函数极限的求解方法与技巧

渤海大学本科毕业论文（设计）

函数极限求解方法的研究

The Subject of Undergraduate Graduation Project (Thesis)

of Study on the method of function limit

学 院（系）： 数理学院 专 业： 数学与应用数学（师范） 学 号： 学 生 姓 名： 入 学 年 度： 2011年 指 导 教 师： 完 成 日 期： 2015年4月19日

渤海大学

Bohai University

函数极限求解方法的研究

摘要

函数极限是高等数学的重要构成部分，是探究微积分的基础，因此对求解函数极限方法的探究就成了我们研究高等数学必经之路.求解函数极限方法的方法众多，例如: 利用函数极限的

渤海大学本科毕业论文（设计）

函数极限求解方法的研究

The Subject of Undergraduate Graduation Project (Thesis)

of Study on the method of function limit

学 院（系）： 数理学院 专 业： 数学与应用数学（师范） 学 号： 学 生 姓 名： 入 学 年 度： 2011年 指 导 教 师： 完 成 日 期： 2015年4月19日

渤海大学

Bohai University

函数极限求解方法的研究

摘要

函数极限是高等数学的重要构成部分，是探究微积分的基础，因此对求解函数极限方法的探究就成了我们研究高等数学必经之路.求解函数极限方法的方法众多，例如: 利用函数极限的

求函数极限的方法和技巧

1、运用极限的定义

2、利用极限的四则运算性质

若 limx?xf(x)?A limg(x)?B

0x?x0(I)limx?x?f(x)?g(x)?? lim?xf(x)?limg(x)?A?B

0x0x?x0(II)limx?x?f(x)?g(x)??limf(x)?limx?xg(x)?A?B

0x?x00(III)若 B≠0 则：

limf limf(x)x?x(x)0Ax??

x?0g(x)limx?xg(x)B0IV）limx?xc?f(x)?c?lim?xf(x)?cA （c为常数）

0x0上述性质对于x??,x???,x???时也同样成立 3、约去零因式（此法适用于x?x00时,0型）

例: 求x3?x2?16xxlim?20??2x3?7x2?16x?12

3解:原式=?x?3x2?10x???(2x2?6x?20)xlim??2?x3?5x2?6x?(2x2?10x?12) lim(x?2)(x2?3x?10)(x?2)(x2?5x?6)

x??2=(x2?3x?10)xlim?6)=lim(x?5)(x?2) ??2(x2?5xx??2(x?2)(x?3)=x?5xlim

求解平衡问题的方法技巧

一、“滑轮”模型

1.如图1所示，杆BC的B端用铰链接在竖直墙上，另一端C为一滑轮．重物G上系一绳经过滑轮固定于墙上A点处，杆恰好平衡．若将绳的A端沿墙缓慢向下移(BC杆、滑轮、绳的质量及摩擦均不计)，则( )．

图1

A．绳的拉力增大，BC杆受绳的压力增大 B．绳的拉力不变，BC杆受绳的压力增大 C．绳的拉力不变，BC杆受绳的压力减小 D．绳的拉力不变，BC杆受绳的压力不变

2．如图2所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为10 kg的物体，∠ACB＝30°，g取10 m/s2，求：

图2 图3 (1)轻绳AC段的张力FAC的大小； (2)横梁BC对C端的支持力大小及方向．

3．若上题中横梁BC换为水平轻杆，且B端用铰链固定在竖直墙上，如图3所示，轻绳AD拴接在C端，求： (1)轻绳AC段的张力FAC的大小； (2)轻杆BC对C端的支持力．

二、含弹簧的平衡问题

4．(单选)如图4所示，A、B两物体叠放在水平地面上，A物体质量m＝20 kg，B物体质量M＝30 kg.处于水平位置的轻弹簧一端固定于墙壁，另

一端与A物体相

目 录

引 言 ········································································································· 1 一、基本概念与基本理论 ············································································ 2 (一)函数极限 ··························································································· 2 (二)重要极限 ··························································································· 9 (三)函数的上极限与下极限 ·································································· 10 (四)Stolz定理的推广定理 ·············

第二章 填空题的求解思路、方法与技巧

填空题是一类古老的题型（古代科举中称为贴经），它与选择题、解答题一起组成当前高考试卷的三大题型，通常，填空题的题量（4～6题）和分值（占16～30分）都是高考三大题型中最低的，而难度则介于选择题与解答题之间（约为0．．但也有例外，上海的5强）高考数学卷一直是第一大题为11～14道填空题（2009年为14道），第二大题为4道选择题；2008年起，江苏高考的数学选择题取消了，填空题则由以前的6道增加到14道（总分70分，约占试卷总分160分的44%）；2009年起高中联赛不用选择题，这可以认为是一个信号：当前，在减弱选择题的同时，出现加强填空题的趋势——人们在重新认识填空题．

虽然填空题的平均难度只是中等，但在三大题型中却是最容易丢分的，一步思虑不周、一次细节疏忽、一个心理差错、甚至最后答案把

23写成都会导致“全题皆空”（参见例2-11、32例2-19-1，例2-48等）．求解填空题必须做到“结论正确、方法合理、过程简洁”，确保成

功率．本章首先分析填空题的结构和答题特点，然后介绍常用解法（如直接法，特例法，图解法，猜测法等），最后呈现填空题的一些创新形式．

第一节 解答填空题的策略分析

2-1-1 填空题

极限的求法与技巧

极限是解决数学问题的一种有效的工具。以下列举种方法，并附有例题。

1.运用极限的定义

例：用极限定义证明:

x2?3x?2lim?1 x?2x?2x2?3x?2x2?4x?4证: 由 ?1?x?2x?2????0

?x?2?2x?2?x?2

取??? 则当0?x?2?? 时,就有

x2?3x?2 ?1??

x?2由函数极限???定义有:

x2?3x?2lim?1 x?2x?22.利用单调有界准则求极限

预备知识：若数列?an?收敛，则?an?为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数

n，有 an?M.

此方法的解题程序为：

1、直接对通项进行分析或用数学归纳验证数列?an?单调有界；

2、设?an?的极限存在，记为liman?A代入给定的表达式中，则该式变为A的代数方

n??程，解之即得该数列的极限。

例：若序列?an?的项满足a1?1?a??a?,(n?1,2,?),试证a(a?0)且an?1??n??2?an??an?有极限并求此极限。

解 由 a1?a

1

21?a?1?a12?a?2a1aa1???a a2????2??a???a2?a1?1??1?用数学归纳法证明 ak?a

第二章 填空题的求解思路、方法与技巧

填空题是一类古老的题型（古代科举中称为贴经），它与选择题、解答题一起组成当前高考试卷的三大题型，通常，填空题的题量（4～6题）和分值（占16～30分）都是高考三大题型中最低的，而难度则介于选择题与解答题之间（约为0．．但也有例外，上海的5强）高考数学卷一直是第一大题为11～14道填空题（2009年为14道），第二大题为4道选择题；2008年起，江苏高考的数学选择题取消了，填空题则由以前的6道增加到14道（总分70分，约占试卷总分160分的44%）；2009年起高中联赛不用选择题，这可以认为是一个信号：当前，在减弱选择题的同时，出现加强填空题的趋势——人们在重新认识填空题．

虽然填空题的平均难度只是中等，但在三大题型中却是最容易丢分的，一步思虑不周、一次细节疏忽、一个心理差错、甚至最后答案把

23写成都会导致“全题皆空”（参见例2-11、32例2-19-1，例2-48等）．求解填空题必须做到“结论正确、方法合理、过程简洁”，确保成

功率．本章首先分析填空题的结构和答题特点，然后介绍常用解法（如直接法，特例法，图解法，猜测法等），最后呈现填空题的一些创新形式．

第一节 解答填空题的策略分析

2-1-1 填空题

多元函数条件极值的几种求解方法

摘要

本文主要讨论了多元函数条件极值的求解问题，其中包括无条件极值、条件极值的概念介绍，对多元函数条件极限值的几种求解方法的概括，其中包括了直接代入法，拉格朗日乘数法，柯西不等式等方法，其中拉格朗日乘数法还着重介绍了全微分和二阶偏导数即Hesse矩阵法等。介绍关于求解多元函数条件极值的几种方法目的是在解决相应的问题中时能得以借鉴，找到合适的解决问题的途径。

关键词

极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式

Multivariate function of several conditional extreme value

solution

Abstract

This paper mainly discusses the multivariable function conditional extreme value problem solving, including the unconditional extreme value, conditional extreme value concept of multivariate function is introduced, and several method

目 录

摘 要 ......................................................................................................................................... 2 关键词 ....................................................................................................................................... 2 1.定义法 .................................................................................................................................... 3 2.利用极限四则运算法则 ....................................................................................