小学数学分析与综合方法

求极限的方法

具体方法

⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限

定理1①：若极限limf(x)和limg(x)都存在，则函数f(x) g(x)，f(x) g(x)

x x0

x x

当x x0时也存在且

①lim f(x) g(x) limf(x) limg(x)

x 0

x x0

x x.0

②lim f(x) g(x) limf(x) limg(x)

x x0

x x0

x x0

又若limg(x) 0，则

x x0

f(x)

在x x0时也存在，且有 g(x)

f(x)limf(x)

limg(x)

limg(x)

x x0

x x0

x x0

利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如

0

、等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中 0

的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。 例1：求lim

x 2

x2 4

x 2

解：原式=lim

x 2

x 2 x 2

x 2

lim x 2 0

x 2

⒉用两个重要的极限来求函数的极限

①利用lim

x 0

sinx

1来求极限 x

lim

x 0

sinx

1的扩展形为： x

令g x 0，当x x0或x 时，则有

lim

x x0

sing x s

《数学分析难点与重点分析》

基础篇

第一讲 数列极限

参考书（高等数学考研习题(八几年的书)16开，32考研的习题解答(八几年棕色)，华罗庚的高等数学） 前言

先写数列极限的定义及其性质介绍，详见谁的书等等。再介绍本章的主要内容，出发点。 1.1 数列极限的求法（Taylor公式，连续化提一下，详见后面） 1.2 Cauchy命题与Stolz定理 1.3 上下极限

1.4 Rn中点列的收敛 习题1

第二讲 实数理论

实数的定义，构造历史，实数定理得出发点。 先列定理，分析定理，举例子。

等价性的证明，书上有的见什么地方，比较新颖的证明给出。 2.1 实数基本定理

2.2 实数理论的一些例子 习题2

第三讲 函数极限与连续性

用有限刻画无穷的思想在前言中描述 3.1 函数极限的计算

洛必达应用条件，不能应用洛必达法则但极限存在的。 3.2 Heine定理与左右极限 3.3 函数的连续性 3.4 函数的一致连续性

开区间上的一致连续性，包括有限无穷区间。一致连续性对于乘法、除法的封闭性。 3.5 多元函数的极限与连续性（和一元极限的区别，收敛的方向变多） 习题3

微分篇

第四讲 一元微分学

定义放序言，导数几何意义等

▇ ▇ 数学分析

《数学分析Ⅰ》第2讲 教学内容：实数系的连续性

第二章 数列极限

§2.1实数系的连续性

一． 实数系的产生（历史沿革）

从人类历史的开始，人类就逐步认识了自然数，1，2，3，?，n，?

自然数集 整数集 有理数集 实数集

解决的减法解决对除法?????????? ? 的封闭性的封闭性解决对开方?????的封闭性? ? ?

对加法封闭 对加减乘封闭 对加减乘除封闭 对减法不封闭 对除法不封闭 对开方不封闭

2000多年前，毕达哥拉斯学派认为：有理数集是最完美的数集；世界上的万事万物都可以用有理数表示。

但是，毕达哥拉斯的一个“叛逆”的学生，发现了边界为1的正方形的对角线长度不是一个有理数，即

数轴上点c不是一个有理数点。

例2.1.1设c?2，试证明：c不是一个有理数。

2p，则q222p2?c2q2?2q2，所以2|p，不妨设p?2p1，故(2p1)?2q，所以2p1?q， 所以2|q，记q?2q1，即p?2p1，q?2q1，这与 (p,q)

《数学分析Ⅱ》期中考试题

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、曲线2x2 +3y2 + z2 =9, z2 =3x2 + y2 在点 ( 1, -1, 2 )的法平面方程是（ 1 ）

A、8x+10y+7z-12=0； B、8x+10y+7z+12=0；C、8x -10y+7z-12=0； D、8x+10y+7z+12=0 2、L为单位圆周，则

??Lyds?（ 4 ）

A、1 B、2 C、3 D、4 3、L为从( 1, 1, 1 )到( 2, 3, 4 )的直线段，则

?Lzdx?xdz= （ 3 ）

A、3 B、5 C、7 D、9 4、

??x?y?13?x?y?dxdy=（ 2 ）

A、2 B、4 C、6 D、8 5、

?0?12dy?21?y1?x0f(x,y)dx，改变积分顺序得（ 1 ） f(x,y)dy B、?dx?121?x?11?x?1A、C、

??12dx?dx?f(x,y)dy f(x,y)dy

1?x01f(x,y)dy D、?dx?126、V=[-2, 5]?[

第十三章 函数项级数 应用题

第十三章

函数项级数 计算题

1．设S(x)=?ne?nx x>0，计算积分?ln3ln2S(t)dt

2．.判断级数?(?1)nxnn1?xn(x>0)的敛散性.

第十三章 函数项级数 计算题答案

1．?ne?nx在[ln2,ln3]上连续且一致收敛

?它在[ln2,ln3]可逐积分 (得4分)

??ln3?s(t)dt?ln3ne?nxdxln2?? (得6分)

n?1ln2? =?[(1)n?(1)n23]?1?1?1 (得8分)

n?11?121?12 32． 对交错级数?(?1)nn 由莱布尼兹判别法知它收敛 (得3分)

而

xn1?xn 当x>1时,单增有界 ; x=1时,值为

12 ; 当x<1时,单降为界 (得6分)

故由阿贝尔判别法知?(?1)nxnnn收敛

第2，3，11章 习题解答

习题2-1

1. 若自然数n不是完全平方数.证明n是无理数. 证明 反证法. 假若n?pq(p,q?N,且p,q互质)，于是由nq2?p2可知,q2是

p2的因子，从而得q2?1即p2?n,这与假设矛盾.

2. 设a,b是两个不同实数.证明在a和b之间一定存在有理数.

证明 不妨设a0, 所以存在正整数n,使得0

1

mm综上可得 na

nn3. 设x为无理数.证明存在无穷多个有理数

pq(p,q为整数，q?0)使得x?pq?1q2.

证明 反证法. 假若只有有限个有理数满足不等式,即

x?令

piqi<

1qi2 , (i?1,2,3?,m)

??p??min?x?ii?1,2,3,?,m?

qi??取 N:N?1, 且选取整数p,q(0?q?N), 使得 ?p111, x??N?2

qqqNp1??N???, qqq qx?p?但因q是正整数，故又有x?从而可知

习题2-2

ppi? (i?1,2,3,?m), 这与假设矛盾. qqi1．求下列数集的上、下确界. （1）?1???1??1? n?N?, （2）?(1?)nn?N?,

玉林师范学院课程期末考试试题参考答案及评分标准 （2006——2007学年度第二学期） 命题教师：梁志清 命题教师所在系：数计系 试卷类型：（A）

装

订 线 装 订 线

课程名称：数学分析Ⅳ 考试专业：数学与应用数学 年级： 2005

题号 应得分 一 20 二 15 三 42 四 7 五 16 总分 一 填空题 （每小题2分）

1 1； 2 (n?1)!； 3

2； 4 1； 5 1； 6 2?10dx?f(x,y)dy；

x17 x3?y3?3xy?c；8

2?6；9 ?a；10 。 34二 单项选择题 (每小题3分)

1 A； 2 B； 3 B； 4 D；5 C。

三 计算题

22 1 L：x?y?2y，令x?cos?,y?1?sin?,则0???2? ??2分

于是ds?d? ??3分

?(xL2?y)ds??2(1?sin?)d?

玉林师范学院课程期末考试试题参考答案及评分标准 （2006——2007学年度第二学期） 命题教师：梁志清 命题教师所在系：数计系 试卷类型：（A）

装

订 线 装 订 线

课程名称：数学分析Ⅳ 考试专业：数学与应用数学 年级： 2005

题号 应得分 一 20 二 15 三 42 四 7 五 16 总分 一 填空题 （每小题2分）

1 1； 2 (n?1)!； 3

2； 4 1； 5 1； 6 2?10dx?f(x,y)dy；

x17 x3?y3?3xy?c；8

2?6；9 ?a；10 。 34二 单项选择题 (每小题3分)

1 A； 2 B； 3 B； 4 D；5 C。

三 计算题

22 1 L：x?y?2y，令x?cos?,y?1?sin?,则0???2? ??2分

于是ds?d? ??3分

?(xL2?y)ds??2(1?sin?)d?

数学分析（2）期末试题

课程名称 数学分析（Ⅱ） 适 用 时 间 试卷类别 1 适用专业、年级、班 应用、信息专业

一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）

1、 下列级数中条件收敛的是（ ）．

A ．1(1)n n ∞=-∑

B ． 1n

n ∞= C ． 21(1)n n n ∞=-∑ D ． 11(1)n

n n ∞=+∑

2、 若f 是(,)-∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数, 则f 的傅里叶（Fourier ）级数在

它的间断点x 处 （ ）．

A ．收敛于()f x

B ．收敛于1((0)(0))2

f x f x -++ C ． 发散 D ．可能收敛也可能发散

3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是（ ）．

A ．有界

B ．连续

C ．单调

D ．存在原函数

4、设()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x '=（ ）

A ．

1x B ．ln x x C ． 21x

- D ．

《线性代数与数学分析》考试大纲

《线性代数与数学分析》是全日制教育硕士专业自命题入学考试科目，旨在

考查考生大学数学基础部分知识掌握程度，为教育硕士专业学习提供最基本的数学知识支撑。

一、命题原则

1.线性代数：以矩阵理论、线性方程组理论为考查重点，要求考生比较系统掌握矩阵理论和线性方程组理论的基本概念、基本方法和基本的逻辑关系。

2.数学分析：以单变量微分积分学为考核重点，特别是数列极限、函数极限、函数连续性、导数及其应用、积分及其应用等为主要考试内容，要求考生比较系统地理解数学分析的基本概念和基本理论，掌握分析领域的基本研究方法。

3.线性代数与数学分析的内容比例各占50%。 二、考试形式与时间要求 考试形式为笔试，时间为180分钟 三、题型及各分数比例 1．选择题：约20% 2．填空题：约20% 3．计算题：约40% 4．证明题：约20% 四、难度要求 试题难度系数约为0.6 五、参考书目

1.邱维声，《高等代数》，高等教育出版社，2004年。 2.张禾瑞，郝鈵新，《高等代数》，高等教育出版社，1983年。 3.北京大学数学系，《高等代数》，高等教育出版社，1988年 4.华东师范大学数学系，《数学分析》，高等教育出版社，2001年