离散数学图的基本概念思维导图

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图论部分 第七章、图的基本概念 7.1 无向图及有向图 无向图与有向图

多重集合: 元素可以重复出现的集合 无序积: A &B ={(x ,y ) | x ∈A ∧y ∈B } 定义 无向图G =, 其中 (1) 顶点集V ≠?，元素称为顶点

(2) 边集E 为V &V 的多重子集，其元素称为无向边，简称边.

例如, G =如图所示, 其中V ={v 1, v 2, …,v 5}, E ={(v 1,v 1), (v 1,v 2),

(v 2,v 3), (v 2,v 3), (v 2,v 5), (v 1,v 5), (v 4,v 5)} ,

定义 有向图D =, 其中

(1) V 同无向图的顶点集, 元素也称为顶点

(2) 边集E 为V ?V 的多重子集，其元素称为有向边，简称边.

用无向边代替D 的所有有向边所得到的无向图称作D 的基图，右图是有向图，试写出它的V 和E

注意：图的数学定义与图形表示,在同构(待叙)的意义下是一一对应的

通常用G 表示无向图, D 表示有向图, 也常用G 泛指 无向图和有向图, 用e k 表示无向边或有向边.

V (G ), E (G ), V (D ), E (D ): G 和D 的顶点集, 边集. n 阶图:

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图论部分 第七章、图的基本概念 7.1 无向图及有向图 无向图与有向图

多重集合: 元素可以重复出现的集合 无序积: A &B ={(x ,y ) | x ∈A ∧y ∈B } 定义 无向图G =, 其中 (1) 顶点集V ≠?，元素称为顶点

(2) 边集E 为V &V 的多重子集，其元素称为无向边，简称边.

例如, G =如图所示, 其中V ={v 1, v 2, …,v 5}, E ={(v 1,v 1), (v 1,v 2),

(v 2,v 3), (v 2,v 3), (v 2,v 5), (v 1,v 5), (v 4,v 5)} ,

定义 有向图D =, 其中

(1) V 同无向图的顶点集, 元素也称为顶点

(2) 边集E 为V ?V 的多重子集，其元素称为有向边，简称边.

用无向边代替D 的所有有向边所得到的无向图称作D 的基图，右图是有向图，试写出它的V 和E

注意：图的数学定义与图形表示,在同构(待叙)的意义下是一一对应的

通常用G 表示无向图, D 表示有向图, 也常用G 泛指 无向图和有向图, 用e k 表示无向边或有向边.

V (G ), E (G ), V (D ), E (D ): G 和D 的顶点集, 边集. n 阶图:

命题演算

? 命题（真值确定但不一定要知道真假，比如“存在外星人”是一个命题，它的真值确定，即使我们不知道真值）

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

原始命题/原子命题 复合命题 逻辑连接词 否定/┐ 合取/∧ 析取/∨

条件/→（┐P∨Q）

双条件（不好意思，双向箭头字符未找到，(P∧Q)∨(┐P∧┐Q)） 真值表 命题公式/公式 命题变元 命题演算

等价（自反性、对称性、传递性，等价变换法俗称“少林派”） 结合律 交换律 分配律

德·摩根律/反演律 双重否定率 代换

蕴含（自反性、反对称性、传递性，蕴含推理法俗称“武当派”，传递法俗称“隔山打牛”） 对偶法则 对偶

不可兼析取（析取符上加一横，异或） 逆条件（条件符上加字母c） 与非/↑ 或非/↓

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

结合力（ ⑴┐⑵∧⑶∨、不可兼析取、↑、↓⑷→、逆条件⑸双条件 ） 析取范式 合取范式

主析取范式（∑=m∨…） 主合取范式（∏=M∧…） 直接推演 P规则 T规则

CP规则（俗称“北冥神功”） 间接推演/间接证明/反

地图投影的基本概念

地图投影的基本概念本讲主要内容： 一、地球体的基本特征

二、地理坐标 三、问题的提出

四、地图投影的实质 五、地图投影的方法

一、地球体的基本特征(一)地球的自然表面

浩瀚宇宙之中: 地球是一个表面光滑、蓝色美丽的正球体

机舱窗口俯视大地: 地表是一个有些微起伏、极其复杂的表面

—— 珠穆朗玛峰与太平洋的马里亚纳海沟之间高差近20km

事实是：地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半 径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。

(二)地球的物理表面当海洋静止时，自由水面与该面上各点的重力方向 (铅垂线)成正交，这个面叫水准面。 在众多的水准面中，有一个与静止的平均海水面相重 合，并假想其穿过大陆、岛屿形成一个闭合曲面，这就 是大地水准面。它实际是一个起伏不平的重力等位面— —地球物理表面。它所包围的形体称为大地体。

大地水准面的意义：1. 地球形体的一级逼近：对地球形状的很好近似，其面上高出与面下缺少的相当。

2. 起伏波动在制图学中可忽略：对大地测量和地球物理学有研究价值，但在制图中，均 把地球当作正球体。

3. 重力等位面：可使用仪器测得海拔高程(某点到大地水准面的高度)

(三)地球的数学表面在测量和制图中就用旋转椭球体来代

概念图和思维导图——学习和思考的有效工具

前言：学习可视化1、知识的迅猛增长，如何提高学习的效率和 效益。 2、“如何学”比“学什么”显得更重要。 3、现代社会已进入一个读图时代。

4、用图解方式来直观地呈现、再现知识，能 增强记忆、提高学习质量；把思维过程可视化，能促 进创造性思维。 5、可视化学习是一种深度学习。

什么是概念图?概念图，又称为概念地图(Concept Maps), 是美国康乃尔大学的诺瓦克(J.D. Novak)博士 根据奥苏贝尔(David P. Ausubel)的有意义学习理论 在上个世纪60年代提出的一种教学技术。 概念图通过网状结构来呈现建立概念和概念之间

的关系。概念图主要用于对知识的理解，提高学习质量。

概念图提出者

美国诺瓦克博士

节点 连线

连接词

概念图的四个图表特征 概念(concepts)用专有名词或符号 命题(propositions) 通过连接词形成关系； 交叉连接(cross-links) 不同概念间的关系；

层级结构(hierarchical frameworks)一般、最概括的概念置于图的最上层，从属的概 念安排在下面。

什么是思维导图?思维导图(Mind Maps)是英国学者托尼· 巴赞

中考数学复习导图

思维导图

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中考数学复习导图

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中考数学复习导图

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中考数学复习导图

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中考数学复习导图

知识梳理——数与式

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中考数学复习导图

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中考数学复习导图

知识梳理——锐角三角比

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中考数学复习导图

知识梳理——函数

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中考数学复习导图

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中考数学复习导图

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很多同学觉得画思维导图很麻烦，其实用思维导图背课文有很多优势：文章结构一目了然：思维导图能够让大家从总体上把握文章结构；关键词形象化：思维导图背课文通过提取关键词使之形象化，是思考的记忆过程，而非死记硬背。那么接下来就以实例解说一下。

An exciting trip 激动人心的旅行I have just received a letter from my brother, Tim. He is in Australia. He has been there for six months. Tim is an engineer. He is working for a big firm and he has already visited a great number of different places in Australia. He has just bought an Australian car and has gone to Alice springs, a small town in the centre of Australia. He will soon visit Darwin. From there, he will

集合论部分

第三章、集合的基本概念和运算

3.1 集合的基本概念集合的定义与表示

集合与元素

集合 没有精确的数学定义

理解：一些离散个体组成的全体组成集合的个体称为它的元素或成员 集合的表示

列元素法 A={ a, b, c, d }

谓词表示法 B={ x | P(x) }

B 由使得 P(x) 为真的 x 构成常用数集

N, Z, Q, R, C 分别表示自然数、整数、有理数、

实数和复数集合，注意 0 是自然数.

元素与集合的关系：隶属关系

属于 ，不属于

实例

A={ x | x R x2-1=0 }, A={-1,1}

1 A, 2 A

注意：对于任何集合 A 和元素 x (可以是集合)，

x A和 x A 两者成立其一，且仅成立其一.

集合之间的关系

包含（子集） A B x (x A x B)

不包含 A B x (x A x B)

相等 A = B A B B A

不相等 A B

真包含 A B A B A B

不真包含 A B

思考：

空白栏

思维导图

内容大纲

一、思维导图的概述 1.1思维导图是怎样来的?

科学研究已经充分证明：人类的思维特征是呈放射性的，进入大脑的每一条信息、每一种感觉、记忆或思想（包括每一个词汇、数字、代码、食物、香味、线条、色彩、图像、节拍、音符和纹路），都可作为一个思维分支表现出来，它呈现出来的就是放射性立体结构。 1.1 思维导图是怎样来的?

英国著名心理学家东尼·博赞 在研究大脑的力量和潜能过程中，发现伟大的艺术家达· 芬奇在他的笔记中使用了许多图画、代号和连线。他意识到，这正是达芬奇拥有超级头脑的秘密所在。在此基础上，博赞于19 世纪60 年代发明了思维导图这一风靡世界的思维工具。

我们的大脑是由什么组成，又是如 何工作的呢？ 1.2 什么是思维导图？

?思维导图是通过带顺序标号的树状的结构来呈现一个思维过程，将放射性思考（Radiant

Thinking）具体化的过程。

?思维导图主要是借助可视化手段促进灵感的产生和创造性思维的形成。

?思维导图是放射性思维的的表达，因此也是人类思维的自然功能。思维导图以一种与众不

同和独特有效的方法驾驭

思维导图的发明故事

思维导图是一种非常有效的可视化的认知工具，最初是 20 世纪 60 年代英国人东尼﹒博赞（ Tony Buzan ）创造的一种笔记方法。

东尼﹒博赞是一位“大脑先生”，被称为英国记忆力之父。在他 20 岁还在上大学的时候，他发现在大学里，自己笔记记得多了，但是学习效率却降低了。于是他想寻找一种新的笔记方式，来有效地改善思维和提高效率。因此，他研究了学习心理学和希腊的记忆术，同时涉猎了达芬奇的天才笔记，并对人类的自然思考的方式进行了更深层次的思考。他发现，人类最主要的思考能力，来自发散性的联想和想象，同时，使用图形图像，代号和连线作为思维的工具，远远比枯燥的文字高效。与此相符的是，笔记记得越整齐的人，学习成绩越差；而天才们的笔记却记得相当的混乱。

东尼把我们传统的笔记称为线性笔记，因为笔记中呈现的思路是单一的，只能从前往后看。他总结了全球的线性笔记，并把它们分为三种类型，第一种是类似速记的段落式笔记，这种笔记段落分明，而且必须是经过速记训练的人才能完成，但是记下的都是零碎的，不成体系的内容；第二种称为条列式，即把笔记按照条目一条条记录下来，与段落式相比，这种方式提高了记笔记的效率，但是条目之间的关系相对比较单一，都是并列型的