证明全角三角形的有几种形式

[初三数学]全角三角形测试题

A B C D E 全等三角形测试题 一、选择题： 1．已知△ABC ≌△DEF ，∠A=70°，∠E=30°，则∠F 的度数为（ ） （A ） 80° （B ） 70° （C ） 30° （D ） 100° 2.△ABC 和△DEF 中，已知AB ＝DE ，∠A =∠D ，若补充下列任意一条，就能判定△ABC ≌△DEF 的是（ ）①AC =DF ②BC =EF ③∠B =∠E ④∠C =∠F （A ）①②③ （B ）②③④ （C ）①③④ （D ）①② 3．下列命题中正确的是（ ）①全等三角形对应边相等； ②三个角对应相等的两个三角形全等；③三边对应相等的两三角形全等；④有两边对应相等的两三角形全等。 （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 4．下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（ ） （A ）两条直角边对应相等 （B ）一条直角边和它所对的锐角对应相等 （C ）两个锐角对应相等 （D ）一个锐角和锐角所对的直角边对应相等 5.如图,D

儒洋教育学科教师辅导讲义

学员姓名： 年 级： 课时数： 辅导科目： 学科教师： 课 题 授课时间： 教学目标 重点、难点 考点及考试要求 教学内容 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形中的几条重要线段：

（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心） （2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心） （3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质

（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边； （2）三角形的内角之和等于180°

（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角； （5）三角形具有稳定性。

4. 补充性质：在?ABC中，D是BC边上任意一点，E是AD上任意一点，则三角形、等腰三角形以及全等三角形的证明 备课时间： S?ABE?S?CDE?S

1

一个人的努力，一家人的希望 中国小学1对1个性化辅导专家

2016年士成学校个性化辅导教案 科目：年级：教师：学生：时间:月___日时间段：

一、授课题目：三角形的证明 二、教学目标： 三、针对性教学提纲： (一)本次上课内容： (二)课堂练习 (三)课堂回顾 四、学生对于本次课的评价： ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 学生签字： 五、教师评定： 1、学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 2、学生本次上课情况评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 教师签字： 六、课后跟踪回访： 第阶段第次课 回访日期及时间： 回访方式： 受访者： 回访情况： 校 长签字： 日期：

教研组长签字： 日期：

士成教育教务处 第一章 证明（二）

相似三角形几种基本模型

经典模型

∽平移平行型旋转180°平行型翻折180°翻折180°一般特殊斜交型斜交型特殊一般平移双垂直斜交型特殊一般双垂直一边平移翻折180°

“平行旋转型”

图形梳理：

AEE'BFBF'AF'E'AAFE'EBF'FF'EFCAEF旋转到AE‘F’BECAEF旋转到AE‘F’CAEF旋转到AE‘F’CAEF旋转到AE‘F’

特殊情况：B、E'、F'共线

1

AEE'BFBF'EE'AF'FCAEF旋转到AE‘F’CAEF旋转到AE‘F’

C，E'，F'共线

E'EAE'AF'F'FEFBCAEF旋转到AE‘F’BCAEF旋转到AE‘F’

相似三角形有以下几种基本类型： ① 平行线型

常见的有如下两种，DE∥BC，则△ADE∽△ABC

AEDADEB

CBC

② 相交线型

常见的有如下四种情形，如图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADE∽△ABC

AECB1EBCDA

如下左图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADC∽△ACB 如下右图，已知∠B=∠D，则由对顶角∠1=∠2得，△ADE∽△ABC

1D

2

AED211CCABDB

③ 旋转型

已知

华博教育

三角形全等练习

1．如图,△ABC≌△DBC,且∠A和∠D,∠ABC和∠DBC是对应角,其对应边:_______.

2．如图,△ABD≌△ACE,且∠BAD和∠CAE,∠ABD和∠ACE,∠ADB和∠AEC是对应角,则对应边_________． 3. 已知:如图,△ABC≌△FED,且BC=DE.则∠A=__________,A D=_______． 4. 如图,△ABD≌△ACE,则AB的对应边是_________,∠BAD的对应角是______．

5. 已知:如图,△ABE≌△ACD,∠B=∠C,则∠AEB=_______,AE=________．

6．已知：如图 , AC⊥BC于C , DE⊥AC于E , AD⊥AB于A , BC=AE．若AB=5 , 则AD=___________． 7．已知：△ABC≌△A’B’C’， △A’B’C’的周长为12cm，则△ABC的周长为 .

8．如图, 已知：∠1=∠2 , ∠3=∠4 , 要证BD=CD , 需先证△AEB≌△A EC , 根据是_________再证△BDE≌△______ , 根据是__________．

B12AC'A'AD34E12A

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三角形全等练习

1．如图,△ABC≌△DBC,且∠A和∠D,∠ABC和∠DBC是对应角,其对应边:_______.

2．如图,△ABD≌△ACE,且∠BAD和∠CAE,∠ABD和∠ACE,∠ADB和∠AEC是对应角,则对应边_________． 3. 已知:如图,△ABC≌△FED,且BC=DE.则∠A=__________,A D=_______． 4. 如图,△ABD≌△ACE,则AB的对应边是_________,∠BAD的对应角是______．

5. 已知:如图,△ABE≌△ACD,∠B=∠C,则∠AEB=_______,AE=________．

6．已知：如图 , AC⊥BC于C , DE⊥AC于E , AD⊥AB于A , BC=AE．若AB=5 , 则AD=___________． 7．已知：△ABC≌△A’B’C’， △A’B’C’的周长为12cm，则△ABC的周长为 .

8．如图, 已知：∠1=∠2 , ∠3=∠4 , 要证BD=CD , 需先证△AEB≌△A EC , 根据是_________再证△BDE≌△______ , 根据是__________．

B12AC'A'AD34E12A

三角形“四心”向量形式的充要条件应用

在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下： 一． 知识点总结

1）O是?ABC的重心?OA?OB?OC?0 若O是?ABC的重心，则

S?BOC?S?AOC?S?AOB?1S?ABC3

故OA?OB?OC?0

2）O是?ABC的垂心?OA?OB?OB?OC?OC?OA 若O是?ABC(非直角三角形)的垂心，

tanB：tanC 则S?BOC：S?AOC：S?AOB?tanA：故tanAOA?tanBOB?tanCOC?0

3）O是?ABC的外心?|OA|?|OB|?|OC|(或OA?OB?OC) 若O是?ABC的外心

：sin?AOC：sin?AOB?sin2A:sin2B:sin2C 则S?BOC：S?AOC：S?AOB?sin?BOC222故sin2AOA?sin2BOB?sin2COC?0

4）O是内心?ABC的充要条件是

OA?(AB|AB|?ACAC)?OB?(BA|BA|?BC|BC|)?OC?(CA|CA|?CB|CB|)?0

引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记AB,BC,CA

相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式

【知识疏理】

一， 相似三角形边长比，和周长比以及面积比的关系！

若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是----------，对应边上的高线之比是-------- 对应边上的中线之比是----------，周长之比是--------------。

A A'

B'C'CB

图（4）图1

二， 相似三角形证明的变式

1，相似三角形当中常以乘积的形式出现，如：

例1、 已知：如图1，BE、DC交于点A，∠E=∠C。求证：DA·AC=BA·AE

E D

A

CB

图2

题目比较简单，学生独立完成，启发学生总结：①本题找对应角的特殊方法是对顶角相等；②要想证明乘积式或比例式，应先证明三角形相似。

2，对特殊图形的认识

例2、已知：如图3，Rt△ABC中，∠ABC=90o，BD⊥AC于点D。 AD

BC

图3

（1） 图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么

三角形（二）——特殊三角形

【等腰三角形】

1．有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形。 2．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

3．等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。（常称为“三线合一”）。 4．如果一个三角形有两个内角相等，则它是等腰三角形。

姓 名： 【典型例题】

例1.已知?ABC中，那么?ABC一定是（ ） ?B与?C的平分线的交点P恰好在BC边的高AD上， （A）直角三角形 （B）等边三角形 （C）等腰三角形 （D）等腰直角三角形

第12届（2001年）初二培训

例2.如图2，在?ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，它们相交于F点，是图中等腰三角形的个数是（ ）

第14届（2003年）初二培训

图2

例3.等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ）。

图1

（A）30° （B）30°或150° （C）120°或150° （D）30°或120°或150°

第10届（1999年）初二第

相似三角形中的辅助线添加和相似三角形证明技巧

在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：

一、作平行线 例1. 如图， 的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BCABC延长线相交于F，求证：

BFBD

CFCE

B

A C

F F

证明：过点C作CG//FD交AB于G

小结：本题关键在于AD＝AE这个条件怎样使用。由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。

例2. 如图，△ABC中，AB<AC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：AB·

DF=AC·EF。

分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。

ABEF

欲证AB DF AC ，而这四条线段所在的两个三角形显然

ACDF

不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平

行线。

方法一：过E作EM//AB，交BC于点M，则△EMC∽△ABC（两角对应相等，两三角形相似）。

EM AC AB EC