二次函数三角形面积最小值

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前重庆 .2 9

做学

菇于三角移面置 值的一个定理‘四川省射洪县柳树中学 6 2 9 2 0 9—

吼

在许多参考书上均有这样一类题：求过定点的直线与坐标轴围成的三角形面积的最小三三；堋 值，及此时直线的方程 .该题解法较多 .主要有形 判别式法，基本不等式法 .通过研究发现有下面般性的结论： 期,一

:一睇舢

01 2 3 I

定理：

面

△ ABC

中 .边

利用该结论解此类问题非常方便、迅速 . 例 1直线过 P( 1、 2 )且与轴、 y轴正向交于 A、 B两点，求., x A O B面积取最小值时的方程 . 解：由定理知， . ' x AO B面积最小时， P为A B 的中点 . 易求 A( 2, O ), K m=一2,^ B方程为一2=一

A B、 A t 2所在的直线为定直线， 边 B C所在的直线是经过 B 4 C 内一定点 P的动直线，过 P作 I D/ '/ 交A B于 D. P E// AB交 A C于 E.那么直线 BC变动时 -", AD C面积的最小值为 2 s D∞ .此时 P为线段 B c的中点 . 证明：过 C作C F上 EP于 F,过 P作 P C .上 AB于 G,令 I ADl=m、 l弼{=h、 l f=

二次函数中 三角形面积问题

学习目标：1、求二次函数几个特殊点的坐标； 2、在二次函数背景下，探究三角形面积 的求法。

例题 : 已知抛物线 y= - x 2 +2x+3 与 x 轴交于A,B两点，其中A点位于B点的左侧，与y轴交 于C点，顶点为P. y(1,4) (1)求出点A、B、C、P的坐标 (0,3) C4 3 2

P

1

(-1,0)A O2

B

(3,0)x

学习目标：1、求二次函数几个特殊点的坐标； 2、在二次函数背景下，探究三角形面积 的求法。

例题 : 已知抛物线 y= - x 2 +2x+3 与 x 轴交于A,B两点，其中A点位于B点的左侧，与y轴交 于C点，顶点为P. y(1,4) (1)求出点A、B、C、P的坐标 (0,3) C4 3

P

(2) S△ PBC=_______2 1

(-1,0)A O2

B

(3,0)x

3 (2)S△ PBC=_______ E (0,3) C4 3 2

y

(1,4)

S△PBC=S△PCM+S△PBM1 1 PM h1 PM h 2 2 2

P

y=-x2+2x+3h1

G M

1 PM h1 h 2 2 3 1 PM OB PM 2 2

1

(-1,0)FA O h12 h 2

二次函数中有关三角形面积的求解[下学期]--湘教版

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综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题

例题 如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。 ⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为y x2 x） ．．．

⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；

⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

1

4

．．．．．．．

分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB为边和对角线两种情况

2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径

① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特．．殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

推导边的大小。

相似来列方程求解。

例题2：如图，已知抛物线y=ax2+4ax+t（a＞0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（-1，0）． （1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；

（2）过点C作x轴的平行线交抛

二次函数专题训练（三角形周长最值问题）

1．如图所示，抛物线y=ax+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式；

（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC于点F，求△PEF周长的最大值；

（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点2

P的横坐标；若不存在，说明理由．

第1页

二次函数专题训练（三角形周长最值问题）

2．如图，抛物线y=﹣x+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E． （1）求直线AD的解析式；

（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；

（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□A

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二次函数的综合应用㈠

一、典例精析

考点一：二次函数与方程 1.（2011广东）已知抛物线y?12x?x?c与x轴有交点． 2(1)求c的取值范围；(2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由． 解：（1）∵抛物线与x轴没有交点 ∴⊿＜0，即1－2c＜0 解得c＞

1 211 ∴直线y=x＋1随x的增大而增大，∵b=1 221∴直线y=x＋1经过第一、二、三象限

2(2)∵c＞

2.(2011南京)已知函数y=mx－6x＋1（m是常数）．

⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值． 解：⑴当x=0时，y?1．

2所以不论m为何值，函数y?mx?6x?1的图象经过y轴上的一个定点（0，1）．

2

⑵①当m?0时，函数y??6x?1的图象与x轴只有一个交点；

②当m?0时，若函数y?mx?6x?1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2?6x?1?0有两个相等的实数根，所以(?6)?4m?0，m?9．

2综上，若函数y?mx?6x?1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9． 考点二：二次函数与最大问题

223、如图，二次函数y??12x?

二次函数函数的存在性问题（相似三角形）

1、（09贵州安顺）如图，已知抛物线与x交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)。 （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积； （3）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。

0)，C(0，?3)， 2、（09青海）矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A(6，直线y??3x与BC边相交于D点． 42（1）求点D的坐标； （2）若抛物线y?ax?9x经过点A，试确定此抛物线的表达式； 4（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形

y 与△OCD相似，求符合条件的点P的坐标．

1

O ?3 C A 6 D B y??3x4x 3、（09广西钦州）如图，已知抛物线y＝

过点C的直线y＝且0＜t＜1．

32

x＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（－1，0）43x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t， 4t（1）填空：点C的坐标是_ _，b＝

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二次函数的综合应用㈠

一、典例精析

考点一：二次函数与方程 1.（2011广东）已知抛物线y?12x?x?c与x轴有交点． 2(1)求c的取值范围；(2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由． 解：（1）∵抛物线与x轴没有交点 ∴⊿＜0，即1－2c＜0 解得c＞

1 211 ∴直线y=x＋1随x的增大而增大，∵b=1 221∴直线y=x＋1经过第一、二、三象限

2(2)∵c＞

2.(2011南京)已知函数y=mx－6x＋1（m是常数）．

⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值． 解：⑴当x=0时，y?1．

2所以不论m为何值，函数y?mx?6x?1的图象经过y轴上的一个定点（0，1）．

2

⑵①当m?0时，函数y??6x?1的图象与x轴只有一个交点；

②当m?0时，若函数y?mx?6x?1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2?6x?1?0有两个相等的实数根，所以(?6)?4m?0，m?9．

2综上，若函数y?mx?6x?1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9． 考点二：二次函数与最大问题

223、如图，二次函数y??12x?

二次函数

抛物线与三角形问题

--------面积类 面积类

二次函数

已知抛物线y=- 例 1: 已知抛物线 - x2+2x+3与 x轴交 与 轴交 两点， 点位于B点的左侧 于A,B两点，其中 点位于 点的左侧， 两点 其中A点位于 点的左侧， 轴交于C点 顶点为P, 与y轴交于 点，顶点为 ， 轴交于 (1,4) x 3 P 2 S△ AOC=______________4

9 S△ BOC=_______ 2

(0,3) C3 2

1

(-1,0)

A O2

B(3,0)y

二次函数

S△ COP S△ PAB

3 2 =_______

y

(1,4)4

P

8 =_______

(0,3) C3 2

1

(-1,0)A O2

B

(3,0)x

二次函数

y

S△ PCB=_______

3

D E E (0,3) C4 3 2

(1,4)P

S△ ACP=_______(-1,0) F FA

1

1

B O2

(3,0)

二次函数

y

(1,4) H为直线BC上方在 抛物线上的动点， 求△BCH面积的最 △ 面积的最 大值4

P

(0,3) C3 2

H (x,-x2+2x+3)

1

(x,-x+3) M2

(-1,0)A O

B

(3,0)x

S△BCH=S△MHC+S△MHB

二次函数

练习1:如图所示，已知抛物线y=a

二次函数和相似三角形的综合应用

1、如图，已知抛物线y=?1（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交m于点E，且点B在点C的左侧。 （1）若抛物线过点M（2，2），求实数m的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；

（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由。

2、如图，已知抛物线y?k(x?2)(x?4)（k为常数，且k?0）与x轴从左至右依次交8于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y??（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；

3 x?b与抛物线的另一交点为D。

3（2）若在第一象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；

（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止。当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

3、如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得