椭圆周长和面积公式

年第刀‘刀

期

数学通报

梅,

,

刀‘刀

办,

,

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文

中」的推广是不同的那里相应于三维空间,,

办由此可以验证卫‘

式成立

但

‘

式不成‘

的情形是分别在四面体四个面或其延展面上的四个点共面的条件参考资料刘毅

此例表明本文推广定理的结论不能取的形式即梅耐劳斯定理和塞瓦定理的空间推广,

,

三维空间中塞瓦定理

数学通报

,

定理的结论形式是不尽相同的最后我们指出,

张晗方

定理的高维推广数学通报

,

梅耐劳斯定理的本文推广与

椭圆周长近似公式周祖遣首都师大数学系

设椭圆的长半轴为的理论知,

,

短半轴为

,

由定积分

由椭圆的两个半轴的各种平均值,

和

,

使我们想到它们

椭圆的周长一‘

为

如

关

万

‘丫一“

‘‘‘一“

,

‘

,

,

其中函数表示,

止二二,

训了灭丁丽二是椭圆的离心率

,

‘

,

,

、

、

、

这是第二

一

丽了

可嚓正好与半径为、饭石的圆面,

类椭圆积分

它的被积函数的原函数不能用初等

积分值必须利用近似积分法或展开成,

等等椭圆的面积

无穷级数来求出

也可以由查椭圆积分表得到、

利用级数公式二二、

积相等因而我们有理由相信以不等式中各数。为半径的圆周长丽句及币淤耳甲了武

骊的

都可作为椭圆周长的近似值

为了将这些值与公

一

恤

干二一

几

艺一一一一一蔽一一一一一一

…

丁’

一几‘

山

式

作精确比较

,

下面我们分别将它们按

正整次幂展成幂级数石训了二飞百了

一,

1

一、教学内容：长、正方形面积复习 二、教材及学生现状分析：

本课是学生学习了《长方形、正方形的面积》这个单元之后的一节总复习课。之前，学生已经掌握了长、正方形的周长及面积意义、面积单位、面积计算方法等知识，并能够解答比较简单的相关习题。但是学生对于长、正方形的周长与面积之间的关系、利用所学知识合理解决生活实际问题等方面还有所欠缺。而复习课的最终目的就是在回顾、梳理基础内容的前提下，通过观察、比较、计算等方法使学生的图形概念、实际解题的能力得到进一步巩固提高。

三、教学目标：

1、巩固对长方形和正方形周长和面积的计算。 2、探索长方形和正方形周长和面积的关系。

3、联系生活，解决一些实际问题，培养应用数学的意识

教学重点：

能很好地区别周长和面积的概念，并能灵活运用周长和面积的相关知识解决问题。 教学难点：

培养学生良好、灵活的解题策略、进一步构建知识系统。 教具准备：

多媒体课件、写有长度单位和面积单位的纸片 学具准备：

每人一张练习纸；第1、3、5组的同学每人两张画有图形的小纸片 引入：

演示一个长方形 师：什么叫周长？

生：封闭图形一周的长度叫做周长。 师：什么叫面积？

生：物体的表面或封闭图形的大小 就是它们的面积。

2

演示

椭圆周长公式的推导、证明、检验、评价与应用

-----------三探椭圆周长的计算（终结篇）

四川省美姑县中学 周钰承

★ 关键词：椭圆周长，标准公式，近似计算，初等公式。

★ 内容提要：本文搜集了各种椭圆周长公式。无论是标准公式还是近似公式，

本文将对部分公式给予证明，或推导，或否定，或检验、评价与应用，希

望广大读者喜欢。

★ 目录：一、椭圆周长标准公式的推导与椭圆周长准确值的计算 二、两个高精度的椭圆周长初等公式 三、椭圆周长公式集锦与评价

一、椭圆周长的标准公式的推导与椭圆周长精确值的计算

宇宙间宏观物体的运动轨迹大都是椭圆，但其周长不能准确的计算出来。经过数学家的计算与证明，最终得出椭圆周长没有准确的初等公式，但可以用椭圆积分的级数形式表示。下面对椭圆周长的一个标准公式进行证明和计算。

在平面直角坐标系内，椭圆的标准方程是：

xa22?yb22?1，a?0,b?0.

参数方程是： x?acos?,y?bsin?,?0???2?? 函数图像为：

若某条光滑曲线，能用参数方程表示：

x?X?t?，y?Y?t?

??t??，该曲线长度可表示为：

L?22????????X't?Y'tdt

圆的周长和面积（二）

蓝星教育内部专用导学案 蓝星教育内部专用导学案 蓝星教育内部专用导学案

学员姓名：

【例1】如图1，已知直角等腰三角形ABC的底边AC长20㎝。求阴影部分的面积。

【例2】如图2所示，已知扇形的半径OA=OB=6㎝，∠AOB=45o，AC垂直OB于 C点，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？

图2

【例3】如图3所示，已知大圆的半径为R，小圆的半径为r ，两个同心圆构成一个环形， 以圆心O为顶点，半径R为边长作一个正方形，再以O为顶点r为边长作一个小 正方形，已知图中的阴影部分的面积为40㎝2，求环形面积。

【例4】如图4所示，已知直角三角形ABC的面积是12㎝2，求阴影部分的面积。

图1

图3

【例5】如图5，AB为半圆的半径，AB=3㎝，现在A点不动，把整个半圆逆时针 转60o角，此时B点移动到B＇点，求阴影部分面积。

【例6】如图6所示，O为圆心，CO垂直于AB，C为另一个圆心，AC=BC,三角形 ABC的

教材分析：

本节课的内容是在学生认识了圆，探索并掌握了圆周长和面积计算公式的基础上学习的,为学生以后学习解决有关圆的较复杂的实际问题奠定了基础。

学情分析：

学生已经认识了圆，探索并初步掌握了圆周长和面积的计算公式，能利用公式进行简单的圆周长和面积的计算；另外学生的理解、分析能力及计算力较差。

《圆的周长和面积》教学反思

本节课《圆的周长和面积》的教学，涉及公式较多，计算也较麻烦；所以，公式相当混淆，计算的正确率也较低，这让我比较头疼。就本节课来说我觉得有以下几个方面做得较好：

1、教学中基本能以学生为中心，面向全体学生。从教学设计到整个教学过程，我都从学生实际角度去思考问题，尽量让每个学生都有收获。因为学生基础相对薄弱，我就以基础性的训练为主，适当提升难度，让学有余力的学生有兴趣继续研究。从提问的人数来看，大约占到了总人数的一半左右，让每个学生都参与到学习中来。

2、基本能围绕着重点进行教学，且训练有一定的梯度，从学生做基础题所用的时间，学生基础真的较薄弱，只有抓好了基础训练，才会让大部分的学生有提高。

3、基本能做到不断夯实基础知识和基本技能。通过学生的自我修正，小组内互相帮助，教师的巡视指导，多数学生基本掌握了计算方法，如要熟练计算，还

圆的面积周长练习

圆的周长和面积练习题

一、填空 1、圆周率表示一个圆的（ ）和（ ）的倍数关系。π约等于（ ）。

2、在一个圆中，圆的周长是直径的（ ）倍，是半径的（ ）倍。

3、一个圆的直径是20厘米，它的面积是（ ）平方厘米。

4、要画一个周长是31.4厘米的圆，圆规两角之间的距离是（ ）厘米。

5、大圆的半径相当于小圆的直径，已知大圆面积比小圆面积多9.42平方分米，大圆的面积是（ ）平方分米。

6、在一个正方形里面画一个最大的圆，这个圆的周长是6.28厘米，这正方形的面积是（ ）平方厘米。剩下的面积是（ ）平方厘米。

7、大圆半径是3分米，小圆半径是2分米，小圆面积是大圆面积的

（ ）。

8、有大小两个圆，大圆直径是小圆半径的4倍，大圆周长是小圆的（ ），大圆面积是小圆的（ ）。

9、用一根长12.56厘米的铁丝围成一个正方形，正方形的面积是（ ）平方厘米；如果用这根铁丝围成一个圆，这个圆的面积是（ ）平方厘米。

二、判断题（对的打√，错的打×）

1,所有的直径都相等,所有的半径都相

等. （ ）

2,两端在圆上

仙居五小 陈武

什么是周长?封闭图形一周的长度

什么是面积?物体表面或封闭图形的大小

用字母表示出它们的周长和面积的计算公式bar

aC=(a+b)×2 S=ab h

aC = 4a S=a2 C = πd 或 2πr S=πr2

ah h

a S=ah÷2

bS=(a+b)h÷2

aS=ah

平面图形周长、面积 知识网络图aC= 4a2 a S=

b

aC = (a+b)×2

a S = ah

h

a S = ah÷2 b S = (a+b)h÷2 h a

h

S = ab

rC = 2πr S = πr2

1、判断题：

× 1、三角形的面积是平行四边形面积的一半。× 2、边长是4米的正方形的面积和周长相等。3、半圆的周长和面积是整个圆的周长和面积 的一半。 × 4、把一个平行四边形活动框架(四根木条钉成

的)拉成一个长方形，那么原来平行四边形与 现在长方形相比周长不变、面积变了 。 √

二、填空 1、一个平行四边形和一个三角形等底等高， 已知三角形的面积是20平方厘米，平行四边 形的面积是( 40 )平方厘米。 2、一个平行四边形和一个三角形等底等高， 已知平行四边形的面积是20平方厘米，三角

仙居五小 陈武

什么是周长?封闭图形一周的长度

什么是面积?物体表面或封闭图形的大小

用字母表示出它们的周长和面积的计算公式bar

aC=(a+b)×2 S=ab h

aC = 4a S=a2 C = πd 或 2πr S=πr2

ah h

a S=ah÷2

bS=(a+b)h÷2

aS=ah

平面图形周长、面积 知识网络图aC= 4a2 a S=

b

aC = (a+b)×2

a S = ah

h

a S = ah÷2 b S = (a+b)h÷2 h a

h

S = ab

rC = 2πr S = πr2

1、判断题：

× 1、三角形的面积是平行四边形面积的一半。× 2、边长是4米的正方形的面积和周长相等。3、半圆的周长和面积是整个圆的周长和面积 的一半。 × 4、把一个平行四边形活动框架(四根木条钉成

的)拉成一个长方形，那么原来平行四边形与 现在长方形相比周长不变、面积变了 。 √

二、填空 1、一个平行四边形和一个三角形等底等高， 已知三角形的面积是20平方厘米，平行四边 形的面积是( 40 )平方厘米。 2、一个平行四边形和一个三角形等底等高， 已知平行四边形的面积是20平方厘米，三角

圆的面积周长练习

圆的周长和面积练习题

一、填空 1、圆周率表示一个圆的（ ）和（ ）的倍数关系。π约等于（ ）。

2、在一个圆中，圆的周长是直径的（ ）倍，是半径的（ ）倍。

3、一个圆的直径是20厘米，它的面积是（ ）平方厘米。

4、要画一个周长是31.4厘米的圆，圆规两角之间的距离是（ ）厘米。

5、大圆的半径相当于小圆的直径，已知大圆面积比小圆面积多9.42平方分米，大圆的面积是（ ）平方分米。

6、在一个正方形里面画一个最大的圆，这个圆的周长是6.28厘米，这正方形的面积是（ ）平方厘米。剩下的面积是（ ）平方厘米。

7、大圆半径是3分米，小圆半径是2分米，小圆面积是大圆面积的

（ ）。

8、有大小两个圆，大圆直径是小圆半径的4倍，大圆周长是小圆的（ ），大圆面积是小圆的（ ）。

9、用一根长12.56厘米的铁丝围成一个正方形，正方形的面积是（ ）平方厘米；如果用这根铁丝围成一个圆，这个圆的面积是（ ）平方厘米。

二、判断题（对的打√，错的打×）

1,所有的直径都相等,所有的半径都相

等. （ ）

2,两端在圆上

一、填空。 (20分) 卷面分分值姓名

（1）要画一个周长是31.4厘米的圆，圆规两角之间的距离是（）厘米。（2）把圆分成若干等份，然后把它剪开，可以拼成一个近似于长方形的图形，这个长方形的长相当于圆的（），长方形的宽相当于圆的（）。

(3)圆的周长是37.68分米，它的面积是（）平方分米。

(4)圆的半径扩大3倍，它的面积就扩大（），周长就扩大（）倍。

(5)在边长为12厘米的正方形纸板里剪出一个最大的圆，剩下的面积是

（）平方厘米。

(6)要在底面半径是10厘米的圆柱形水桶外面打上一个铁丝箍，接头部分是6厘米，需用铁丝（）厘米。

（７）、用一根长12.56厘米的铁丝围成一个正方形，正方形的面积是

（）平方厘米；如果用这根铁丝围成一个圆，这个圆的面积是

（）平方厘米。

二、判断对错（16分）

（1）圆的周长是6.28分米，那么半圆的周长是3.14分米。（）

（2）连接圆内一点和圆上任意一点的线段叫做半径。（）

（3）所有圆的直径都相等，半径都相等。（）

（4）圆周率是圆的直径和周长的商。（）

（5）一个圆的半径扩大3倍，它的面积就比原来多2倍。（）

（6）圆的面积是6.28平方米，它的周长就是6.28米。( )

（7）圆的直径是半径的2倍，