与圆有关的证明与计算

课题：与圆有关的计算

陈宅镇中 蔡一锋

教材分析：

弧长与扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积是初中数学的重要内容，中考中主要考查弧长与扇形的面积公式，圆锥的侧面积公式等，题型以选择题、填空题为主，大题中常考查阴影部分的面积。

教学目标：

（一）知识技能

1、掌握弧长、扇形的面积公式，圆锥的侧面积和全面积公式．

2、会灵活运用公式进行计算，解决有关的实际问题． （二）数学思考

1、让学生积极主动参与复习全过程，培养学生分析问题、解决问题的能力． 2、渗透转化、由特殊到一般以及数形结合的数学思想． （三）解决问题

会利用公式进行与圆有关的计算．

（四）情感态度

知识让学生梳理；规律让学生寻找；错误让学生判断．充分调动学生学习的积极性和主动性，激发学生的学习兴趣。

教学重点：会利用弧长及扇形的面积公式，圆锥的侧面积和全面积公式进行有关的计算．

教学难点：求阴影部分的面积。

教学流程安排：

活动流程

活动内容和目的 熟悉各个公式和相互转化 综合运用知识，突破难点，渗透数学思想 解决问题的能力 小结本节的收获 活动1：知识梳理：弧长、扇形面积；圆锥的侧面积和全面积公式 活动2：知识运用：例题1、例题2 活动3：学生练习、

圆内计算与证明

1、如图，△ABC内接于⊙O，AD为高，E为弧BC的中点，①求证：∠EAD＝∠EAO；

A ②若AB?AC＝8,AD＝2,求半径R。 O

C B D

E 2

2、如图，△ABC内接于⊙O ，AB＝AC，E为BC延长线上一点，求证：AC＝AD?AE。

A D O B E C

3、如图，A、B、C、D四点均在⊙O上 ，DC平分其外角∠ACE，DE⊥BE，①求证：DO⊥AB； ②当C点位置变化时，式子

的值是否发生变化？

D E C

O

A B

4、如图，⊙O中， 直径DE⊥弦AB，C为圆上一动点，AC与DE相交于点F，求证：

2

①OG?FG＝BG?CG；②AO＝OG?OF。

A

C D O G E F

B

5、如图，⊙O中，C为圆上一点，直径BD⊥AC，求证：AE?BE＝EF?EC。 A

F E

B G O D

C 6、在边长为４的正方形ABCD中，以AD为直径的⊙O，以C为圆心，CD长为半径作⊙Ｃ，两圆交于正方形内一点E，连CE并延长交AB于F. （1）求证CF与⊙O相切； F A D （2）求△BCF和直角梯形ADCF的周长之比

E

O

B C

o

7、如图，Rt△A

圆与圆的位置关系、圆有关的计算

1. （2006南安市）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm和3cm，两圆的圆心距是1cm，则

两圆的位置关系是（ ）

A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 2. （2006烟台市）已知：关于x的一元二次方程x2-（R+r）x+

12

d=0无实数根，其中R、4?r分别是⊙O1、⊙O2的半径，d为此两圆的圆心距，则⊙O1，⊙O2的位置关系为（ ） A．外离 B．相切 C．相交 D．内含

3. （2009年遂宁）如图，把⊙O1向右平移8个单位长度得⊙O2，两圆相交于A.B，且O1A

⊥O2A，则图中阴影部分的面积是

A.4π-8 B. 8π-16 C.16π-16 D. 16π-32

4. (2009年滨州)已知两圆半径分别为2和3，圆心距为d，若两圆没有公共点，则下列结

论正确的是（ ） A．0?d?1

B．d?5

C．0?d?1或d?5

D．0≤d?1或d?5

5. （2009湖北荆州年）如图，两同心圆的圆心为O，大圆的弦AB切小圆于P，两圆的半

径分别为6，3，则图中阴影部分的面积是（ ） A．9

圆的证明与计算

《圆的证明与计算》专题讲解

圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。

圆的有关证明

一、圆中的重要定理:

(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.

(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.

(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等.

2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.

二、考题形式分析：

主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。

知识点一：判定切线的方法：

（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。

常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；

（2）若切

2016中考数学圆的证明与计算 专题

1．如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，AE为⊙O的切线，过点B作BD⊥AE于D． （1）求证：∠DBA=∠ABC；

1

（2）如果BD=1，tan∠BAD=，求⊙O的半径．

2

E

C

2．如图，AB是⊙O的直径．半径OD垂直弦AC于点E．F是BA延长线上一点， CDB BFD．

（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明； （2）若AB=10，AC=8，求DF的长．

3．如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

4

（2）若sinC ，AC=6，求⊙O的直径．

5

C

4．如图，△ABC内接于⊙O，OC⊥AB于点E，点D在OC的延长线上，且∠B=∠D=30°. （1）求证：AD是⊙O的切线；（2

）若AB 求⊙O的半径．

5．如图，⊙O是△ABC 的外接圆，AB= AC ，BD是⊙O的直径，PA∥BC，与DB的延长线交于点P，

连接AD． （1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若

BC=4 ，求AD的长．

6．如图1，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在线段ED上．连接AF并延长交⊙O于点G，在CD的延长线上取

课题：与圆有关的轨迹问题

2010届高三数学调研测试(二)解答题中出现这样一道题目： 18.在等腰?ABC中，已知AB?AC,且点B(?1,0)。点D(2,0)为

AC中点。

l y E A F B O D x （1）求点C的轨迹方程

（2）已知直线l:x?y?4?0,求边BC在直线l上的射影EF长的最大值。

文科班大部分学生对第一小题中的轨迹问题一筹莫展，结合

C 2010年江苏高考考试说明我们可以了解到直线和圆的知识是解析几何中的重中之重，虽然考纲中必做题部分对轨迹方程并没有明确要求，但在样卷的解答题中依然出现了轨迹方程问题，我们还是不能掉以轻心，今天我们利用一节课的时间来研究一下解析几何中简单的一些求轨迹的问题，特别是与圆有关的轨迹问题。 一．回忆解析几何中常见的轨迹:

(1)在平面内,到两定点的距离相等的点的轨迹是连接两定点的线段的垂直平分线. (2)平面内到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线. (3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心的圆.

(4)平面内到定点的距离与到定直线（定点不在此定直线上）的距离之比等于常数的点的轨迹

是圆锥曲线.当常数大于1时表示双曲线;当常数等于1时,表示抛物线;当常数大于0而小于1

2.2 与圆有关的角

一个角有一个顶点和两条边，顶点和边相对于一个圆的位置关系分别有各种情况，由此可得到不同类型的与圆有关的角。 1. 圆心角

我们已经知道，顶点在圆心的角叫做圆心角。圆心角的两边都与圆相交，两边所夹⌒ 。 的的弧是这个圆心角所对的弧。如图2-28，∠AOB是圆心角，它所对的弧是AB在圆周上给定一条弧，由分别过弧的端点的两条半径所确定的圆心角，是这条弧所

对的圆心角。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；相等的弧所对的圆心角相等。 2. 圆周角 操作

⌒ 上的任意两点，试分别作出∠AMB、如图2-29，圆心角∠AOB=70°，M、N是APB∠ANB，并量出这两个角的度数。

如上所作的∠AMB和∠ANB，它们的顶点都在⊙O上，两边都与圆相交。分别度量这两个角，所得角度都是35°，说明它们都等于∠AOB的度数的一半。

顶点在圆周上并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

圆周角的两边所夹的弧，是这个圆周角所对的弧；由圆周上一点分别与弧的两端点的连线确定的圆周角，是这条弧所对的圆周角。

⌒ ，在图2-29中，∠AMB和∠ANB是圆周角；它们所对的弧都是AB与圆心角∠AOB所对的弧相同。

如果圆周角与圆心角所对的弧相同，那么这两个角之间

《中垂线、角平分线》的性质与判定

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一、知识理解 1.如图，已知直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为D，点P是MN上一点，若AB=10 cm，则BD=_____cm；若PA=10 cm，则PB=______cm；此时，PD=______cm.

2.如图，AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE________PF. 3.如图，PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP______∠CAP.

4.如图，∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=3，则PE= .

第1题

第2题

第3题

第4题

二、灵活运用

1.如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm， 那么△DBC的周长是（ ）

A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm

2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm， 那么AE+DE等于（ ）

A.2 cm B

2010年中考专题分类--------与圆有关的位置关系 一、填空题：

1、(2010台州市)如图，正方形ABCD边长为4，以BC为直径

的半圆O交对角线BD于E．则直线CD与⊙O的位置关系是 A ▲ ，阴影部分面积为(结果保留π) ▲ ．

答案：相切（2分），6?π

2、 （2010年金华） 如果半径为3cm的⊙O1与半径为4cm的⊙O2内切，那么两圆的圆心距O1O2＝ ▲ cm. 答案：1； 3、(重庆潼南县15)如图，在矩形ABCD中，AB=6 ，BC=4，⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是______． 答案：相离

4、（2010株洲市）15．两圆的圆心距d?5，它们的半径分别是一元二次方程x?5x?4?0的两个根，这两圆的位置关系是 . 答案：外切

2D

E B O （第1题）

C 5、（2010河南）11．如图，AB切⊙O于点A，BO交⊙O于点C，点D是CmA上异于点C、A的一点，若∠ABO=32°，则∠ADC的度数是______________． 答案：29°

6、（益阳市2010年中考题12）.如图，分别以A、B为圆心， 线段AB的长为半径的两个圆相交于C、

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与圆有关的组合图形的面积

知识与方法 由圆（或圆的部分）与多边形组合而成的图形，自进行面积计

算时，除了计算∏部分面积的和或计算图形中去掉某些部分的面积所得的差外，在计算中注意观察，进行移补、比较或其他的处理，往往能使问题的解决变得简便

例题与训练

例 1 右图半圆的直径是8厘米， 正方形的边长是4厘米，求图中 阴影部分的面积之和

【思路点拨】 图中有两个阴影部分，左边是边长4厘米的正方形减去扇形，右边是圆的弧形所成的弓形。但是，把两部分移补到一起，

41就容易求得阴影部分面积之和。

解：把右边的弓形移补到左边的扇形内，正好成为一个等腰直角三角形（边长4厘米的正方形的），阴影部分的买面积之和是：4×4÷2=8（平方厘米）

21答：图中阴影部分的面积之和是8平方厘米。

练一练1 右图半圆的直径是10厘米， 正方形的边长是5厘米，求阴影部分面 积之和。

1

例 2 右图正方形的边长18厘米， 图中的圆弧都是直径18厘米的圆 的一部分，求图中也阴影部分的面 积之和。

【思路点拨】 观察图形，看能否把

阴影部分适当分割移补，使得问题易于解决。

解：如图所示把上面的阴影部分按虚线分成