分段函数求极限例题及答案解析
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分段函数知识点及例题解析
分段函数常见题型例析
所谓“分段函数”是指在定义域的不同部分,有不同对应关系的函数,因此分段函数不是几个函数而是一个函数,它在解题中有着广泛的应用,不少同学对此认识不深,解题时常出现错误.现就分段函数的常见题型例析如下:
1.求分段函数的定义域、值域
例1.求函数)(x f =?????->-≤+)2(,2
)2(,42x x x x x 的值域.
解:当x ≤-2时,4)2(422-+=+=x x x y , ∴ y ≥-4.
当x >-2时,y =2x , ∴y >2
2-=-1. ∴ 函数)(x f 的值域是{y ∣y ≥-4,或y >-1}={y ∣y ≥-4}. 评注:分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集;分段函数的值域是各段函数值集合的并集.
2.作分段函数的图象
例2 已知函数2(2)()3[22)3[2)x f x x x x -∈-∞-??=+∈-??∈+∞?
,,,,
,,,画函数(
f x 解:函数图象如图1所示.
评注:分段函数有几段,其图象就由几条曲线组成,
作图的关键是根据定义域的不同,分别由表达式做出
其图象.作图时,一要注意每段自变量的取值范围;
二要注意间断函数的图象中每段的端点的虚实. 3.求分段函数的函数值
例3.
《求函数极限的若干方法》毕业论文
目 录
摘 要 ......................................................................................................................................... 2 关键词 ....................................................................................................................................... 2 1.定义法 .................................................................................................................................... 3 2.利用极限四则运算法则 ....................................................................................
求二元函数极限几种方法
1.二元函数极限概念分析
定义1 设函数f在D?R2上有定义,P0是D的聚点,A是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数?,总存在某正数?,使得P?U0(PD时,都有 0;?) f(P)?A??,
则称f在D上当P?P0时,以A为极限,记limf(P)?A.
P?P0P?D上述极限又称为二重极限.
2.二元函数极限的求法
2.1 利用二元函数的连续性
命题 若函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续,则
limf(x,y)?f(x0,y0).
(x,y)?(x0,y0)2 例1 求f(x,y)?x?2xy 在点(1,2)的极限. 2 解: 因为f(x,y)?x?2xy在点(1,2)处连续,所以
limf(x,y)x?1y?2?lim(x2?2xy)x?1y?2?12?2?1?2?5.
例2 求极限lim1.
?x,y???1,1?2x2?y2 解: 因函数在?1,1?点的邻域内连续,故可直接代入求极限,即
11=.
?x,y???1,1?2x2?y23lim1 / 15
2.2 利用恒等变形法
将二元函数进行恒等变形,例如分母或分子有理化等. 例3
极限及几种求极限重要方法的探究
极限及几种求极限重要方法的探究
王龙科
西北师范大学数学与信息科学学院 甘肃兰州 730070
摘要: 极限理论是高等数学的理论基石,也是研究高等数学的重要方法。高等数学中的微分和积分理论都是建立在极限理论基础之上的,这说明理清极限理论和重要极限求法是非常有必要的。本文主要分两大部分作以探究,第一部分介绍极限理论;第二部分列举求极限的常见方法,并配有相关例题加以说明。 关键词: 极限;高等数学;求极限的方法
一、引言
极限是高等数学中最重要得概念之一,是研究积分和微分的重要工具。极限思想也是研究高等数学的重要思想,掌握极限思想是学习微分和积分的基础。极限是描述数列和函数在无限变换过程中的变化趋势的概念,它是人们从有限认识到无限、从近似认识到精确、从量变认识到质变的一种数学方法。极限理论的出现是微积分发展历史上的一个历程碑,它使微积分理论更加蓬勃法展起来。本文接下来将就极限理论思想和求极限的重要方法进行探究。
二、极限理论 1、数列极限
定义1若函数f的定义域为全体正整数集合N?,则称 f: N?→R 或 f(n),n∈N?
为数列.因为正整数集N?的元素可按由小到大的顺序排列,故数列f(n)也可写作 a1,a2,…,an…
毕业论文 - 求函数极限的若干方法(数学考研)
烟 台 大 学
毕 业 论 文(设 计)
函数极限的求法
申请学位: 理学学士 院 系: 数学与信息科学学院 专 业: 信息与计算科学 姓 名: 廖春华 学 号: 201063502139 指导老师: 郭常忠(副教授)
1
2014年 5月 29 日 烟台大学
姓 名: 廖春华
导 师: 郭常忠
烟台大学毕业论文(设计)任务书
院(系):数学与信息科学学院 姓名 廖春华 学号 201063502139 毕业届别 2014 专业 信息与计算科学 毕业论文(设计)题目 指导教师 郭常忠 学历 博士研究生 函数极限的求法 职称 副教授 所学专业 应用数学 具体要求(主要内容、基本要求、主要参考资料等): 课题研究的目的和意义: 在自然科学中、工程技术,甚至某些社会科学中,函数是被广泛应用的数学概念,从小学开始我们就已经接触到了函数,函数贯穿了我们整个的学习时段。既然函数在数学学习中处于核心地位,那么我们用什么方法来研究函数呢?这个方法就是极限。无论是再中学数学还是在大学数学中,极限的概念和思想都
高考求函数值域及最值得方法及例题 - 训练题(3)
函数专题之值域与最值问题
一.观察法
通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2-3x) 的值域。
点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x) 的值域。 解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0, 故3+√(2-3x)≥3。 ∴函数的知域为 .
点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。
练习:求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5}) 二.反函数法
当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。
解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}。
点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要
分段函数与复合函数
分段函数
1.已知函数f(x)=??3x?2,x?1,?x?ax,x?1,2若f(f(0))=4a,则实数a= 2 .
解析:f(0)=2,f(f(0))=f(2)=4+2a=4a,所以a=2
?log3x,x?012. 已知函数f(x)??x,则f(f())?
9?2,x?0A.4
B.
1 4 C.-4 D-
1 4【答案】B
1111【解析】根据分段函数可得f()?log3??2,则f(f())?f(?2)?2?2?,
9994所以B正确.
3.定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ??log2(1?x),x?0,则(f2009)的值为( )
?f(x?1)?f(x?2),x?0A.-1 B. 0 C.1 D. 2
【解析】:由已知得f(?1)?log22?1,f(0)?0,f(1)?f(0)?f(?1)??1,
f(2)?f(1)?f(0)??1,f(3)?f(2)?f(1)??1?(?1)?0,
f(4)?f(3)?f(2)?0?(?1)?1,f(5)?f(4)?f(3)?1,f(6)?f(5)?f(4)?0,
所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所
分段函数教案
品优生个性化教案
分段函数 适用学科 适用区域 知识点 数学 沈阳 1、分段函数的含义的认识 2、会作分段函数的图像. 3、利用分段函数图像解决日常生活中的实际问题. 适用年级 高一 课时时长(分钟) 90 教学目标 知识与技能: 1.能根据不同情境,了解分段函数的含义。 2.了解简单的分段函数(函数分段不超过三段),并能运用分段函数求函数值的问题。 3.能作出分段函数的图像,利用它解决生活中的简单应用问题. 过程与方法: 1.经历在分析、思考的基础上,让学生通过观察、感悟分段函数的意义过程,分清函数与分段函数的区别与联系; 2.通过例题的探究,培养学生勤于动脑,乐于探究,主动参与学习的意识,体会数形结合思想在数学学习中的重要性. 3.经过训练题和课堂练习,加深对分段函数的概念、图像的认识,应用,提高分析、解决问题的能力. 情感态度与价值观: 学习过程中进一步体会发现规律,应用规律的学习乐趣,从而提高学习数学的兴趣,提高学生的求知欲、感悟数学的美。 教学重点 1.分段函数的含义的认识 2.会作分段函数的图像. 3.利用分段函数图像解决日常生活中的实际问题. 教学难点 1.分段函数与一般函数的区别与联系。 2.如何作分段函数的图像(步骤、方
分段函数与复合函数
分段函数
1.已知函数f(x)=??3x?2,x?1,?x?ax,x?1,2若f(f(0))=4a,则实数a= 2 .
解析:f(0)=2,f(f(0))=f(2)=4+2a=4a,所以a=2
?log3x,x?012. 已知函数f(x)??x,则f(f())?
9?2,x?0A.4
B.
1 4 C.-4 D-
1 4【答案】B
1111【解析】根据分段函数可得f()?log3??2,则f(f())?f(?2)?2?2?,
9994所以B正确.
3.定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ??log2(1?x),x?0,则(f2009)的值为( )
?f(x?1)?f(x?2),x?0A.-1 B. 0 C.1 D. 2
【解析】:由已知得f(?1)?log22?1,f(0)?0,f(1)?f(0)?f(?1)??1,
f(2)?f(1)?f(0)??1,f(3)?f(2)?f(1)??1?(?1)?0,
f(4)?f(3)?f(2)?0?(?1)?1,f(5)?f(4)?f(3)?1,f(6)?f(5)?f(4)?0,
所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所
第二讲 函数的极限-简化公布版(例题重要)
第二讲 函数的极限
(甲)内容要点
一、极限的概念与基本性质
1.极限的定义 (要求会用∈-δ 语言描述)
(1)limf(x)=A (2)limf(x)=A (3)limf(x)=A
x→+∞
x→ ∞
x→∞
(4)limf(x)=A (5)limf(x)=A (6)limf(x)=A(用f(x0 0)表示) +
x→x0
x→x0x→x0
用limf(x)=A表示上述六类函数的极限,它具有的性质,上述六类函数极限皆具有。
2.极限的基本性质 (要求会用定义证明)
定理1(唯一性)设limf(x)=A,limf(x)=B,则A=B。
定理2(局部保序性, 特别注意B=0时的局部保号性)设limf(x)=A,limg(x)=B
若x变化一定以后,总有f(x)≥g(x),则A≥B;反之,A>B,则x变化一定以后,有
f(x)>g(x).注:当g(x)≡0,B=0情形也称为极限的保号性).
定理3 (局部有界性)设limf(x)=A,则当x变化一定以后,f(x)是有界的。 定理4 设limf(x)=A,limg(x)=B,则
(1)lim[f(x)±g(x)]=A±B (2)lim[f(x) g(x)]=A B
(3)lim二、无穷量
f(