （4）低层次原则：即将高维空间问题化归成低维空间问题．

（5）正难则反原则：即当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解．

2．转化与化归常用到的方法

（1）直接转化法：把问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．

（2）换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．

（3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系

第一部分 二 27

一、选择题

1．已知f (x )＝2x ，则函数y ＝f (|x －1|)的图象为( )

[答案] D

[解析] 法一：f (|x －1|)＝2|x －1|.

当x ＝0时，y ＝2.可排除A 、C ．

当x ＝－1时，y ＝4.可排除B ．

法二：y ＝2x →y ＝2|x |→y ＝2|x －1|，经过图象的对称、平移可得到所求．

[方法点拨] 1.函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数图象的掌握有三方面的要求：

①会画各种简单函数的图象；

②能依据函数的图象判断相应函数的性质；

③能用数形结合的思想以图辅助解题．

2．作图、识图、用图技巧

(1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．

描绘函数图象时，要从函数性质入手，抓住关键点(图象最高点、最低点、与坐标轴的交点等)和对称性进行．

(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．

(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象结合研究．

3．利用基本函数图象的变换作图

①平移变换：

y ＝f (x )――→h >0，右移|h |

四、 转化与化归思想

转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. 方法一 一般与特殊的转化问题 模型解法

一般和特殊之间的转化法是在解题的过程中将某些一般问题进行特殊化处理或是将某些特殊问题进行一般化处理的方法．此方法多用于选择题和填空题的解答．破解此类题的关键点： ①确立转化对象，一般将要解决的问题作为转化对象．

②寻找转化元素，由一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”；由特殊问题转化为一般问题时，寻找“一般元素”．

③转化为新问题，根据转化对象与“特殊元素”或“一般元素”的关系，将其转化为新的需要解决的问题．

④得出结论，求解新问题，根据所得结论求解原问题，得出结论．

典例1 已知函数f(x)＝(a－3)x－ax3在[－1,1]上的最小值为－3，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，－1] B．[12，＋∞) C．[－1,12]

3

－，12? D.??2?

解析 当a＝0时，函数f(x)＝－3x，x∈[－1,1]，显然满足条件，

·高三数学·单元测试卷(十八) 第十八单元 化归与转化思想

(时量:120分钟 150分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．

1．一个四面体所有棱长都是2，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为

A．3π B．4π C．33π D．6π 2．已知函数y?f(x)与函数y?g(x)图象如下图

则函数y?f(x)?g(x)图象可能是

1

3．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝

2

5

A．0 B．1 C． D．5

2

π

4．已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为 ，则球

2

心O到平面ABC的距离为

1326A． B． C． D．

33335．已知两条直线l1:y＝x，l2:ax–y＝0，其中a∈R，当这两条直线的夹角在(0，时，a的取值范围是

3

，1)∪(1，3) D．(1，3) 3

aSn4n

6．等差数列{an}和{bn}的前n项和分别用Sn和Tn表示，若＝，则limn的值为

Tn3n+5n??bA．(0

数学与财经学院毕业论文（设计 ） 目录

化归思想在中学数学教学中的应用

数学与应用数学（师范类）专业一班柴成桂 指导教师 聂智

摘要：在中学教学教学中，最重要的是培养学生的数学思想，而化归思想又是一种极其重要的数学思想。本文我将从化归思想的应用原则及方法提出合理的教学策略。文中主要阐述了新知识向已知知识点的转化、由难到易的转化、由繁到简的转化这三个转化方向，并举例说明在中学数学中的具体应用。如化归思想在中学数学代数方面，几何方面，解析几何方面的应用，我用多边形内角和这一课题做了化归思想在中学数学中应用的实例分析。根据我个人的实习经历体会到了化归思想的重要性，论证了化归思想的化归原则。

关键词：化归思想；数学教学；化归原则；教学策略

II

2009级数学与应用数学（师范 ）毕业论文（设计）

1 化归思想

1.1化归思想的原则及方法

化归是把待解决或未解决的问题，通过转化，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决的一种思想方法。之一。

在用化归方法解决数学问题时，我们应该注意，化归变

数学与财经学院毕业论文（设计 ） 目录

化归思想在中学数学教学中的应用

数学与应用数学（师范类）专业一班柴成桂 指导教师 聂智

摘要：在中学教学教学中，最重要的是培养学生的数学思想，而化归思想又是一种极其重要的数学思想。本文我将从化归思想的应用原则及方法提出合理的教学策略。文中主要阐述了新知识向已知知识点的转化、由难到易的转化、由繁到简的转化这三个转化方向，并举例说明在中学数学中的具体应用。如化归思想在中学数学代数方面，几何方面，解析几何方面的应用，我用多边形内角和这一课题做了化归思想在中学数学中应用的实例分析。根据我个人的实习经历体会到了化归思想的重要性，论证了化归思想的化归原则。

关键词：化归思想；数学教学；化归原则；教学策略

II

2009级数学与应用数学（师范 ）毕业论文（设计）

1 化归思想

1.1化归思想的原则及方法

化归是把待解决或未解决的问题，通过转化，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决的一种思想方法。之一。

在用化归方法解决数学问题时，我们应该注意，化归变

1、 峰面积归一法：如果被分析样品的组分是同系物，校正因子相近可直接用峰面积求出组分的百分含量。如果被分析样品的组分不是同系物，则要知道每

种组分的相对校正因子。优点：不必准确知道进样量，操作条件略为变动对结果影响较小，计算方便，适合多组分的工厂例行分析。主要分析对象为任意。

2、 内标法：当色谱柱不能使所有组分流出，或检测器不是对所有组分都有信号，以及在定量分析中只需求测定某一个或几个组分，其他组分因含量太低或太高而难以测定时，可用内标法。在一定量的样品中加一定量某纯物质作内标。选用的内标物是样品中不存在的物质，并能与样品中各组分在色谱柱上分离，必须与样品中各组分不起化学反应。内标法定量准确度高，但每次分析需称样配样，操作比较麻烦。主要分析对象为液体。

3、 外标法：不论样品中的所有组分是否全部出峰，均可采用外标法对出峰组分做定量分析。就定量参比物而言，外标法是最为准确的方法，因为是同质组分进行比较；然而由于检测器的响应性能、工作温度和载气流速等GC条件很难绝对稳定，而且进样量也很难完全相同，因此外标法容易出现较大误差。主要分析对象为气体。

1.面积归一化法要求：1.所有成分都洗脱并且在检测器有响应；2.所有成分的响应系数是一样的（即相同含量峰面积