关系代数例题

《数学实验》在线习题3

Matlab程序设计部分 一. 分

析

向

量

组

a1?[1T2a23?]?,?T[a31T?2，0],a4?[1?2?1]T，a5?[246]T的线性相关性，找出它们的最大无关组，并将其

余向理表示成最大无关组的线性组合。

解， a1=[1 2 3]';

a2=[-1 -2 0]'; a3=[0 0 1]'; a4=[1 -2 -1]'; a5=[2 4 6]'; A=[a1,a2,a3,a4,a5] ; [R,S]=rref(A) r=length(S)

R =

1.0000 0 0.3333 0 2.0000 0 1.0000 0.3333 0 0 0 0 0 1.0000 0 S =

1 2 4 r =

3

线性相关 a1,a2,a3,a4,a5 最大无关组是a1,a2,a4

其余向量的线性组合是a3=1/3a1+1/3a2 a5=2a1

二. 计算行列式

《数学实验》在线习题3

Matlab程序设计部分 一. 分

析

向

量

组

a1?[1T2a23?]?,?T[a31T?2，0],a4?[1?2?1]T，a5?[246]T的线性相关性，找出它们的最大无关组，并将其

余向理表示成最大无关组的线性组合。

解， a1=[1 2 3]';

a2=[-1 -2 0]'; a3=[0 0 1]'; a4=[1 -2 -1]'; a5=[2 4 6]'; A=[a1,a2,a3,a4,a5] ; [R,S]=rref(A) r=length(S)

R =

1.0000 0 0.3333 0 2.0000 0 1.0000 0.3333 0 0 0 0 0 1.0000 0 S =

1 2 4 r =

3

线性相关 a1,a2,a3,a4,a5 最大无关组是a1,a2,a4

其余向量的线性组合是a3=1/3a1+1/3a2 a5=2a1

二. 计算行列式

序 言

线性代数课程的特点是：

四多：概念多，定理多，符号多，运算规律多，且内容相互纵横交错。知识前后紧密联系。考生应充分理解概念、掌握定理的条件、结论，熟悉符号的意义，掌握各种运算规律、计算方法。抓联系，找规律，重应用。

行列式的重点是计算，利用性质熟练、准确、快捷的计算出行列式的值是一个基本功。

矩阵中除可逆矩阵、分块矩阵、初等矩阵、对称矩阵、正交矩阵、数量矩阵等重要概念外，主要也是运算，首先是矩阵符号的运算，其次是数值运算。特别是在解矩阵方程时先用符号运算化简方程，然后利用所给数值求出最后结果。这时往往是矩阵乘法或求逆，对这两种运算又务必要准确熟练。A和A*的关系式，矩阵乘积的行列式，方阵的幂，分块矩阵求逆及行列式也是常考的内容。

关于向量，在加减及数乘运算上等同于矩阵运算，而其特有的相关、无关性的命题却在试卷中随处可见。证明（或判断）向量组的线性相关（无关）性，线性表出等问题的关键在于深刻理解线性相关（无关）的概念及几个相关定理，并要注意推证过程中逻辑的正确性及证法的应用。

向量组的极大无关性、等价向量组、向量组及矩阵的秩的概念，以及它们相互关系也是重点内容之一。用初等行变换求向量组及矩阵的秩的方法要熟练准确。在R?中，基、坐标

1

1，对三组生产数据求和:=SUM(B2:B7,D2:D7,F2:F7)：

2，对生产表中大于100的产量进行求和:{=SUM((B2:B11>100)*B2:B11)}：

3，对生产表大于110或者小于100的数据求和:{=SUM(((B2:B11<100)+(B2:B11>110))*B2:B11)}： 4，对一车间男性职工的工资求和:{=SUM((B2:B10=\一车间\男\： 5，对姓赵的女职工工资求和:{=SUM((LEFT(A2:A10)=\赵\女\6，求前三名产量之和:=SUM(LARGE(B2:B10,{1,2,3}))： 7，求所有工作表相同区域数据之和:=SUM(A组:E组!B2:B9)

8，求图书订购价格总和:{=SUM((B2:E2=参考价格!A$2:A$7)*参考价格!B$2:B$7)} 9，求当前表以外的所有工作表相同区域的总和:=SUM(一月:五月!B2), 10，用SUM函数计数:{=SUM((B2:B9=\男\ 11，求1累加到100之和:{=SUM(ROW(1:100))}

12，多个工作表不同区域求前三名产量和:{=SUM(LARGE(CHOOSE({1,2,3,4,5},A组!B2:B9,B组!B2:B9,C组!B2:

【练10】（1）（黄岗三月分统考变式题）设a间。 答案：当0?0，且a?1试求函数y?loga4?3x?x2的的单调区

3?3???3???a?1，函数在??1,?上单调递减在?,4?上单调递增当a?1函数在??1,?上单调

2?2???2??递增在

?3?

,4?上单调递减。 ??2?

（2）若函数

1f?x??loga?x3?ax??a?0,a?1?在区间(?,0)内单调递增，则a的取值范围是（）A、

21399[,1) B、[,1) C、(,??) D、(1,) 44442则g'?x??3x?a当a?1时，要使得f?x?是增函数，则需有g'?x??0?x??x3?ax，

2答案：B.（记g3?1?恒成立，所以a?3????.矛盾.排除C、D当0?a?1时，要使f?x?是函数，则需有g'?x??0恒

4?2?3?1?成立，所以a?3????.排除A）

4?2?2【易错点11】 用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性．

12求siny?cosx的最大值 31【易错点分析】此题学生都能通过条件sinx?siny?将问题转化为关于sinx的函数，进而利用换

3元的思想令t?sinx将问题变为关于t的二次函数最值求解。但

（二）角与角之间的互换

公式组一 公式组二

? cos(???)?cos?cos??sin?sin? sin2??2sin?cos222??co2s??sin??2co2s??1?1?2sin? cos(???)?cos?cos??sin?sin? cossin(???)?sin?cos??cos?sin? tan2??2tan?1?tan?2

sin(???)?sin?cos??cos?sin? sin??2?1?co?s 2tan(???)?tan??tan??1?co?s cos??

1?tan?tan?22?1?cos?sin?1?cos?tan??tan?tan????tan(???)? 21?cos?1?cos?sin?1?tan?tan?公式组三 公式组四 公式组五 1?1?sin??????sin??????sin?cos??2tancos(???)?sin?222 s

（二）角与角之间的互换

公式组一 公式组二

? cos(???)?cos?cos??sin?sin? sin2??2sin?cos222??co2s??sin??2co2s??1?1?2sin? cos(???)?cos?cos??sin?sin? cossin(???)?sin?cos??cos?sin? tan2??2tan?1?tan?2

sin(???)?sin?cos??cos?sin? sin??2?1?co?s 2tan(???)?tan??tan??1?co?s cos??

1?tan?tan?22?1?cos?sin?1?cos?tan??tan?tan????tan(???)? 21?cos?1?cos?sin?1?tan?tan?公式组三 公式组四 公式组五 1?1?sin??????sin??????sin?cos??2tancos(???)?sin?222 s

（二）角与角之间的互换

公式组一 公式组二

? cos(???)?cos?cos??sin?sin? sin2??2sin?cos222??co2s??sin??2co2s??1?1?2sin? cos(???)?cos?cos??sin?sin? cossin(???)?sin?cos??cos?sin? tan2??2tan?1?tan?2

sin(???)?sin?cos??cos?sin? sin??2?1?co?s 2tan(???)?tan??tan??1?co?s cos??

1?tan?tan?22?1?cos?sin?1?cos?tan??tan?tan????tan(???)? 21?cos?1?cos?sin?1?tan?tan?公式组三 公式组四 公式组五 1?1?sin??????sin??????sin?cos??2tancos(???)?sin?222 s

函数

1.已知集合{}05≤-=a x x A ，{}06>-=b x x B ,N b a ∈,，且{}2,3,4A B N ??=，则整数对()b a ,的个数为 （ ）

A. 20

B. 25

C. 30

D. 42

解：50x a -≤5a x ?≤；60x b ->6

b x ?>。要使{}2,3,4A B N ??=，则 126455b a ?≤<????≤<??

，即6122025b a ≤<??≤<?。所以数对()b a ,共有116530C C =。 2.已知f(x)是定义在R 上的不恒为0的函数．如果对于任意的a 、b ∈R 都满足

f(ab)＝af(b)＋bf(a)，则函数f(x) （ ）

(A)是奇函数 (B)是偶函数

(C)既是奇函数又是偶函数 (D)既不是奇函数也不是偶函数

解：由f(－1)＝－f(1)＋f(－1)有f(1)＝0，而f(1)＝－2f(－1)，∴f(－1)＝0，

∴f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)．

3.已知a 为给定的实数，那么集合M ＝{x|x 2－3x

实验报告

2011年6月制表

SC：学生选课成绩表

。 ∏Cno , Cname(σ teacher=“程军”（C）)

（2）检索年龄大于21的男学生学号SNO和姓名SNAME。 ∏Sno , Sname(σ Age> 21ΛSex=“男” (S))

（3）检索至少选修“程军”老师所授全部课程的学生姓名SNAME。 ∏Sname(S∞∏(Sno,Cno(SC) ∏Cno(σ teacher=“程军”（C）))) （4）检索“李强”同学不学课程的课程号。 ∏Cno (C)－ ∏Cno(σ Sname=“李强”(s) ∞SC)) (5)检索至少选修两门课程的学生学号。 ∏Sno (σ [1]=[4] Λ [2]<>[5] (SC SC))

(6)检索全部学生都选修的课程的课程号和课程名。 ∏Cno , Cname((C)∞(∏Sno,Cno(SC) ∏Sno (S)))

(7)检索选修课程包含“程军”老师所授课程之一的学生学号。 ∏Sno(SC ∞ (σ teacher=“程军”（C）))

(8)检索选修课程号为k1和k5的学生学号。 ∏Sno,Cno(SC) ∏Cno(σ Cno=‘K1’ V Cno=‘K5’(C))