圆中线段最值问题

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几何图形中线段和差最值问题

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中考数学压轴题解题策略

几何图形中线段和差最值问题的解题策略

两条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“牛喝水”问题,关键是指出一条对称轴“河流”(如图1).

三条动线段的和的最小值问题,常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题,关键是指出两条对称轴“反射镜面”(如图2).

两条线段差的最大值问题,一般根据三角形的两边之差小于第三边,当三点共线时,两条线段差的最大值就是第三边的长.如图3,PA与PB的差的最大值就是AB,此时点P在AB的延长线上,即P′.

解决线段和差的最值问题,有时候求函数的最值更方便,本讲不涉及函数最值问题.

图1 图2 图3

,?BAC?45°,?BAC的平分线交BC于点1.如图,在锐角△ABC中,AB?42D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM?MN的最小值是___________ .

C D

P D C A M N M

A N B B (第1题第2题图

2.如图,菱形ABCD的两条对角线分别长6和8,点P是对角线AC上的一个动点,点M、N分别是边AB、BC的中点,则PM+PN的最小值是_____________.

动态最值问题 - 圆内最值问题

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“一师一优课”

《动态最值问题——圆内最值问题》教学设计

西安爱知中学 郭晏铖

【学情分析】

在运动变化中求最值的问题灵活性较强,涉及的知识面较广,对学生思维能力要求较高,经常令学生束手无策。因此如何正确快速的求解成为学生学习中的难点。本节课前,学生已经学习了圆的基本知识,以及点和圆、直线和圆的位置关系。四班的同学在年级中属中等偏上水平,对于基本知识的学习掌握的较快,但缺乏应用的灵活性。与圆有关的最值问题可以变零散的知识为学生整体的认识,变重复枯燥的学习为新奇有趣的探索,在训练学生逻辑思维的同时,还能培养学生的探索能力 【教学方法】

对于圆中求最值问题,学生经常感到无从下手,处理此类题目首先要明确题目中运动的对象,然后就是根据按照题目要求作出运动过程中某一时刻的图象。现在学生普遍欠缺作图能力,因此我在题目的设置上也遵循由易到难的原则,从给出图形到简单作图再到复杂作图,让学生在这个过程中体会作图的重要性。

任何运动变化问题中总隐含着定量和不变关系,这也是解决这类问题的关键。在设计时我也注重设计情境,引导学生自己挖掘题目中的信息,找到这些关键点。从例1中的定量过渡到不变的位置关系再到不变的数量关系,剥茧抽丝,层层递进,从而体会探究的乐趣。

线段之间的最值问题6

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浅谈初中数学线段之和最值问题

近年来,在全国各地出现的中考试题的平面几何最值问题中,呈现出变化多、涉及面广、形式灵活的景象,对学生来讲是个难点;如果深入思考,可以发现:这类试题的命制都是立足于教材,解决途径都是运用转化的思想“化折为直”。本文中,笔者根据近几年的中考试题,结合浙教版教材和自己的教学体会,谈谈初中数学中求线段之和最值的求解策略。

1.直接应用定(公)理求最值

平面几何解决最短线路问题时常用的公理(定理):①两点之间线段最短.②三角形的两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边(②是由①得出);③直线外一点到直线的所有线段中垂线段最短.

1.1应用两点之间线段最短

教材链接:七上7.3线段的长短作业题: D如图,A、B、C、D表示4个村庄.村民们准备合打一口水井,(1)略(2)你能给出一中使水井到各村庄的距离之和最小的方案吗?若能,请标出水井的位置,并说明理由. A 解题分析:

教材作业题中,因点D与点B、点A与点C是定点,当水井打在AC与BD的交点时,水井到各村庄的距离之和最小,直接利用“两点之间线段最短”的原理。

中考链接:(2009山东潍坊)已知边长为a的正三角形ABC(一象限),两顶点A,B分别在平面直角坐标系的x轴,y轴的

圆最值问题题型归纳

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圆中最值问题

类型一 圆上一点到直线距离的最值问题

22(x?3)?y?1上任一点,则PQ的最小例1 已知P为直线y=x+1上任一点,Q为圆C:

值为 .

变题1:已知A(0,1),B(2,3),Q为圆C(x?3)2?y2?1上任一点,则SVQAB的最小值为 .

变题2:由直线y=x+1上一点向圆C:(x?3)2?y2?1引切线,则切线长的最小值为

变题3:已知P为直线y=x+1上一动点,过P作圆C:(x?3)2?y2?1的切线PA,PB,A、B为切点,则当PC= 时,?APB最大.

变题4:已知P为直线y=x+1上一动点,过P作圆C:(x?3)2?y2?1的切线PA,PB,A、B为切点,则四边形PACB面积的最小值为 .

例2已知圆C:x2?y2?2x?4y?3?0,从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有PM=PO,求使得PM取得最小值的点P坐标.

y C O x

类型二 利用圆的参数方程求最值(或几何意义)

例3若实数x、y满足x2?y2?2x?4y?0,求x-2y的最大值. 如在上例中,改为求

y?1,(

圆中的最值问题

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拔高专题 圆中的最值问题

一、基本模型构建 常见模型 图(1) 图(2) 思考 图(1)两点之间线段 最短 ; 图(2)垂线段 最短 。 .在直线L上的同侧有两个点A、B,在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在,可以通过轴对称来确定,即作出其中一点关于直线L的 对称 点,对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点. 二、拔高精讲精练 探究点一:点与圆上的点的距离的最值问题

例1:如图,A点是⊙O上直径MN所分的半圆的一个三等分点,B点是弧AN的中点,P点是MN上一动点,⊙O的半径为3,求AP+BP的最小值。

解:作点A关于MN的对称点A′,连接A′B,交MN于点P,连接OA′,AA′. ∵点A与A′关于MN对称,点A是半圆上的一个三等分点, ∴∠A′ON=∠AON=60°,PA=PA′,∵点B是弧AN的中点,

∴∠BON=30°,∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°,又∵OA=OA′=3, ∴A′B=32.∵两点之间线段最短,∴PA+PB=PA′+PB=A′B=32.

【教师总结】解决此题的关键是确定点P的位置.根据轴对称和两点之间线段最短的知识,把两条线段的和转化为一条

浅谈初中数学线段之和最值问题

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浅谈初中数学线段之和最值问题

近年来,在全国各地出现的中考试题的平面几何最值问题中,呈现出变化多、涉及面广、形式灵活的景象,对学生来讲是个难点;如果深入思考,可以发现:这类试题的命制都是立足于教材,解决途径都是运用转化的思想“化折为直”。本文中,笔者根据近几年的中考试题,结合浙教版教材和自己的教学体会,谈谈初中数学中求线段之和最值的求解策略。

1.直接应用定(公)理求最值

平面几何解决最短线路问题时常用的公理(定理):①两点之间线段最短.②三角形的两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边(②是由①得出);③直线外一点到直线的所有线段中垂线段最短. 1.1应用两点之间线段最短 教材链接:七上7.3线段的长短作业题: DC 如图,A、B、C、D表示4个村庄.村民们准备合打一口水井,(1)略(2)你能给出一中使水井到各村庄的距离之和最小的方案吗?若能,请标出水井的位置,并说明理由. A 解题分析: B 教材作业题中,因点D与点B、点A与点C是定点,当水井打在AC与BD的交点时,水井到各村庄的距离之和最小,直接利用“两点之间线段最短”的原理。

中考链接:(2009山东潍坊)已知边长为a的正三角形ABC(一象限),两顶点A,B分别在平面直角坐标系的x

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浅谈初中数学线段之和最值问题

近年来,在全国各地出现的中考试题的平面几何最值问题中,呈现出变化多、涉及面广、形式灵活的景象,对学生来讲是个难点;如果深入思考,可以发现:这类试题的命制都是立足于教材,解决途径都是运用转化的思想“化折为直”。本文中,笔者根据近几年的中考试题,结合浙教版教材和自己的教学体会,谈谈初中数学中求线段之和最值的求解策略。

1.直接应用定(公)理求最值

平面几何解决最短线路问题时常用的公理(定理):①两点之间线段最短.②三角形的两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边(②是由①得出);③直线外一点到直线的所有线段中垂线段最短.

1.1应用两点之间线段最短

教材链接:七上7.3线段的长短作业题: D如图,A、B、C、D表示4个村庄.村民们准备合打一口水井,(1)略(2)你能给出一中使水井到各村庄的距离之和最小的方案吗?若能,请标出水井的位置,并说明理由. A 解题分析:

教材作业题中,因点D与点B、点A与点C是定点,当水井打在AC与BD的交点时,水井到各村庄的距离之和最小,直接利用“两点之间线段最短”的原理。

中考链接:(2009山东潍坊)已知边长为a的正三角形ABC(一象限),两顶点A,B分别在平面直角坐标系的x轴,y轴的

“与圆有关的最值问题”教案(最新)

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“与圆有关的最值问题”教学案例 余浩平

教学背景: 本节课是与圆有关的一节复习课,由于在初中学习中接触过圆的一些基本知识,因而课前安排了两道有关圆的最值问题让学生练,为后面的教学奠定了基础。在随后的教学中,采取变式教学、一题多解、自主探索的教学方式,培养学生研究性学习。

教学目标:

从学生的实际出发,依据数学思维规律,提出恰当的富于启发性的问题,去启迪和引导学生积极思维,同时采用多种方法,引导学生通过观察、试验、分析、猜想、归纳、类比、联想等思想方法,主动地发现问题和提出问题。

重点与难点:

学生通过观察、分析、猜想、类比等思想方法主动地发现问题和解决问题。

教学过程: 一、 引入新课 练习:

已知圆x2?y2?8x?2y?12?0内一点A(3,0),求经过点A的最长弦和最短弦所在的直线方程。

二、 新课

例: 已知圆的方程x2?y2?2及一点P(2,4),求圆上的动点与点P连线斜率

的最值?

题变: 将上面例题中的点P(2,4)改为P(0,4),则圆上的动点与点P连线斜率的

最值是否存在?若存在求出

专题24--直线与圆的最值问题

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专题24--直线与圆的最值问题

主干知识整合

直线与圆中的最值问题主要包含两个方面

1.参量的取值范围

由直线和圆的位置关系或几何特征,引起的参量如k,b,r的值变化.此类问题主要是根据几何特征建立关于参量的不等式或函数.

2.长度和面积的最值

由于直线或圆的运动,引起的长度或面积的值变化.此类问题主要是建立关于参数如k或b,r的函数,运用函数或基本不等式求最值.

探究点一 有关长度的最小值

直线与圆中有关长度的问题主要包括直线被坐标轴截得的长度、弦长、切线长等.其中弦长、切线长都可以与半径构造直角三角形来求解.

例1 (1)如图24-1,已知圆x2+y2=1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B,则线段AB长度的最小值为________.2

22 (2)直线2ax+by=1与圆x+y=1相交于A,B两点

(其中a,b是实数),且△AOB是直角三角形(O是坐标原点),

则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最大值为________. 2+1

探究点二 有关面积的最值问题

圆形成的多边形及动圆的面积.

例2 已知圆C通过不同的三点P(m,0)、Q(2,0)、R(0,1),且CP率为-1.

(1)试求⊙C的方程;

x2+y2+x+5y-6=0

(2)过原点O作两条互相

圆中最值问题

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第15题 圆的计算

1.如图,⊙O的半径为2,P为⊙O内一点,OP=1,过P点的弦与劣弧AB组成一个弓形,则此弓形面积的最小值为( ) A .

4?8?2?4?-3 D. -3 ?3 B.?3 C. 3333

2.如图,AB为⊙O的直径,定长弦CD在⊙O上滑动(点C、D不与A、B重合),CE⊥AB于E,N是CE的中点,M是CD上一点,且DM=3CM,若AB=10,则MN的长度的最小值为 .

3.如图,线段AB=4,C为线段AB上的一个动点,以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE,⊙O外接于△CDE,则⊙O半径的最小值为 .

oo

4.如图,△ABC内接于半径为2 的⊙O,∠ABC=45,∠ACB=60,点D为弧AB的中点,M、N分别是线段CD、AC上的动点,则MA+AN的值的最小值是( ) A .

33 B. 26 C. 22 D. 2?3

5.如图,正方形ABCD中,AB=8,O为AB的中点,P为正方形ABCD外一