概率论哈工大第二版答案

习题一

1

习题一

1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A：

（1）掷两枚均匀骰子，观察朝上面的点数，事件A表示“点数之和为7”；

（2）记录某电话总机一分钟内接到的呼唤次数，事件A表示“一分钟内呼唤次数不超过3次”；

（3）从一批灯泡中随机抽取一只，测试它的寿命，事件A表示“寿命在2 000到2 500小时之间”.

2. 投掷三枚大小相同的均匀硬币，观察它们出现的面. （1）试写出该试验的样本空间；

（2）试写出下列事件所包含的样本点：A={至少出现一个正面}，B={出现一正、二反}，C={出现不多于一个正面}；

（3）如记Ai={第i枚硬币出现正面}（i=1，2，3），试用A1,A2,A3表示事件A，B，C. 3. 袋中有10个球，分别编有号码1～10，从中任取1球，设A＝{取得球的号码是偶数}，B＝{取得球的号码是奇数}，C={取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：

（1）AB；（2）AB；（3）AC；（4）AC；（5）AC；（6）BC；（7）A?C.

?1??14. 在区间[0,2]上任取一数，记A??x?x?1?，B??x?x??2??43??，求下列事件的表2?达式：（1）AB；（2）AB；（3）AB，（

习题一

1

习题一

1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A：

（1）掷两枚均匀骰子，观察朝上面的点数，事件A表示“点数之和为7”；

（2）记录某电话总机一分钟内接到的呼唤次数，事件A表示“一分钟内呼唤次数不超过3次”；

（3）从一批灯泡中随机抽取一只，测试它的寿命，事件A表示“寿命在2 000到2 500小时之间”.

2. 投掷三枚大小相同的均匀硬币，观察它们出现的面. （1）试写出该试验的样本空间；

（2）试写出下列事件所包含的样本点：A={至少出现一个正面}，B={出现一正、二反}，C={出现不多于一个正面}；

（3）如记Ai={第i枚硬币出现正面}（i=1，2，3），试用A1,A2,A3表示事件A，B，C. 3. 袋中有10个球，分别编有号码1～10，从中任取1球，设A＝{取得球的号码是偶数}，B＝{取得球的号码是奇数}，C={取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：

（1）AB；（2）AB；（3）AC；（4）AC；（5）AC；（6）BC；（7）A?C.

?1??14. 在区间[0,2]上任取一数，记A??x?x?1?，B??x?x??2??43??，求下列事件的表2?达式：（1）AB；（2）AB；（3）AB，（

概率论课程设计论文

1104202班 1110420211 蒋瑞晔

概率论在不等式中的应用

摘要：应用概率方法证明不等式，是个很有用的方法，建立适当概率模型，选择合适

的公式使不等式的证明得到简化。本文主要研究了应用概率论的方法证明代数不等式、积分不等式和相关理论的应用。

关键字：概率论 不等式 证明 广义积分

概率论是从数量侧面研究随机现象规律性的数学学科，它有自己独特的概念和

方法，内容丰富，应用广泛。不等式是数学中一项非常重要的内容，它的应用也相当广泛，尤其是不等式的证明在数学中也越来越受到人们的重视 。因为把概率论的思想方法渗透到高等数学的中, 有助于加深和巩固对高等数学和概率论知识的

［1］

理解掌握, 了解各学科之间的紧密联系, 提高分析问题和解决问题的能力。

马尔科夫不等式是许多概率不等式的基础，从马尔科夫不等式很容易得到切比雪夫不等式，从切比雪夫不等式得到大数定理，大数定理从理论上解释了用频率近似地作为事件发生概率的基本思想。中心极

2.1.习题

1．设随机变量?的分布函数为F(x)，证明?机变量，并求?的分布函数．

证明：由定理2.1.3随机变量的Borel函数仍为随机变量， 故?

?pq?11?qp?

1?p21?q2

?e?也是随

?pq?11?qp?

(1?p)qp(1?q)?e?也是随机变量．

??的分布函数为

F?(y)?P{??y}?P{e??y}

当当

pq?

1?p1?q4．在半径为R的圆内任取一点（二维几何概型），试求此点到圆心之距离?的分布函数及P{??y?0时，{e??y}??，故F?(y)?0；

y?0时

，

2R}． 3R

解：此点到圆心之距离?的分布函数为

F?(y)?P{??y}?P{e??y}?P{??lny}?F?(y)

因此，?的分布函数为

F(x)?P{??x}

ln当x?0时，{??x}??，F?x??0；

?F(lny),y?0． F?(y)???y?0?03．假定一硬币抛出正面的概率为

?x2x2?2当0?x?R时，F(x)?P{??x}?2?RR当x?；

R时， F?x??1

p(0?p?1)，反复抛这

故?的分布函数为

枚硬币直至正面与反面都出现过为止，试求：（1）抛掷次数?的密度阵；

2.1.习题

1．设随机变量?的分布函数为F(x)，证明??e也是随机变量，并求?的分布函数．

证明：由定理2.1.3随机变量的Borel函数仍为随机变量， 故??e也是随机变量．

???pq?11?p2?qp ?11?q2

?pq?1(1?p)qq1?q?qp?1p(1?q)

?p1?p?

?的分布函数为

F?(y)?P{??y}?P{e?y}

当y?0时，{e当

??4．在半径为R的圆内任取一点（二维几何概型），试求此点到圆心之距离?的分布函数及P{??2R3}． ?y}??，故F?(y)?0；

解：此点到圆心之距离?的分布函数为

R

y?0?时，

F(x)?P{??x}

F?(y)?P{??y}?P{e?y}?P{??lny}?F?(

因此，?的分布函数为

y)ln当x?0时，{??x}??，F?x??0；

?F?(lny),F?(y)??0?y?0y?0当0?x?R时，F(x)?P{??x}?．

当x?R时， F?x??1 故?的分布函数为

?x?R22?xR22；

3．假定一硬币抛出正面的概率为p(0?p?1)，反复抛这枚硬币直至正面与反面都出现过为止，试求：（1）抛掷次数?的密度阵；（

概率论与数理统计及其应用习题解答

1 第1章 随机变量及其概率

1，写出下列试验的样本空间：

（1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录

投掷的次数。

（2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，

记录投掷的次数。

（3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。

（4） 抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰

子，观察出现的各种结果。

解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ；（2）},4,3,2{ =S ；（3）},,,,{ TTTH TTH TH H S =；

（4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。

2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求)])([(),(),(),(___

___AB B A P AB P B A P B A P ??。 解：625.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P ，

375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ，

875.0)(1)(___

--=AB P AB P ，

5.0)(625.0

第1章 随机事件与概率

习 题 1.2

2．一批产品由95件正品和5件次品组成，从中不放回抽取两次，每次取一件． 求：（1）第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率；（2）抽得正品和次品各一件的概率．

解 设A={第一次抽得正品且第二次抽得次品}，B={抽得正品和次品各一件}，则

11C95?C519P(A)?1??0.048， 1C100?C993961111C95?C5?C5?C9538P(B)???0.096． 11C100?C993963．从0,2,3,4,5,6这六个数中任取三个数，求取得的三个数字能组成三位数且为偶数的概率．

解 据题意，可分为“个位是0”与“个位不是0”两种情况，即所求事件的概率为

111A52?C3C4C45?4?3?4?417． p???3A66?5?4304．已知某城市中有55%的住户订日报，65%的住户订晚报，且至少订这两种报中一种的住户比同时订两种报的住户多一倍，求同时订两种报的住户占百分之几．

解 设A={住户订日报}，B={住户订晚报}，则P(A)?0.55，P(B)?0.65，

)?2P(A，B) 且 P(A?B)P(AB?)从而有

第1章 随机事件与概率

习 题 1.2

2．一批产品由95件正品和5件次品组成，从中不放回抽取两次，每次取一件． 求：（1）第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率；（2）抽得正品和次品各一件的概率．

解 设A={第一次抽得正品且第二次抽得次品}，B={抽得正品和次品各一件}，则

11C95?C519P(A)?1??0.048， 1C100?C993961111C95?C5?C5?C9538P(B)???0.096． 11C100?C993963．从0,2,3,4,5,6这六个数中任取三个数，求取得的三个数字能组成三位数且为偶数的概率．

解 据题意，可分为“个位是0”与“个位不是0”两种情况，即所求事件的概率为

111A52?C3C4C45?4?3?4?417． p???3A66?5?4304．已知某城市中有55%的住户订日报，65%的住户订晚报，且至少订这两种报中一种的住户比同时订两种报的住户多一倍，求同时订两种报的住户占百分之几．

解 设A={住户订日报}，B={住户订晚报}，则P(A)?0.55，P(B)?0.65，

)?2P(A，B) 且 P(A?B)P(AB?)从而有

《概率论》第二章 练习答案

一、填空题：

1．设随机变量X的密度函数为f(x)=??2x

o???1则用Y表示对X的3次独立重复的观察中事件

?0其它(X≤

12)出现的次数，则P（Y＝2）＝ 。

P(X?112)??122xdx? 04p(Y?2)?C2123193(4)(4)?64 2. 设连续型随机变量的概率密度函数为：

ax+b 0

f (x) =

0 其他

且EX＝

13，则a = _____-2___________， b = _____2___________。

?1????(ax?b)dx?1?0 ?1?x(ax?b)dx?1??03解之 3. 已知随机变量X在[ 10，22 ] 上服从均匀分布，则EX= 16 ， DX= 12 4. 设?为随机变量，E??3，E?2?11，则E（4??10）? 4E??10?22

D(4??10)?16D??16?E?2?（E?）2??32

5. 已知X的密度为?(x)?

ax?b0?x?10 其他,且

第二章 事件与概率

1、字母M，A，X，A，M分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM的概率是多少？

解：这五个字母自左往右数，排第i个字母的事件为Ai，则

P(A1)?2211,P(A2A1)?，P(A3A2A1)?,P(A4A3A2A1)? 5432P(A5A4A3A2A1)?1。

利用乘法公式，所求的概率为

P(A1A2A3A4A5)?P(A1)P?A2A1?P?A3A2A1?P?A4A3A2A1?P?A5A4A3A2A1??22111????1? 5432302、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。

解：有三个孩子的家庭总共有23=8个类型。设A={三个孩子中有一女}，B={三个孩子中至少有一男}，A的有利场合数为7，AB的有利场合为6，依题意所求概率为P（B|A），则

P?BA??P(AB)6/86??.

P(A)7/873、若M件产品中包含m件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。

3、解：（1）M件产品中有