求函数值域的几种方法总结

求函数值域的几种方法

方法1:直接法(观察法)适用于较简单的函数，从解析式观察，利用

x 0, x 0, x 0 等，直接得出它的值域。2

例1、求下列函数的值域。(1) y x 72

(2) y 2 x 1, x 1, 2,3, 4,5 (3) y 3x 2

方法2、配方法适用于二次函数，同时要注意闭区间内的值域。 例2、求下列函数的值域。

(1) f ( x) x 4 x 12

(2) f ( x) x x 1

方法3、换元法对形如 y ax b cx d 型的函数均可用 “换元法”化为二次函数在区间上的值域问题求 解。 例3、求下列函数的值域。

(1) y x 1 x (2) y x x 1

方法4、分离常数法适用于分式型的函数。

例4、求下列函数的值域。

2x 1 (1) y x 3 2 2x 1 (2) y 2 x 1

方法5、判别式法能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函 数的值域. dx2+ex+f 主要适用于形如 y = 2 (a, d不同时为零)的函数(最 ax +bx+c 好是满足分母恒不为零

数学精品班培训试题 函数值域的几种求法

一、常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。 1.函数y?kx?b(k?0,x?R)的值域为R；

2.二次函数y?ax2?bx?c(a?0,x?R) 当a?0时值域是[4ac?b，+?)，

4a2当a?0时值域是(??,4ac?b]；

24a3.反比例函数y?k(k?0,x?0)的值域为{y|y?0}；

x4.指数函数y?ax(a?0,且a?1,x?R)的值域为R?； 5.对数函数y?logax(a?0,且a?1,x?0)的值域为R；

?6.函数y?sinx, y?cosx (x?R)的值域为[-1，1]；函数y?tanx,x?k?? ,

2 y?cot x (x?k?,k?Z)的值域为R；

二、求值域的方法

1. 分析观察法求值域 有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。

1例1：求函数y?的值域。

2?x2解

2. 反函数法求值域 对于形如y?cx?d(a?0)的值域，用函数和它的反函数定义域ax?b和值域关系，通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。

例2 ：求函数y?解

{y|y?R,且y?1}。

3x?1的值域。

数学复习内容

第5讲 求函数值域的常用方法及值域的应用

高考要求

函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题 重难点归纳

(1)求函数的值域

此类问题主要利用求函数值域的常用方法配方法、分离变量法、单调性法、图像法、换元法、不等式法等无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域

(2)函数的综合性题目

此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目

此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强

(3)运用函数的值域解决实际问题

此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力 典型题例示范讲解

例1设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？

如果要求λ∈［,

23

］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？ 34

命题意图 本题主要考查建立函数关系式

1.二元函数极限概念分析

定义1 设函数f在D?R2上有定义，P0是D的聚点，A是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数?，总存在某正数?,使得P?U0(PD时，都有 0;?) f(P)?A??,

则称f在D上当P?P0时，以A为极限，记limf(P)?A.

P?P0P?D上述极限又称为二重极限.

2．二元函数极限的求法

2.1 利用二元函数的连续性

命题 若函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续，则

limf(x,y)?f(x0,y0).

(x,y)?(x0,y0)2 例1 求f(x,y)?x?2xy 在点(1,2)的极限. 2 解： 因为f(x,y)?x?2xy在点(1,2)处连续，所以

limf(x,y)x?1y?2?lim(x2?2xy)x?1y?2?12?2?1?2?5.

例2 求极限lim1．

?x,y???1,1?2x2?y2 解： 因函数在?1,1?点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即

11=．

?x,y???1,1?2x2?y23lim1 / 15

2.2 利用恒等变形法

将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3

训练例题

1. 若集合S?????y|y???1?x??1,x?R???,T??y|y?log??2??2(x?1),x??1?，则S?T等于

?A．{0} B．{y|y?0} C．S D．T 2. 下列函数中值域是（0，+∞）的函数是（ ）

1A.y?52?x B.y?(12)1?x C.y?1?2x D. y?12x?1 3. 定义在R上的函数y?f(x)的值域为［a，b］,则f(x?1)的值域为（ ）

A.［a,b］ B.［a+1,b+1］ C.［a－1,b－1］ D.无法确定

4. 函数y =

2x?1的定义域是(-?，1)?[2,5]，则其值域是（ ） A.(-?,0)?[112,2] B.(-?,2) C.(-?,2)?[2,+?] D.(0,+?)

5. 函数y?lg[x2?(k?3)x?4]的值域为R，则实数k的取值范围是（ ） A．?7?k?1 B．k??7或k?1 C．?1?k?7 D．k??7或k?1 6. 已知函数f(x)满足2f(x)?f(11x

矩阵求逆的几种方法

关于矩阵求逆的几种方法

庄战友

（通辽实验中学，内蒙古通辽

摘要：矩阵求逆是高等代数中很重要的内容之一，本文介绍了矩阵求逆的几种方法。

关键词：逆矩阵初等变换伴随矩阵级数特征多项式

028000）

-1

阶矩阵A为可逆矩阵时，A=

*1*

A，其中A为矩阵A的伴随矩阵。|A|

a1%%%a2a1%%%a2

例2：设A=，若|A|==a1a4-a2a3≠0，则存在A

a3%%%a4a3%%%a4

1.定义法

定义：设A为n阶矩阵，如果存n在阶矩阵B使得AB=BA=I。则称矩阵A是可逆的，称B是A的逆矩阵。

%2%%%2%%3

例1：求矩阵A=%1%-1%%0的逆矩阵。

-1%%2%%1

-1

，且

%%1%a%%%-aA=%%|A|-a%%%%a

-1

4

21

。

3

%%

-1

解：因为|A|≠0，所以A存在。

用公式法求逆，当阶数较高时，计算量很大，所以该方法主要用于理论推导。

3.初等变换法

设n阶矩阵A，作n×2n矩阵，然后对此矩阵施以初等行变换，若把子块A变为In，则子块In将变为A，即初等行变换

同样也可以作2n×n矩阵变换，即

-1

x11%%x12%%x1333-1x21%%x22%%x233设A=3，由定义知AA=I，33x31%%x32%%x3333

函数专题之值域与最值问题

一．观察法

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3+√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为 .

点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二．反函数法

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要

4数学通讯　　　　　　　　　　　　　2001年第20期

用判别式法求函数值域的几点思考

邱　旭

(成都市第十八中学,四川610072)

(其中a2+d2≠　　形如y=2

dx+ex+f

0)的有理分式函数一般可转化为关于x的

2

一元二次方程(dy-a)x2+(ey-b)x+(fy-c)=0(以下简称方程※,其中将y看作方

≤y≤3且y≠1.3

综上所述,原函数的值域为[,3].

3

思考1　为什么必须讨论二次项系数为4(y-1)2≥0,解得

零的情形呢?

当二次项系数为零时,方程不再是二次方程,更无判别式可言.因此在用判别式法求函数值域时,必须考虑到二次项系数dy-a=0即y=

的情形,而且必须注意此时的yd

程的系数),由方程有实根的条件Δ≥0来求函数值域的方法叫做“判别式法”.在运用此法的过程中若稍有疏忽便会导致函数值域的不完备或不纯粹.

2例1　求函数y=2的值域.

x-x+1

解　函数式变形为

(y-1)x2+(1-y)x+y=0

(1)

d

值.若不存在这样的x值或存在这样的x值

值是否在函数定义域内有与之相对应的x

当y=1时,方程(1)为1=0,这显然不成立,因此y=1不在函数值域中:

当y≠1时,∵x∈R,

∴Δ=(1-y)2-4y(y-1)≥0,解得-≤y<1.3

∴函数

4数学通讯　　　　　　　　　　　　　2001年第20期

用判别式法求函数值域的几点思考

邱　旭

(成都市第十八中学,四川610072)

(其中a2+d2≠　　形如y=2

dx+ex+f

0)的有理分式函数一般可转化为关于x的

2

一元二次方程(dy-a)x2+(ey-b)x+(fy-c)=0(以下简称方程※,其中将y看作方

≤y≤3且y≠1.3

综上所述,原函数的值域为[,3].

3

思考1　为什么必须讨论二次项系数为4(y-1)2≥0,解得

零的情形呢?

当二次项系数为零时,方程不再是二次方程,更无判别式可言.因此在用判别式法求函数值域时,必须考虑到二次项系数dy-a=0即y=

的情形,而且必须注意此时的yd

程的系数),由方程有实根的条件Δ≥0来求函数值域的方法叫做“判别式法”.在运用此法的过程中若稍有疏忽便会导致函数值域的不完备或不纯粹.

2例1　求函数y=2的值域.

x-x+1

解　函数式变形为

(y-1)x2+(1-y)x+y=0

(1)

d

值.若不存在这样的x值或存在这样的x值

值是否在函数定义域内有与之相对应的x

当y=1时,方程(1)为1=0,这显然不成立,因此y=1不在函数值域中:

当y≠1时,∵x∈R,

∴Δ=(1-y)2-4y(y-1)≥0,解得-≤y<1.3

∴函数

几种求极限方法的总结

摘 要 极限是数学分析中的重要概念，也是数学分析中最基础最重要的内容.通过sn对求极限的学习和深入研究，我总结出十二种求极限的方法.

关键词 定义 夹逼定理 单调有界 无穷小 洛必达 泰勒公式 数列求和定积分 定积分 数列

1 用定义求极限?1?

根据极限的定义：数列{xn}收敛??a,??〉0,?N?N?,当n〉N时，有xn-a〈?. 例1 用定义证明limn?1

n??n?111n?1???成立：解得n??1,取N=??1?，于?1=

n?1?n?1???证明：???0,要使不等式

nn?1??1 是???0,? N=??1?，?n?N，有?1??,即limn??n?1?n?1??2利用两边夹定理求极限??

1?1?111? ????例2 求极限lim???2n??n2?2n2?3n2?n??n?1 解：设cn?1n?11n?n1n?1222?1n?21n?n1n?1222??1n?n1?2

nn?nnn?122则有：cn???n?n1n?122

nn?n2同时有：cn???? ，于是 ?cn?nn?12,由n2?n?n2