整数规划案例问题

整数规划+指派问题

解：设 xij

1, 如果第i项由第j个人完成 0, 如果第i项未由第j个人完成

,用

f (x )

表示所花费的总时间，由题意

现有 A、B、C、D、E 共 5 个人，挑选其中

可得如下模型

的时间如表所示。规定每项工作只能由

m i n f ( x ) 1 0 x1 1 2 x1 2 3 x1 3 1 5 x1 4 9 x1 5 5 x 21 1 0 x 22 1 5 x 23 2 x 24 4 x 25 1 5 x31 5 x32 1 4 x33 7 x34 1 5 x35 2 0 x 41 1 5 x 42 1 3 x 43 6 x 44 8 x 45 x1 1 x1 2 x 21 x 22 x31 x32 x 41 x 42 x x 21 11 x1 2 x 2 2 x x 23 13 x1 4 x 2 4 x1 5 x 2 5 x 44 0 x ij 0 x1 3 x1 4 x1 5 1 x 23 x

1、一个公司考虑到北京、上海、广州和武汉四个城市设立库房，这些库房负责向华北、华中、华南三个地区供货，每个库房每月可处理货物1000件。在北京设库房每月成本为4.5万元，上海为5万元，广州为7万元，武汉为4万元。每个地区的月平均需求量为：华北每月500件，华中每月800件，华南每月700件。发运货物的费用（单位：元/件）如下表所示： 北京 上海 广州 武汉 华北 200 300 600 350 华中 400 250 350 150 华南 500 400 300 350 公司希望在满足地区需求的条件下使平均月成本为最小，且还要满足以下条件：

a) 如果在上海设库房，则必须也在武汉设库房； b) 最多设两个库房；

c) 武汉和广州不能同时设库房；

请写出一个满足上述要求的整数规划模型，并求出最优解。

2、华南投资公司决定投资兴办产业，以增强发展后劲，投资总额为800万元，其中第一年（即1998年）350万元，第二年300万元，第三年150万元。投资方案有： A1：建立彩色印刷厂。第一、二年年初分别投入220万元220万元，第二年年底可获利60万元，第三年起每年获利130万元。

A2：投资离子镀膜基地。第一年投资70万元，第二年起每年获利18万

LINGO软件求解整数规划问题

2012——2013学年第 一 学期

合肥学院数理系

实验报告

课程名称： 运筹学

实验项目： LINGO软件求解整数规划问题

√ 验证性□ 实验类别：综合性□ 设计性 □

专业班级： 10数学与应用数学（1）班 姓 名： 学 号： 实验地点： 实验时间： 指导教师： 成 绩：

LINGO软件求解整数规划问题

一.实验目的

1、学会使用LINGO软件求解整数规划问题。 2、学会分析LINGO软件求解的结果。

二.实验内容

1、某班有男同学30人,女同学20人,星期天准备去植树。根据经验,一天中,

男同学平均每人挖坑20个,或栽树30棵,或给25棵树浇水,女同学平均每人挖坑10个,或栽树20棵,或给15棵树浇水。问应怎样安排,才能使植树(包括挖坑、栽树、浇水)最多。建立该问题的数学模型，并求其解。

2、求解线性规划：

maxZ x1 2x2 2x1

若某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油。使总的钻探费用为最小。若10个井位的代号为S1,S2．…，S10相应的钻探费用为C1 ,C2 ,… C10，并且井位选择要满足下列限制条件： (1)在s1，s2，S4中至多只能选择两个； （2）在S5，s6中至少选择一个；（3）在s3，s6，S7，S8中至少选择两个。 试建立这个问题的整数规划模型

解：设xj（j=1,…,10）为钻井队在第i个井位探油 minZ=?cjxj

j?110

背包问题：一个登山队员，他需要携带的物品有：食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、通信器材等。每种物品的重量合重要性系数如表所示。设登山队员可携带的最大重量为25kg,试选择该队员所应携带的物品。

序号 1 2 3 4 5 6 7 物品 食品 氧气 冰镐 绳索 帐篷 照相器材 通信设备 重量/Kg 5 5 2 6 12 2 4 重要性系数 20 15 18 14 8 4 10

解：引入0—1变量xi, xi=1表示应携带物品i，,xi=0表示不应携带物品I

naxz?20x1?15x2?18x3?14x4?8x5?4x6?10x7?5x1?5x2?2x3?6x4?12x5

第五章 整数规划习题

5.1 考虑下列数学模型 min且满足约束条件

z?f1(x1)?f2(x2)

（1）或x1?10，或x2?10；

（2）下列各不等式至少有一个成立：

?2x1?x2?15??x1?x2?15?x?2x?152 ?1

（3）

x1?x2?0或5或10

?0（4）x1其中

?0，x2

?20?5x1,如x1?0?,如x1?0f1(x1)?0=

将此问题归结为混合整数规划的模型。 解：min

z?10y1?5x1?12y2?6x2?12?6x2,如x2?0?,如x2?0f2(x2)??0

5.2 试将下述非线性的0-1规划问题转换成线性的0-1规划问题

maxz?x1?x2x3?x323（?0）x1?y1?M；x2?y2?M?（1）x1?10?y3?M??x2?10?(1?y3)?M?（?2）x1?x2?15?y4M?x1?x2?15?y5M??x1?2x2?15?y6M??y4?y5?y6?2?（?3）x1?x2?0y7?5y8?5y9?10y10?11y11?y7?y8?y9?y10?y11?1??1i＝1，.???，11）?(4)x1?0，x2?

第五章 整数规划习题

5.1 考虑下列数学模型 min且满足约束条件

z?f1(x1)?f2(x2)

（1）或x1?10，或x2?10；

（2）下列各不等式至少有一个成立：

?2x1?x2?15??x1?x2?15?x?2x?152 ?1

（3）

x1?x2?0或5或10

?0（4）x1其中

?0，x2

?20?5x1,如x1?0?,如x1?0f1(x1)?0=

将此问题归结为混合整数规划的模型。 解：min

z?10y1?5x1?12y2?6x2?12?6x2,如x2?0?,如x2?0f2(x2)??0

5.2 试将下述非线性的0-1规划问题转换成线性的0-1规划问题

maxz?x1?x2x3?x323（?0）x1?y1?M；x2?y2?M?（1）x1?10?y3?M??x2?10?(1?y3)?M?（?2）x1?x2?15?y4M?x1?x2?15?y5M??x1?2x2?15?y6M??y4?y5?y6?2?（?3）x1?x2?0y7?5y8?5y9?10y10?11y11?y7?y8?y9?y10?y11?1??1i＝1，.???，11）?(4)x1?0，x2?

运筹学实验二——整数规划

一、实验目的

熟悉WinQSB软件LP-ILP子系统界面内容，掌握操作命令。用WinQSB软件求解整数规划问题（分支定界法）。

二、实验平台和环境

WindowsXP平台下，WinQSB V2.0版本已经安装在D:\\WinQSB中。

三、实验内容和要求

建立整数规划新问题，使用WinQSB软件输入模型，求解模型，并对问题的结果进行简单分析。

四、实验操作步骤

求解整数规划。启动程序，点击开始?程序?WinQSB?Linear and Integer Programming。

点击菜单栏Solve and Analyze?Solve and Display Steps或点击工具栏中的图标支定界法求解，观察一下软件用分支定界法求解IP的迭代步骤。 五、分析讨论题

1、求以下整数规划问题的最优解 （1）

用分

MaxZ?40x1?90x2?9x1?7x2?56?s.t.?7x1?20x2?70?x,x?0且取整数?12

（2）

MaxZ?x1?x2?2x1?x2?6?4x?5x?20 ?2s.t.?1?x1,x2?0??x1,x2为整数2、求以下0，1规划问题的最优解

MaxZ?3x1?2x2?5x3?x1?2x2?x3?

方程整数解问题 姓名 学号

1. 因式分解法 例1. 例2.

练习1.求方程2xy?5?4y?x的正整数解

2. 变量分离法

求方程x2?y2?868的正整数解 求方程xy?x?y?6的整数解

4是整数，则整数a的取值为 a?14 若代数式是正整数，则整数a的取值为

a?1引例1.若代数式例3.

练习2.已知方程xy?3x?5y?77，x，y为整数，则满足条件得所有对（x，y）的组数为

第 1 页 共 5 页

求方程2(x?y)?xy?7的正整数解

3. 选取主元法（△法） 例4.

已知a2x2?(3a2?8a)x?2a2?13a?15?0（其中a为非负整数）至少有一整数根，

则a=

変题1.若两个实根都是整数，则a= 変题2.若a是整数，则a= 例5.

设关于x的二次方程(k2?6k?8)x2?(2k2?6k?4)x?k2?4的两根都是整数，求

满足条件的所有整数k的值。

変题1.若改整数k为实数

甲乙公司不合作即竞争下所争取到的不同名专业推广者所建立的不同动态规划模 型的组合方案如下：其中X 为可能竞争到的专业推广者人数，即动态规划模型中第一天的

1

专业推广者推

广能力的份数，Y 为第二天需要的专业推广者推广能力的份数，即第三天安排从事推广 工作的专业推广者的人数；Z 为第三天需要的专业推广者推广能力的份数，即第三天安排从事推广工作的专业推广者的人数；a 为x 名专业推广者累计从事培训工作出来的兼职推广者的批数（每批20 人），其中，有多种组合方案；甲公司雇佣这些兼职推广者均工作一天，从事推广工作，第二天辞退a ?b批兼职推广员，其余的b批继续从事推广工作一天后辞退，即兼职宣传员总共最多雇佣2 天；cost 为花费的成本，即资金的使用数量；F 为不同方案下所达到的总推广效益。上表可以提供给甲公司做决策依据，根据效益的大小甲公司可以决策的目标方向顺序是从①--⑧，即不合作的情况下甲公司可以尽量争取到9 人，如若

不行，考虑争取4 人。

§5.4 0—1型整数规划模型

1、 0—1型整数规划模型概述

整数规划指的是决策变量为非负整数值的一类线性规划，在实际问题的应用中，整数规划模型对应着大量的生产计划或活动安排等决策问题，整数规划的解法主

第一章 线性规划

§1 线性规划

在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。

1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用A、B机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用A、B、C三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A机器10小时、B机器8小时和C机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？

上述问题的数学模型：设该厂生产x1台甲机床和x2乙机床时总利润最大，则x1,x2

应满足

（目标函数）maxz=4x1+3x2