一维波动方程求解

应力波反射法检测基桩原理

1.1 基桩动测技术的发展及国内外研究现状

一百年以前，动力打桩公式 1865年B.de Saint Venant提出一维波动方程 50年代后期A.Smith提出了波动方程在桩基中应用的差分数值 解法，它把锤一桩一土系统简化为质量块、弹簧和阻尼器模型 从而使波动方程打桩分析进入实用阶段。

1967年美国G.G.Goble等人发表了“关于桩承载力的动测研究”一文， 1975年发表了“根据动测确定桩的承载力”研究报告 1970年以后，美国己把动力试桩技术用于实际工程 1977年PDI公司开始生产以PDA(Pile Driving Analyzer)打桩分析仪 采用波动方程程序(Case Pile Wave-equation Analysis program/contimuous,简CAPWAPC程序)对桩的侧阻分布、端阻和桩身缺陷

进行实测波形的拟合法分析。

方便、快捷、一定的准确度被各国接受 要求较高的人员素质、专业理论知识、 丰富的工程经验 缺乏与静荷载试验在桩周分层摩阻力和端阻力方面对比。

1.2.1 一维杆的纵向波动方程

一根材质均匀的等截面弹性杆，长度为L，截

面积为A，弹性模量为E，体密度为ρ 。若杆变

形时符合平截面假定，在

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分离变量法在求解波动方程中的应用

作者：王平心

来源：《科技视界》2014年第34期

【摘 要】分离变量法又称傅里叶级数法，它是求解数学物理方程定解问题的最常用和最基本的方法之一。该方法的基本思想是将偏微分方程的定解问题转化为常微分方程的定解问题。将方程中含有各个变量的项分离开来，从而将原方程拆分成多个更简单的只含一个自变量的常微分方程。它能够求解相当多的定解问题，特别是对一些常见区域上混合问题和边值问题，都可以用分离变量法试着求解。本文将讨论分离变量法在求解波动方程中的应用。 【关键词】分离变量法;波动方程;求解 0 引言

自然界很多物理现象都可以归结为波动问题，在机械工程中经常遇到的振动问题，可归结为机械波;在船舶工业中使用的声纳，可归结为声波问题;在广播领域和光学领域，可归纳出电磁波。他们都具有相同的数学物理基础，并且可以用一个式子表示：

我们称它为波动方程，因为它描述了自然界的波动这种运动形式，其中△为拉普拉斯算子。△中，变量的个数表示波动船舶空间的维数，现实生活中的波动，一般都是三维的。但是为

第43卷第1期2010年2月武汉大学学报(工学版)

EngineeringJournalofWuhanUniversityVol.43No.1Feb.2010

文章编号:1671-8844(2010)01-0010-04

求解一维对流扩散方程的一种新方法

陈翠霞,张小峰

(武汉大学水资源与水电工程科学国家重点实验室,湖北武汉 430072)

摘要:针对常系数对流扩散方程,基于微分算子分裂算法思想,分别对对流步与扩散步运用待定系数法,以格式的

数值振荡和数值扩散最小为目标,得出各节点的权重系数,并在格式中引入无因次系数.用对流步进行计算,并将其结果作为已知值运用到扩散步的求解中,构造出一种新的一维对流扩散方程的数值求解格式.数值试验表明,相比其他已有格式,该格式可有效控制格式的数值振荡和数值扩散问题,易于编程,精度高,数值结果令人满意,较好地实现物质输移扩散的真实物理过程.

关键词:对流扩散方程;微分算子分裂算法;待定系数法;数值格式中图分类号:TV131 文献标志码:A

Anewsolutiontoone-dimensionalconvection-diffusionequation

CHENCuixia,ZHANGXiaofeng

(StateKeyLabo

试探函数方法,KP方程,(2+1)维BBM方程,(3+1)维ZK方程,解析解

　　文章编号:1001Ο4373(2008)03Ο0138Ο04

求解高维非线性方程的一种简便方法

郭　鹏1,　张　磊1,　石玉仁2,　洪学仁2

3

(1.兰州交通大学数理与软件工程学院,甘肃兰州　730070;2.西北师范大学物理与电子工程学院,甘肃兰州　730070)

摘　要:将试探函数方法扩展应用于求解高维非线性偏微分方程.通过引入变换和选准试探函数,把难于求解的高维非线性偏微分方程化为易于求解的代数方程,然后用待定系数法确定相应的常数,从而简洁地求得了方程的解析解.

关键词:试探函数方法;KP方程;(2+1)维BBM方程;(3+1)维ZK方程;解析解中图分类号:O175.24　　　　　文献标识码:A

　　对非线性偏微分方程的求解,长期以来是物理学家和数学家研究的重要课题.三十多年来,数学物理研究领域内一大成就就是提出了许多求解非线性偏微分方程的精巧数学方法,如逆散射法、B cklund变换法等.近年来,很多学者又提出了许多新的方法,如齐次平衡法[1,2]、双曲函数法[3]、Jacobi椭圆函数展开法[4,5]、同伦分析法[6]等.然而,对非线性偏微分方程的求解仍是很困难的

第七章 一维波动方程的傅里叶解 小结及习题答案

第二篇 数学物理方程

——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法

Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程；

2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件 (自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题； 3、方程齐次化；

４、数理方程的线性导致解的叠加。

一、数理方程的来源和分类（状态描述、变化规律）

1、来源

I．质点力学：牛顿第二定律F?mr

??弦?2u(r,t)???a2?2u(r,t)?0(波动方程);?杆 振动：2?弹性体力学(弹性定律)?t?膜连续体力学? ??????流体力学：质量守恒律：???(?v)?0;?t??v?1?热力学物态方程：?(v??)v?p?f?0(Euler eq.).??t????II.麦克斯韦方程

?D?d???d????D??;????E?dl???B?ds???E?B;???????B?d??0???B?0;?H?dl???(j?D)?ds???H?j?D. ??E???u,B???A,u,A满足波动方程。???Lorenz力公式?力学方程；Maxwell eqs.+电导定律?电报方程。III. 热力学统计

%%%% 真解 u=sin(pi*x)*sin(pi*y) %%%

%%%% 方程 -Laplace(u)=f %%%%%%

%%%% f=2*pi^2*sin(pi*x)*sin(pi*y) %%%%%%

%%%%difference code for elliptic equations with constant coefficient %%%%% %clear all

%clc

N=20;

h=1/N;

S=h^2;

x=0:h:1;

y=0:h:1;

%%% Stiff matrix

A=zeros((N-1)^2,(N-1)^2);

for i=1

A(i,i)=4/h^2;

A(i,i+1)=-1/h^2;

A(i,i+(N-1))=-1/h^2;

end

for i=N-1

A(i,i-1)=-1/h^2;

A(i,i)=4/h^2;

A(i,2*i)=-1/h^2; %A(i,i+(N-1))=-1/h^2

end

for i=(N-2)*(N-1)+1

A(i,i-(N-1))=-1/h^2;

A(i,i)=4/h^2;

A(i,i+1)=-1/h^2;

end

for i=(N-1)^2

A(i,i-(N-1))=-1/h^2;

A(i,i)=4/h^2;

A(i,i-

第二篇 数学物理方程

——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法

Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程；

2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件

(自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题；

3、方程齐次化；

４、数理方程的线性导致解的叠加。

一、数理方程的来源和分类（状态描述、变化规律）

1、来源

I ．质点力学：牛顿第二定律F mr = 连续体力学2222()(,)(,)0(()0;v 1()0(Euler eq.).u r t a u r t t v t v v p f t ρρρ?????-?=?????????+??=????-?+??=+=?????

弹性定律弦弹性体力学

杆 振动：波动方程);膜流体力学：质量守恒律：热力学物态方程： II.麦克斯韦方程

;;00;().,,,D D E l B s E B B B H l j D s H j D E u B A u A σρτρσ??=???=?=????=????=???=?=+????=+??=-?=?????????

???????????d d d d d d d 满足波动方程。Lorenz 力公式力学方程；Maxwell eqs.+电导定律电

求解波动方程数值解的matlab程序隐式格式2010-04-19 13:45function varargout=liu(varargin)

a=1;T=1;a=1;b=0.5;h=1/20;k=1/40;

f=inline('0','x','t');

fx1=inline('exp(x)');

fx2=inline('exp(x)');

ft1=inline('exp(t)');

ft2=inline('exp(1+t)');

[X,Y,Z]=chfenmethed(f,fx1,fx2,ft1,ft2,a,T,h,k);

mesh(X,Y,Z);

shading flat;

xlabel('X','FontSize',14);

ylabel('t','FontSize',14);

zlabel('error','FontSize',14);

title('误差图');

function [X,T,Z]=chfenmethed(f,fx1,fx2,f

矩阵的知识

维普资讯

第 l 9卷第 2期

邯郸职业技术学院学报

2O 06年 6月

矩阵方程的求解问题郑丽0 60 ) 50 1 (邯郸职业技术学院基础部，河北邯郸

摘

要：主要考察了矩阵方程的求解问题，出了一般矩阵方程当系数矩阵满足不同条件时的两种给

求解方法。

关键词：阵；阵的逆；阵方程矩矩矩中图分类号： 2 16 0 4 .文献标识码： A文章编号：0 9 4 2 2 o ) 2 0 9 3 10—5 6 (0 6 0—0 8—0—。..。.. ... ...L。. ..。.

矩阵是线性代数中的最重要的部分。贯穿于线性代数的始终，以说线性代数就是矩阵的代数，它可 矩阵是处理高等数学很多问题的有力工具。阵方程是矩阵运算的一部分，矩这里我们主要讨论如何求解矩阵方程的问题。握简单的矩阵方程的求法，于求解复杂的矩阵方程有很大帮助。掌对 简单的矩阵方程有三种基本形式：= C,A= C,X= C。 X AB如果这里的 A、是可逆方阵，都则求解时需要找出矩阵的逆，注意左乘和右乘的区别。它们的解分别为：: A-C,= 1 ~,: A 1 -~。 例如，方程 A= C,求解 C先考察 A是否可逆。如果 A可逆时，程两边同时左乘 A得 A A=方~, A—

是好的写作材料

科

年第

期

国土资源高等职业教育研究

关于积分方程的求解问题王东霞

李富强

平顶山工学院

含有变上下限积分的方程称为积分方程,,,

。

甲

一

甲、

,

这类方程的求解间题是一种常见的题型也是考研的常考内容但在大多数《教材中没有进高等数学》

即,…二

小丁气,,

、

气‘,

,

,

甲

,

‘,

,

,

行深人地讨论决。,

。

学生遇到此类问题时感到难以解,,

甲

是方程

的连续解证毕,,

。

为此本文针对这类方程的求解问题进行讨论。,,

命题

设

连续

可导函数

是含

供大家参考

参变量的积分方程

由于积分与微分是两种互逆运算因此我们可以考虑把积分方程转化为微分方程进行求解其理,

丸的解的充要条件是二‘

一,

是微分方程勺二

论依据由以下命题给出

。

一

命题二

设

,

连续,

,

可导函数,

二

甲

满足初始条件证明必要性,

劫

勺

的解

。

是积分方程

若

是方程一‘

的解则,

气’,

,

‘二

丁瓦,

‘。

对一

耘二

一

‘

作

的连续解的充分必要条件是

杯是微分方程

变量代换令

一

,

则一

五一

礼勒二

一

‘

、

二、

一

满足初始条件杯勒证明必要性

的解

。

那么的连续…

,

二

石、…,

一

若

州

是方程

解则,

连续

,

石丁、可导。

一

可导二,

,‘

了气,

,

,

,‘

又

可导故

对,,

式两边求导得二

一

翔

,

’

连续可导故甲,,

‘

气。

,

可导

。

又。

翔

翔

又

可导 ,

是方程解,

满足初始条件《扔是方程一

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对

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