不定方程例题

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不定方程

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六年级奥数 不定方程

【知识要点】

如果一个方程(组)的未知数的个数多于方程的个数,那么这个方程(组)就叫做不定方程(组)。 不定方程是数论中最古老的一个分支,它的研究在我国已延续了数千年,至今仍是令人感兴趣的课题。 不定方程的内容非常丰富,但在小学数学竞赛中,我们主要讨论二元一次不定方程,形如ax±by=c(a、b、c为已知的整数)的方程,我们称为二元一次不定方程,又称丢番图方程,以纪念生于公元三世纪的希腊数学家丢番图,他写了一本关于这类方程的书。

一个不定方程一般总有无穷多组解,但小学阶段主要涉及整系数不定方程的整数解。不定方程通常利用不等式及整除性来求解。 例1.

求3x+4y=23的自然数解。

练习一

1、 求3x+2y=25的自然数解。

2、 求4x+5y=37的自然数解。

3、 求5x-3y=16的最小自然数解。

例2

求下列方程组的正整数解。

5x+7y+3z=25 3x-y-6z=2

练习2

求下面方程组的自然数解。

1、 4x+3y-2z=7 2、 7x+9y+11z=68

3x+2y+4z=21 5x+7y+9z=52

不定方程和解不定方程应用题经典

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1

不定方程

———研究其解法

方程,这个词对于同学们来说,再熟悉不过了,它在数学中占了很大的一个板块,许多题目都可以通过方程来得到答案,那么自然而然,它的解法就尤为重要了。 然而,我今天想为大家介绍的是一种特殊的方程——不定方程,因为它往往有多个或无数个解,他的解法相对较多较难,以下就是关于不定方程的一些问题。

一、不定方程是指未知数的个数多于方程个数的方程,其特点是往往有不唯一的解。 二、不定方程的解法 1、筛选试验法

根据方程特点,确定满足方程整数的取值范围,对此范围内的整数一一加以试验,筛去不合理的值。

如:方程x﹢y﹢z = 100共有几组正整数解?

解:当x = 1时y﹢z = 99,这时共有98个解:(y,z)为(1,98) (2,97)??(98,1)。 当x = 2时y﹢z = 98,这时共有97个解:(y,z)为(1,97) (2,96)??(97,1)。 ??

当 x = 98时,y﹢z = 2,这时有一个解。

∵ 98﹢97﹢96﹢??﹢1=

98?99= 4851 2∴ 方程x﹢y﹢z = 100共有4851个正整数解。

2、表格记数法

如:方程式4x﹢7 y =55共有哪些正

不定方程和解不定方程应用题经典

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不定方程

———研究其解法

方程,这个词对于同学们来说,再熟悉不过了,它在数学中占了很大的一个板块,许多题目都可以通过方程来得到答案,那么自然而然,它的解法就尤为重要了。 然而,我今天想为大家介绍的是一种特殊的方程——不定方程,因为它往往有多个或无数个解,他的解法相对较多较难,以下就是关于不定方程的一些问题。

一、不定方程是指未知数的个数多于方程个数的方程,其特点是往往有不唯一的解。 二、不定方程的解法 1、筛选试验法

根据方程特点,确定满足方程整数的取值范围,对此范围内的整数一一加以试验,筛去不合理的值。

如:方程x﹢y﹢z = 100共有几组正整数解?

解:当x = 1时y﹢z = 99,这时共有98个解:(y,z)为(1,98) (2,97)??(98,1)。 当x = 2时y﹢z = 98,这时共有97个解:(y,z)为(1,97) (2,96)??(97,1)。 ??

当 x = 98时,y﹢z = 2,这时有一个解。

∵ 98﹢97﹢96﹢??﹢1=

98?99= 4851 2∴ 方程x﹢y﹢z = 100共有4851个正整数解。

2、表格记数法

如:方程式4x﹢7 y =55共有哪些正

不定方程选讲

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不定方程选讲

一、一次不定方程(组)

1.求不定方程x+y+z=2007正整数解的个数。 2.求不定方程2x+3y+5z=15的正整数解。 3.解不定方程11x+15y=7。 4.解不定方程50x+45y+36z=10。

?5x+7y+2z=24,

5.解不定方程组?

?3x-y-4z=4.

6.解不定方程6x+15y+21z+9w=30。

7.求有多少个正整数对(m,n),使得7m+3n=102004,且m︱n。(04年日本数学奥林匹克) 二、二次不定方程及其常用解法

8.求满足方程2x2+5y2=11(xy-11)的正整数数组(x,y)。 9.解不定方程14x2-24xy+21y2+4x-12y-18=0。 10.解不定方程3x2+5y2=345。

11.解不定方程x2-5xy+6y2-3x +5y-11=0。 12.求方程xy-2x+y=4的整数解。

35

13求能使等式 + =1成立的所有正整数m,n。

mn14.求方程2xy-2x2+3x-5y+11=0的整数解。 15.求方程3xy+y2-6x-2y=2的整数解。 16.求方程x2+y= x2y-1000的正整数解。 17.求所有的整数对(x,y),使得x3 = y3+2y2 +1。

不定方程选讲

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不定方程选讲

一、一次不定方程(组)

1.求不定方程x+y+z=2007正整数解的个数。 2.求不定方程2x+3y+5z=15的正整数解。 3.解不定方程11x+15y=7。 4.解不定方程50x+45y+36z=10。

?5x+7y+2z=24,

5.解不定方程组?

?3x-y-4z=4.

6.解不定方程6x+15y+21z+9w=30。

7.求有多少个正整数对(m,n),使得7m+3n=102004,且m︱n。(04年日本数学奥林匹克) 二、二次不定方程及其常用解法

8.求满足方程2x2+5y2=11(xy-11)的正整数数组(x,y)。 9.解不定方程14x2-24xy+21y2+4x-12y-18=0。 10.解不定方程3x2+5y2=345。

11.解不定方程x2-5xy+6y2-3x +5y-11=0。 12.求方程xy-2x+y=4的整数解。

35

13求能使等式 + =1成立的所有正整数m,n。

mn14.求方程2xy-2x2+3x-5y+11=0的整数解。 15.求方程3xy+y2-6x-2y=2的整数解。 16.求方程x2+y= x2y-1000的正整数解。 17.求所有的整数对(x,y),使得x3 = y3+2y2 +1。

不定积分例题及答案

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第4章 不定积分

内容概要 名称 不 定 积 分 不 定 积 分 的 概 念 主要内容 设f(x), x?I,若存在函数F(x),使得对任意x?I均有 F?(x)?f(x) 或dF(x)?f(x)dx,则称F(x)为f(x)的一个原函数。 f(x)的全部原函数称为f(x)在区间I上的不定积分,记为 ?f(x)dx?F(x)?C 注:(1)若f(x)连续,则必可积;(2)若F(x),G(x)均为f(x)的原函数,则F(x)?G(x)?C。故不定积分的表达式不唯一。 性 质 性质1:d?f(x)dx??f(x)或d??f(x)dx??f(x)dx; ?????dx性质2:F?(x)dx?F(x)?C或dF(x)?F(x)?C; 性质3:[?f(x)??g(x)]dx??计 算 方 法 第一换元 积分法 (凑微分法) 第二类 换元积 分法 ??? ?f(x)dx???g(x)dx,?,?为非零常数。设f(u)的 原函数为F(u),u??(x)可导,则有换元公式: ?f(?(x))??(x)dx??f(?(x))d?(x)?F(?(x))?C 设x??(t)单调、可导且导数不为零,f[?(t)]??(t)有原

不定积分的典型例题

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不定积分的典型例题

不定积分的典型例题

x2 1

例1.計算 4

x 1

解法1

x4 1 (x2

2x 1)(x2 2x 1).

而 (x2 2x 1) (x2 2x 1) 2(x2 1) 所以

x2 1111

( x4 12 x2 2x 1 x2 2x 1) 1 [ 2

1

221(x )

22

1d(2x 1)

1

221

(x )

22

1d2x 1)

)

2(

2

2x 1) 1

2

2(

2x 1) 1

2

1

2x 1) 2x 1)] c.

x2 1(x2 2x 1) 2x

22

解法2 x4 1(x 2x 1)(x 2x 1)

dx2x

4 2

x 1x 2x 1

11 2x 1) arctanx2 c.

22 解法3

11

1d(x )2x 1当x 0, 4dx x 1x2 2x2 2xx

2

1

d(x )

1x2 1 c

1222x(x ) 2x lim

x 0

12

x2 1x

22

,

不定积分的典型例题

1x2 1 lim , x 0

22x22由拼接法可有

2

x 1

dx x4 1

1x2 1 22x22

1x2 1 22x22

c,x 0

x 0. c

x 0

x3 2

例2.求 . 22

(x 1)(x 1)解 将被积函数化为简单的部分分式

x3 2ABCx D

二元一次不定方程的解法总结与例题 - 图文

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探究二元一次不定方程

(Inquires into the dual indefinite equation)

冯晓梁(XiaoLiang Feng) (江西科技师范学院 数计学院 数一班 330031)

【摘 要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次

不定方程问题加以解决。我们讨论二元一次方程的整数解。

The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution.

【关键字】:二元一次不定方程 初等数论 整数解

(Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution)

二元一次方程的概念:含有两个未知

第12课 不定方程

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2010届初一数学竞赛专题选讲

第12课 不定方程

【知识要点】 不定方程(组)是指未知数的个数大于方程个数的方程(组),这样的方程一般有无穷多组解,但我们一般仅研究其整数解或有理数解,对于实际问题,甚至只要求出正整数解。不定方程的理论与整除理论紧密相连,是数论中内容极其丰富的一个分支。最简单的不定方程是二元一次不定方程,形如ax+by=c ①,其中a,b,c都是已知的整数,且a,b不为0。

一般地,不定方程问题关心以下三个方面:(1)判断方程是否有整数解,如果有,求出一个解;(2)判断方程是否有无穷多个解;(3)求出方程的全部整数解。对方程①可以完全解决以上三个问题。

次数高于一次的不定方程,可以借助因式分解求解。

关于二元一次不定方程ax+by=c有无整数解,有下面的: 定理1:若二元一次不定方程ax+by=c中,a和b的最大公约数不能整除c,则方程没有整数解。 例如,方程2x+4y=5没有整数解。(想一想,为什么?) 定理2:如果正整数a,b互质,则方程ax+by=c有整数解。 例如,3x+5y=7,3与5互质,x=-1,y=2是这个方程的一组整数解。 定理3:如果(a,b)|

高中数学_不定方程

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高中奥数试卷

不 定 方 程

【知识精要】

形如x+y=4,x+y+z=3,

11

=1的方程叫做不定方程,其中前两个方程又叫做一次xy

不定方程.这些方程的解是不确定的,我们通常研究(1)不定方程是否有解?(2)不定方程有多少个解?(3)求不定方程的整数解或正整数解.

对于二元一次不定方程问题,我们有以下两个定理: 定理1.二元一次不定方程ax+by=c,(1)若其中(a,b) c,则原方程无整数解;(2)若(a,b)=1,则原方程有整数解;(3)若(a,b)|c,则可以在方程两边同时除以(a,b),从而使原方程的一次项系数互质,从而转化为(2)的情形.

如:方程2x+4y=5没有整数解;2x+3y=5有整数解.

x x0 x cx0

定理2.若不定方程ax+by=1有整数解 ,则方程ax+by=c有整数解 ,

y y0 y cy0 x cx0 bk

此解称为特解.方程方程ax+by=c的所有解(即通解)为 (k为整数).

y cy ak0

对于非二元一次不定方程问题,常用求解方法有:

(1)恒等变形.通过因式分解、配方、换元等方法将方程变形,使之易于求解; (2)构造法.先利用恒等式构造一些特解,再进一步证明不定方程有无穷多组解; (3)估算法.先缩小方程中某