n维向量空间n个线性无关向量

QQ空间 http://www.77cn.com.cn

第3章 3.1n 维向量

n 维向量及向量组的线性相关性

由解析几何知，二维空间(平面)上的任一向量 a1i a2 j 可用一个二元有序数组 {a1 , a2 } 表示，称之为二维向量，记为 {a1 , a2 } 或 (a 1 , a 2 ) ;

三维空间中的任一向量 a1i a2 j a3 k 可用一个三元有序 数组 {a1 , a2 , a3 } 表示，称之为三维向量，记为 {a1 , a2 , a3 } 或 (a1 , a2 , a3 ) 。

在解析几何中，引入向量的概念，给研究点、线、面之间 的关系带来许多方便。同样地，在本节我们引入 n 维向量 的概念，将对研究某些问题带来极大的方便。

3.1.1

n 维向量的概念数域 F (一般为实数域 R 或复数域 C )中 n 个数

定义 1

a1 , a2 , , an 构成的有序数组，称为数域 F 上的一个 n 维向量。 a i

称为该向量的第 i 个分量 (i 1,2, , n) 。 分量是实数的向量称为实向量，分量是复数的向量称为复向 量。数域 F 上全体 n 维向量组成的集合记为 F 。特

第4章矩阵的秩与n维向量空间

本章主要内容：n维向量的概念与线性运算向量组的线性相关线性无关的概念及其有关的重要理论向量组的最大无关组向量组的

秩矩阵的秩与向量组的秩之间的关系向量空间与子空间

基底与维数向量的坐标与坐标变换公式向量的内积正交

矩阵

教学目的及要求：理解n维向量的概念，掌握向量的线性运算．理解向量组

的线性相关，线性无关的定义及有关的重要结论．理解向

量组的最大无关组与向量组的秩，理解矩阵的秩与向量组

的秩之间的关系，并掌握用初等变换求向量组的秩．理解

基础解系的概念，了解n维向量空间及子空间，基底，维

数，坐标等概念．掌握向量的内积及其性质、向量的长度

及其性质、正交向量、正交向量组及其性质、正交规范化

方法以及正交矩阵及其性质．

教学重点：向量组的线性相关、线性无关的概念及其有关的重要理论；向量组的正交规范化的方法；正交矩阵的概念及其性质．

教学难点：向量组的线性相关、线性无关的概念及其有关的重要理论；施密特正交化方法及应用

教学方法：启发式

教学手段：讲解法

教学时间：8学时

教学过程：

1 4．1 矩阵的秩

矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征，是矩阵在初等变换下的一个不变量，它能表述线性代数变换的本质特性，矩阵的秩在研究n 维向量空间的空间结构及向量之间的相

线性方程

第二节

线性方程

一,向量的概念定义 n 个数组成的有序数组 α = (a1 , a 2 , , a n ) 称为

维向量. 一个 n 维向量.的分量或坐标. a1 , a2 ,, an 称为向量 α 的分量或坐标.

行向量

α = (a1 , a 2 , , a n ) a1 a2 α = a n

列向量

或 α = (a1 , a 2 , , a n )T

线性方程

维向量. 一般用希腊字母α , β , γ 等表示 n 维向量.

分量全部为零的向量称为零向量, 分量全部为零的向量称为零向量,记为 θ . 向量可视为特殊的矩阵, 因此, 向量的相等 加减法, 相等, 向量可视为特殊的矩阵 因此 向量的相等,加减法, 数乘等概念完全与矩阵相同 等概念完全与矩阵相同. 数乘等概念完全与矩阵相同设 α = (a1 , a 2 , , a n ),β = (b1 , b2 , , bn ),

则 α + β = ( a1 + b1 , a 2 + b2 , , a n + bn ),

kα = ( ka1 , ka 2 , , ka n ) .

线性方程

向量的线性运算满足以下八条运算律: 向量的线性运算满足以下八条运算律:

(1)

安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文

向量组线性相关与线性无关的判别方法

摘要 向量组的线性相关性与线性无关性是线性代数中最为抽象的概念之一，如何判别向量组的

线性相关与线性无关是正确理解向量的关键，本文介绍了它与行列式、矩阵、线性方程组的解之间的关系.总结了向量组线性相关和线性无关的判定方法.

关键词 向量组 线性相关 线性无关 矩阵 秩

1 引言

在高等代数中，向量组的线性相关和线性无关的判定这个课题有许多的研究成果，它与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间都有着重要的联系，然而向量的线性相关与线性无关的判别是比较抽象和难以理解的，实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了线性相关的判别，那么线性无关的判别也就迎刃而解了，至今已给出了以下几种常见的方法：利用定义法判断，利用齐次线性方程组的解判断，利用矩阵的秩判断，利用行列式的值判断等.其中，利用齐次线性方程组，利用矩阵的秩，利用行列式的值这三种方法的出发点不同但实质是一样的.

2 向量组线性相关和线性无关的定义

定义 设向量组?1,?2,?,?m都为n维向量，如果数域P中存在一组不全为零的数

k1,k2km,使k1?1?k2?2?

从平面向量到空间向量学案

第一节 ：从平面向量到空间向量

设计人：陈维江 审核人：席静

上课时间： 班级： 姓名：

学习目标：1、理解空间向量的概念；

2、掌握空间向量的几何表示法和字母表示法；

3、掌握两个空间向量的夹角、空间向量的方向向量和平面的法向量的概念。

学习重点：理解两个向量的夹角、直线的方向向量、平面的法向量等概念 学习难点：理解共面向量的概念

新课学习：

看课本25-26页回答下列问题：

从平面向量到空间向量学案

做27页练习 总结：本节概念较多，多看课本，理解概念是关键。 课后作业：

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第十一讲 向量组的秩与向量空间

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§4.3 向量组的秩 §4.5 向量空间

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第三节

向量组的秩

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一、向量组的秩1.极大线性无关组 极大线性无关组 如果在A中能选出 个向量a 设有向量组 A ,如果在 中能选出 r 个向量 1 , a2 ,…,ar,满足： 满足： 1)向量组 0:a1,a2,…,ar线性无关； 向量组A 线性无关； 向量组 2)向量组 中的任一向量均可被向量组 0线性表示； 向量组A中的任一向量均可被向量组 向量组 中的任一向量均可被向量组A 线性表示； 或者满足： 或者满足： 1)向量组 向量组A 线性无关； 1)向量组 0:a1,a2,…,ar线性无关； 2)向量组 中的任何r+1个向量都线性相关 向量组A中的任何 个向量都线性相关； 2)向量组 中的任何 个向量都线性相关； 那么称向量组A 是向量组A的一个极大线性无关组 的一个极大线性无关组. 那么称向量组 0是向量组 的一个极大线性无关组.

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向量组的极大线性无关组一般是不唯一的。 向量组的极大线性无关组一般是不唯

《

各位专家评委：上午好！

的说课稿

说课人：利辛高级中学数学组 刘洪涛

今天我说课的课题是：高中数学北师大版选修2—1，第二章《空间向量与立体几何》第1节《从平面向量到空间向量》，下面我将从九个方面进行阐述，谈谈我对这堂课的构思及理由。

一、教材分析

本节内容是在学生系统地学习了平面向量相关内容之后，由平面向量向空间向量的一个过渡，起到呈上启下的作用，是今后更好的以向量为工具解决空间几何问题的基础，是对平面向量的扩展与升华，是空间向量的开门之作。

二、学情分析

在此之前，学生已经学习了向量的相关概念、性质与运算，掌握了用向量方法解决平面几何问题的能力。有了这些知识与方法，学生完全有能力更进一步，把平面向量向空间向量推广与过渡。

三、教学目标分析

高中数学新课程标准要求：与时俱进的认识“多基”，重视基础知识教学、基本技能训练和基本能力培养，据此，特将本节课三维教学目标设定如下：

1.知识与能力目标：

（1）使学生理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母示法； （2）掌握两个空间向量的夹角、空间直线的方向向量和平面的法向量的概念； 2．过程与方法目标：通过空间向量概念的生成，向学生渗透由特殊到一般、类比转化的数学思想，培养学生观察

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第十一讲 向量组的秩与向量空间

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§4.3 向量组的秩 §4.5 向量空间

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第三节

向量组的秩

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一、向量组的秩1.极大线性无关组 极大线性无关组 如果在A中能选出 个向量a 设有向量组 A ,如果在 中能选出 r 个向量 1 , a2 ,…,ar,满足： 满足： 1)向量组 0:a1,a2,…,ar线性无关； 向量组A 线性无关； 向量组 2)向量组 中的任一向量均可被向量组 0线性表示； 向量组A中的任一向量均可被向量组 向量组 中的任一向量均可被向量组A 线性表示； 或者满足： 或者满足： 1)向量组 向量组A 线性无关； 1)向量组 0:a1,a2,…,ar线性无关； 2)向量组 中的任何r+1个向量都线性相关 向量组A中的任何 个向量都线性相关； 2)向量组 中的任何 个向量都线性相关； 那么称向量组A 是向量组A的一个极大线性无关组 的一个极大线性无关组. 那么称向量组 0是向量组 的一个极大线性无关组.

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向量组的极大线性无关组一般是不唯一的。 向量组的极大线性无关组一般是不唯

8.6 空间向量及其运算

一、选择题

1．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( )．

A．{a，a＋b，a－b} C．{c，a＋b，a－b}

B．{b，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}

解析 若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋

b，a－b可构成空间向量的一组基底． 答案 C

2．以下四个命题中正确的是( )．

A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示

B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组基底

→

→

C．△ABC为直角三角形的充要条件是AB·AC＝0 D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底

解析 若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量，则a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－λ－1μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝b1－μλ＋μ＋c，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾． 1－μ答案 B

3．有下列命题：

①若p＝xa＋y

空间向量及其运算

1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下

?????OB?OA?AB?a?b;BA?OA?OB?a?b;OP??a(??R)

????运算律：⑴加法交换律：a?b?b?a

??????⑵加法结合律：(a?b)?c?a?(b?c)

????⑶数乘分配律：?(a?b)??a??b

a3．平行六面体：

?平行四边形ABCD平移向量a到A?B?C?D?的轨迹所形成的几何体，

D'A'B'C'DC叫做平行六面体，并记作：ABCD－A?B?C?D?它的六个面都是平行四边A形，每个面的边叫做平行六面体的棱 B4. 平面向量共线定理

方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．

????向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λa.

?要注意其中对向量a的非零要求．

5 共线向量

如果表示空间向量的有向线