幂函数概念性质图像

§2.3幂函数 幂函数

学习目标1、通过实例，了解幂函数的概念. 2、通过具体实例研究幂函数的图 象和性质. 3、掌握幂函数的简单应用.

问题引入

我们先看几个具体问题:

(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需 要支付p=w元,这里p是w的函数; y = x 2 (2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 S = a , 2 这里S是a的函数; y=x 3 (3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积 V = a , 3 y=x 这里V是a函数; (4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的 1 1 边长 a= 2 , 这里a是 S的函数; y = x 2 s (5)如果人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度 1 1 y=x v = km/ s, 这里v是t的函数.

t

若将它们的自变量全部用x来表示 函数值用 若将它们的自变量全部用 来表示,函数值用 来表 来表示 函数值用y来表 α 则它们的函数关系式将是: 示,则它们的函数关系式将是 则它们的函数关系式将是 y=

x

定义α是 数 常 .一 地函 y = x 叫 幂 数其 x 自 量 般 , 数 做 函 , 中是 变 ,α

几点说明: 几点说明1 = x

1 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

（一）指数与指数函数

1．根式

（1）根式的概念

（2）．两个重要公式

①??

??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ；

②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂

（1）幂的有关概念

①正数的正分数指数幂:0,,1)m

n a a m n N n *=>∈>、且;

②正数的负分数指数幂: 1

0,,1)m

n m

n a a m n N n a -*==>∈>、且

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（2）有理数指数幂的性质

①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q );

②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q );

③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );.

3．指数函数的图象与性质

n 为奇数 n 为偶数

2

注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之

教学过程： 一、幂函数

1．幂函数的定义

⑴一般地，形如y x （x R）的函数称为幂函数，其中x是自变量， 是常数； ⑵y x,y x,y x等都是幂函数，在中学里我们只研究 为有理数的情形； ⑶幂函数与一、二次函数，正、反比例函数及指、对数函数一样，都是基本初等函数. 2．幂函数的图像

2

13

14

x

12

x 1

⑵归纳幂函数的性质： ① 当 0时：

ⅰ）图象都过 0,0 , 1,1 点。

ⅱ）在第一象限内图象逐渐上升，都是增函数，且 越大，上升速度越快。 ⅲ）当 1时，图象下凸；当0 1时，图象上凸。

② 当 0时： ⅰ）图象都过 1,1 点。

ⅱ）在第一象限内图象逐渐下降，都是减函数，且 越小，下降速度越快。 思考1：如何判断一个幂函数在其他象限内是否有图象？ 思考2：如何作出一个幂函数在其他象限内是否有图象？ 例题讲解：

[键入文字] [键入文字]

14

[键入文字]

例1 写出下列函数的定义域和奇偶性

（1）y x （2）y x （3）y x 3 （4）y x 2

例2 比较下列各组中两个值的大小： （1）2,3 ；（2）3.14与

1

6

164

34

34

；（3）( 0.88)与( 0.89)．

34

34

23

34

32

38

5353

幂函数的概念及其性质

一、单选题(共12道，每道8分) 1.下列命题正确的是( )

A.幂函数在第一象限都是增函数

B.幂函数的图象都经过点(0，0)和(1，1) C.若幂函数

是奇函数，则

是定义域上的增函数

D.幂函数的图象不可能出现在第四象限

答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象

2.下列函数中既是偶函数，又在(-∞，0)上是增函数的是( )

A.B.

C.D.

答案：C 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用

3.若幂函数上是减函数，则实数a的取值范围是( )

A.B. C.D.

答案：B 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性 4.当时，幂函数

为减函数，在实数m的值是(

A.2 B.﹣1

C.﹣1或2 D.

答案：A 解题思路：

)

试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性

5.函数

的图象大致是( )

A.B.

C.

答案：B 解题思路：

D.

试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象

6.若

是幂函数，且满足，则的值是( )

A.B.

C.2 D.4

答案：B 解题思路：

幂函数 分数指数幂

正分数指数幂的意义是：（，、，且） 负分数指数幂的意义是：（，、，且） 幂函数的图像与性质 幂函数随着的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握，当的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论：

它们都过点，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．

时，幂函数图像过原点且在上是增函数． 时，幂函数图像不过原点且在上是减函数． 任何两个幂函数最多有三个公共点．

奇函数 偶函数

非奇非偶函数

幂函数基本性质

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.

规律总结

1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；

2．对于幂函数y＝，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象

的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即＜0，0＜＜1和＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函

幂函数的性质与图象

上海大学附属中学 钱寒静

【教学材料】高中一年级第一学期数学4.1《幂函数的性质与图像》 【教材分析】

幂函数、指、对函数是最基本、最常用的函数模型，是学习其它函数的基础。学生在初中已经学过了正比例、反比例、一次和二次函数，学过指数和幂的知识，本节课是在初中知识的基础上对形如y?xk（的函数进行系统、全面的探究，这既有利于 k为常数，k?Q）学生对函数概念的理解，又对今后学习其它函数提供了方法，从而提高学生的数学应用能力。 【学情分析】

学生在初中已经接触过函数，学习过有关幂的运算性质，并具有一定的列表、画图的能力，授课的班级为上海市示范性高中的学生，他们的数学基础扎实。 【教学目标】 知识与技能：

1、 知道幂函数的概念，理解幂函数当k>0时在第一象限内的图象特征； 2、 类比让学生发现当k<0时，幂函数在第一象限内的图象特征； 3、掌握幂函数当k变化时的图象特征； 过程能力与方法：

在教学中充分发挥学生的主体作用，让他们经历幂函数性质发现的全过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察反思，最终自己得到幂函数的所有性质。

情感、态度与价值观：

让学生认识到幂函数图象的奇特魅力，体会数学的对称美与和谐美，增强学生科学严谨的学习态度，最终深刻理解到量变引起质变的哲学道理。 【重点

高一数学正切函数图象与性质复习

学汇教育个性化发展中心XueHui Personalized Education Development Center

正切函数图像 作法如下： ①作直角坐标系， 并在直角坐标系 轴左侧作单位圆. ②把单位圆右半圆分成 8 等份， 分别在单位圆中作出正切线.③描点。(横坐标是一个周期的 8 等分点，纵坐标是相应的正 切线)④连线.

余切函数 y=cotx

(2)正切函数的性质 ①定义域： x | x k

,k Z 2

②值域： R

③周期性：正切函数是周期函数，周期是 . ④奇偶性： ta n ( x ) ta n x ,∴正切函数是奇函数，正切曲线关于原点 O 对称. 2 k ,

⑤单调性： 由正切曲线图象可知： 正切函数在开区间 (

2

k ), k Z 内都是增函数.

强调： a.不能说正切函数在整个定义域内是增函数 b.正切函数在每个单调区间内都是增函数 余切函数 y=cotx,x∈(kπ ,kπ +π ),k∈Z 的性质：

知识改变命运，学汇成就未来。中小学个性化辅导专家 021-36061142

高一数学正切函数图象与性质复习

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函数的图像与性质

一、选择题【版权归江苏泰州锦元数学工作室所有，转载必究】

1. （2002年广东广州3分）如果已知一次函数y=kx+b的图象不经过第三象限，也不经过原点，那么k、b的取值范围是【 】

（A）k>0且b>0 （B）k>0且b<0 （C）k<0且b>0 （D）k

（A）y1?y2?y3 （B）y2?y1?y3 （C）y3?y1?y2 （D）y1?y3?y2 3. （2002年广东广州3分）抛物线y?x2?4x?5的顶点坐标是【 】

（A）（－2，1） （B）（－2，－1） （C）（2，1） （D）（2，－1） 4. （2002年广东广州3分）直线y?x与抛物线y?x2?2的两个交点的坐标分别是【 】

（A）（2，2），（1，1） （B）（2，2），（－1，－1） （C）（－2，－2）（1，1） （D）（－2，－2）（－1，1） 5. （2003年广东广州3分）抛物线y?x2?4的顶点坐标是【 】 （A）（2，0） （B）（－2，0） （C）（1，－3） （D）（0，－4）

6. （2003年广东广州3分）有一块缺角矩形地皮ABCDE（如图），其中AB＝110m，BC

＝80m，CD＝90m，∠ED

数学组宫平

教学目标: 教学目标 1 会用描点法画出二次函数 的图像 开口方向,对称轴 顶点坐标 开口方向 对称轴,顶点坐标 对称轴 3 培养学生经历由具体到一般的探索事物的 规律的过程

y = a( x h) + k2

y = a ( x h) 2 + k 的 2 会说出二次函数图像

复习归纳:完成下列两表 复习归纳 完成下列两表 填表

抛物线

开口方向 对称轴 顶点坐标2

y = 0.5x2

开口向下 开口向下 开口向下

直线X=0 直线

(0,0) (0,1) (0,-1)

y = 0.5x +1

直线X=0 直线

y = 0.5x 12

直线X=0 直线

填表: 填表

抛物线

开口方向 对称轴直线X=0 直线

顶点坐 标(0, 0) (1, 0)

y = 2x

2

开口向上2

y = 2(x 1)

直线X=1 开口向上 直线2

y = 2( x + 1)

直线X=-1 开口向上 直线

(-1, 0)

新课讲授: 新课讲授操作题1:在同一坐标系内 画出函数 操作题 在同一坐标系内,画出函数 在同一坐标系内

1 2 y = x 1 2

1 2 y = ( x + 1) 1 2

1 2 y= x 2的图像. 的图像

指导:(1) 列表时 要合理取值 首先考虑对称性 其次尽量取整 列表时,要合

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正弦函数余弦函数的图象和性质

潘老师课件

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正弦函数余弦函数的图象和性质(一 正弦函数余弦函数的图象和性质 一)

复习回顾 思考导学 学习新课 课时小结0

y

x

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1.

sin a, cosa, tan a 的几何意义是什么?yT

1

PA

正弦线MP

o

M

1

x

余弦线OM

正切线AT

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y = x2 2x的图象 2.如何用描点法作出函数 如何用描点法作出函数 图象? 如何用(1)列表 列表

1 0 1 2 y = x 2 2x 3 0 1 0

x

3 31 2 1 0

y

(2) 描点

.

1

(3)连线 连线

.

2

.

x返回

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1.能否用描点法作函数 y =sin x, x∈[0 2 ]的图象 能否用描点法作函数 能否用 , π 图象?只要能够确定该图象上的点 (x,sin