数学选修一圆锥曲线的方程

圆锥曲线定义的应用

一、基本知识概要

1、 知识精讲：

涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形，常用第一定义结合正余弦定理； 涉及焦点、准线、圆锥曲线上的点，常用统一的定义。 椭圆的定义：点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|}；

双曲线的定义：点集M={P|︱|PF1|-|PF2|︱=2a， (2a |F1F2|) }的点的轨迹。 抛物线的定义：到一个定点Ｆ的距离与到一条得直线Ｌ的距离相等的点的轨迹．

d

重点、难点：培养运用定义解题的意识 2、 思维方式：等价转换思想，数形结合 特别注意：圆锥曲线各自定义的区别与联系 二、例题选讲

例1 、 已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别为1和2，且|O1O2|=4，动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线。

解：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为轴建立平面直角坐标系。由|O1O2|=4有O1（-2，0），O2（2，0）。设动圆的半径为r。由动圆M与圆O1内切有|MO1|=|r-1|. 由动圆M与圆O2内切有|MO2|=r+2。∴|MO1|+|MO2|=3或|MO1|-|MO2|=-3,∵|O1O2|=4∴|MO1|-|

知识指要

椭圆

知识指要yO MM F1 F x2

椭圆yF2 O F1

x

注1:总有 a>b>0, c2 = a2 - b2注2:判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上 的准则： 焦点在分母大的那个轴上 注3:椭圆上到焦点的距离最大和最小的点 是椭圆长轴的两个端点

知识指要1、椭圆第一定义反映的是： 椭圆上任意一 点到两焦点的距离和是2a 即： | MF1| +| MF2 | = 2a 2、椭圆第二定义反映的是：

椭圆

椭圆上任意一点到焦点的距离与到相应准

线的距离比是e。即： |

MF | e d

知识指要3、判断直线与椭圆位置关系的方法：解方程组消去其中一元得一元二次型方程 △< 0 △= 0 相离 相切

椭圆

△> 0 4、弦长公式：

相交

设直线 l与椭圆C 相交于A( x1 ,y1) ,B( x2,y2 ),则 |AB|=

1 k 2 | x1 x2 | , 其中 k 是直线的斜率

5、弦中点问题：“点差法”、“韦达定

y

yB

y

图形

.2

A12

o

.2

A2 x

B1

o

B1 方程 范围x x y y 2 21 (a>0,b>0) 1 2 2 a a b b2

. .

A1B2

x

A2

y2 x2 2 1 2 a b

(a>0,b

※高二文科班数学课堂学习单73※

班级 姓名 小组

（二）圆锥曲线专题复习（二）

一，学习目标:

1、 全面掌握圆锥曲线的知识要点 2、 能解解决圆锥曲线的相关问题 二，自学导航：

◇知识归纳：

一、圆锥曲线的定义：

1．椭圆的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离12轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的

距离和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是；距离和小于|F1F2|时，动点轨迹． 2．双曲线的定义：平面内与两定点F1，F2的距离的 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线，这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 ．

(1)定义中常数等于|F1F2|，动点的轨迹是以． (2)如果定义中常数为0，此时动点轨迹为 (3)如果定义中常数大于|F1F2|，此时动点轨迹．． (4)在定义中，如果将“差的绝对值”改为“差”，那么点的轨迹是． 3．抛物线的定义：平面内与一定点F和一条定直线l(l不经过点F)的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 ．

特别强调：凡涉及圆锥曲线上的点

第二章《圆锥曲线与方程》复习小结

【自主学习】

【学习目标】

1.了解圆锥曲线的实际背景，感受其在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；

2.经历从具体情境抽象出模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形和简单性质； 3.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题；

4.进一步体会数形结合的思想，了解曲线与方程的关系.

【本章知识结构框图】

求曲线的方程 曲线与方程曲线的方程 画方程的曲线 求曲线的交点 几何背景圆锥曲线的概念椭圆定义 双曲线定义 抛物线定义 应用 圆锥曲线共同特征统一定义 应用 焦半径公式 圆锥曲线的方程椭圆的标准方程 双曲线的标准方程 抛物线的标准方程 应用 相离相切相交【本章知识与方法导析】

一、根据本章知识框图构建立体几何知识系统

1.曲线与方程 （1）概念： .

几何背景 圆锥曲线的性质椭圆几何性质 双曲线几何性质 抛物线几何性质 应用 圆锥曲线的弦 （2）轨迹与轨迹方程的区别 .

2．熟练掌握求轨迹方程的常见方法 试说明以下几种方法的用法及适用题型

（1）五步法（直译法）求轨迹方程，你能说出是哪

圆锥曲线中的点差法习题

若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2)，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

一、 以定点为中点的弦所在直线的方程

x2y2??1内一点M(2,1)引一条弦，例1、 过椭圆使弦被M点平分，求这条弦所在直线164的方程。

y2?1，经过点M(1,1)能否作一条直线l，使l与双曲线交于A、例2、 已知双曲线x?2B，且点M是线段AB的中点。若存在这样的直线l，求出它的方程，若不存在，

2说明理由。

二、

过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹

1y2x2??1的一条弦的斜率为3，它与直线x?的交点恰为这条弦的中例3、 已知椭圆

27525点M，求点M的坐标。

y2x2??1,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。 例4、 已知椭圆

7525

三、

求与中点弦有关的圆锥曲线的方程

例5、 已知中心在原点，一焦点为F(0,50)的椭圆被直线l:y?3x?2截得的弦的中点

的横坐标为

1，求椭圆的方程。 2

四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题

x2y2??1，试确定的m取值

2015年全国高考理科数学分类汇编——9圆锥曲线

x2y2??1 的左、右焦点分别为F1,F2，点P在双1.【2015高考福建，理3】若双曲线E:916曲线E上，且PF1?3，则PF2 等于（ ）

A．11 B．9 C．5 D．3 【答案】B

【解析】由双曲线定义得PF1?PF2?2a?6，即3?PF2?6，解得PF2?9，故选B．

【考点定位】双曲线的标准方程和定义．

【评注】本题考查了双曲线的定义和标准方程，利用双曲线的定义列方程求解，属于基础题，注意运算的准确性．

y2?1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线2.【2015高考四川，理5】过双曲线x?32的两条渐近线于A，B两点，则AB?（ ） (A)43 (B)23 (C)6 （D）43 3【答案】D 【解析】

y2?0，双曲线的右焦点为F(2,0)，过F与x轴垂直的直线为x?2，渐近线方程为x?32y2?0得：y2?12,y??23,?|AB|?43.选D. 将x?2代入x?32【考点定位】双曲线.

x2y2x2

名思教育-----我的成功不是偶然的

名思教育个性化辅导教案 学生: 教师: 日期: 班主任: 时段:

课题 教学目标 圆锥曲线与方程一 圆锥曲线基本概念与性质 重难点透视 数形结合思想，模拟简化 知识点剖析 序号 1 2 3 知识点 圆锥曲线基本概念与性质 圆锥曲线解题方法 例题精讲 预估时间 30分钟 30分钟 60分钟 掌握情况 教学内容 一、 本章知识网络结构： 【典型例题】 1.直线的基本问题：直线的方程几种形式、直线的斜率、两条直线平行与垂直的条件、两直线交点、点到直线的距离。 例1 已知l1:2x?m2y?2m?0与l2:y??3x?6，若两直线平行，则m的值为 _____． 例2 经过圆x2?2x?y2?0的圆心C，且与直线x?y?0垂直的直线方程是 ． 2.圆的基本问题：圆的标准方程和一般方程、两圆位置关系. 5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，例3 已知圆的方程为x?y?6x?8y?0．设该圆过点(3，则四边形ABCD的面

2010届高考数学复习 强化双基系列课件

《圆锥曲线 -轨迹方程》

基本知识概要：一、求轨迹的一般方法： 1.直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的 等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y的 等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。 用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简， 证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意 “挖”与“补”。 2.定义法：运用解析几何中一些常用定义(例如 圆锥曲线的定义),可从曲线定义出发直接写出轨 迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出 轨迹方程。

3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形 成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’,y’)的运动而 有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得， 则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方 程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。 4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横 坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参 数),使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中 消去参数，得出动点的轨迹方程。

5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接 消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也 可以引入参数来建立

2015年全国高考理科数学分类汇编——9圆锥曲线

x2y2??1 的左、右焦点分别为F1,F2，点P在双1.【2015高考福建，理3】若双曲线E:916曲线E上，且PF1?3，则PF2 等于（ ）

A．11 B．9 C．5 D．3 【答案】B

【解析】由双曲线定义得PF1?PF2?2a?6，即3?PF2?6，解得PF2?9，故选B．

【考点定位】双曲线的标准方程和定义．

【评注】本题考查了双曲线的定义和标准方程，利用双曲线的定义列方程求解，属于基础题，注意运算的准确性．

y2?1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线2.【2015高考四川，理5】过双曲线x?32的两条渐近线于A，B两点，则AB?（ ） (A)43 (B)23 (C)6 （D）43 3【答案】D 【解析】

y2?0，双曲线的右焦点为F(2,0)，过F与x轴垂直的直线为x?2，渐近线方程为x?32y2?0得：y2?12,y??23,?|AB|?43.选D. 将x?2代入x?32【考点定位】双曲线.

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课题 教学目标 圆锥曲线与方程一 圆锥曲线基本概念与性质 重难点透视 数形结合思想，模拟简化 知识点剖析 序号 1 2 3 知识点 圆锥曲线基本概念与性质 圆锥曲线解题方法 例题精讲 预估时间 30分钟 30分钟 60分钟 掌握情况 教学内容 一、 本章知识网络结构： 【典型例题】 1.直线的基本问题：直线的方程几种形式、直线的斜率、两条直线平行与垂直的条件、两直线交点、点到直线的距离。 例1 已知l1:2x?m2y?2m?0与l2:y??3x?6，若两直线平行，则m的值为 _____． 例2 经过圆x2?2x?y2?0的圆心C，且与直线x?y?0垂直的直线方程是 ． 2.圆的基本问题：圆的标准方程和一般方程、两圆位置关系. 5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，例3 已知圆的方程为x?y?6x?8y?0．设该圆过点(3，则四边形ABCD的面