组合数学第五版答案卢开澄

1.1 题 从{1，2，……50}中找两个数{a，b}，使其满足 （1）|a-b|=5； （2）|a-b|?5；

解：（1）：由|a-b|=5?a-b=5或者a-b=-5，

由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。 当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。 所以这样的序列有90对。 （2）：由题意知，|a-b|?5?|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0； 由上题知当|a-b|=5时 有90对序列。 当|a-b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。 当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对， 当|a-b|=0时有50对

所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=520

1.2题 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c)

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§3.1 容斥原理引论第三章 容斥原理和鸽巢原理 §1 容斥原理引论例 [1,20]中2或3的倍数的个数 [解] 2的倍数是：2,4,6,8,10, 12,14,16,18,20。 10个

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§3.2 容斥原理3的倍数是：3,6,9,12,15, 18。 6个 但答案不是10+6=16 个，因为6, 12,18在两类中重复计数，应减 去。故答案是：16-3=13

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§3.2 容斥原理容斥原理研究有限集合的交或并 的计数。 [DeMorgan定理] 论域U,补集 AA {x | x U 且x A} ,有

(a)

A B A B

(b) A B A B

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§3.2 容斥原理证：(a)的证明。 设 x A B ,则 x A B x A B 相当于 x A和 x B 同时成立，亦即x A B x A B

(1)

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§3.2 容斥原理反之，若 x A B,即x A和x B

故 x A和x B.亦即x A B x A B

１.１ 从?1，2，???，50?中找两个数?a,b?，使其满足

（1） |a?b|?5；

（2）|a?b|?5

a?b?5a?b??5解：（1）根据|a?b|?5 可得 或 则有

45种45种 共有90种。

b?5?a?b?5（2）根据|a?b|?5 得 {

a,b?(1,2,???,50) 则：当b?5时，有

b?1 ， 1?a?6， 则有 6种

b?2 ， 1?a?7， 则有7种

b?3 ， 1?a?8， 则有8种

b?4 ， 1?a?9， 则有 9种

b?5 ， 1?a?10， 则有10种

当5?b?45时，有

b?6 ， 1?a?11， 则有 11种

b?7 ， 2?a?12， 则有 11种

. . . . . . . . .

b?45 ， 40?a?50，

1 1.1 题 从{1，2，……50}中找两个数{a ，b}，使其满足 （1）|a-b|=5； （2）|a-b|≤5；

解：（1）：由|a-b|=5?a-b=5或者a-b=-5，

由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。

当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。

所以这样的序列有90对。

（2）：由题意知，|a-b|≤5?|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0；

由上题知当|a-b|=5时 有90对序列。

当|a-b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。 当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对， 当|a-b|=0时有50对

所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=520

1.2题 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和

1.1 题 从{1，2，……50}中找两个数{a，b}，使其满足 （1）|a-b|=5； （2）|a-b|?5；

解：（1）：由|a-b|=5?a-b=5或者a-b=-5，

由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。 当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。 所以这样的序列有90对。 （2）：由题意知，|a-b|?5?|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0； 由上题知当|a-b|=5时 有90对序列。 当|a-b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。 当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对， 当|a-b|=0时有50对

所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=520

1.2题 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c)

1.1 题 从{1，2，……50}中找两个数{a，b}，使其满足 （1）|a-b|=5； （2）|a-b|?5；

解：（1）：由|a-b|=5?a-b=5或者a-b=-5，

由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。 当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。 所以这样的序列有90对。 （2）：由题意知，|a-b|?5?|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0； 由上题知当|a-b|=5时 有90对序列。 当|a-b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。 当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对， 当|a-b|=0时有50对

所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=520

1.2题 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c)

【第 1 页 共 42 页】 第三章

3.12.一年级有100名学生参加中文，英语和数学的考试，其中92人通过中文考试，75人通

过英语考试，65人通过数学考试；其中65人通过中，英文考试，54人通过中文和数学考试，45人通过英语和数学考试，试求通过3门学科考试的学生数。

[解].令：A 1={通过中文考试的学生}

A 2={通过英语考试的学生}

A 3={通过数学考试的学生}

于是 |Z| =100，|A 1|=92，|A 2|=75，|A 3|=65

|A 1∩A 2|=65，|A 1∩A 3|=54，|A 2∩A 3|=45

此题没有给出：

有多少人通过三门中至少一门；

有多少人一门都没通过。

但是由 max{ |A 1|,|A 2|,|A 3| }=max{92,75,65}=92

故可以认为：

至少有92人通过三门中至少一门考试，即100≥|A 1∪A 2∪A 3|≥92

至多有8人没通过一门考试，即0≤|1A ∩2A ∩3A | ≤8

于是，根据容斥原理，有

|A 1∪A 2∪A 3|=(|A 1|+|A 2|+|A 3|)-(|A 1∩A 2|+|A 1∩A 3|+|A 2∩A 3|)+|A 1∩A 2∩A 3|

即 |A 1∩A 2∩A 3|=|A 1

第三章

3.12.一年级有100名学生参加中文，英语和数学的考试，其中92人通过中文考试，75人通

过英语考试，65人通过数学考试；其中65人通过中，英文考试，54人通过中文和数学考试，45人通过英语和数学考试，试求通过3门学科考试的学生数。 [解].令：A1={通过中文考试的学生} A2={通过英语考试的学生} A3={通过数学考试的学生}

于是 |Z| =100，|A1|=92，|A2|=75，|A3|=65

|A1∩A2|=65，|A1∩A3|=54，|A2∩A3|=45

此题没有给出：

?有多少人通过三门中至少一门； ?有多少人一门都没通过。

但是由 max{ |A1|,|A2|,|A3| }=max{92,75,65}=92

故可以认为：

?至少有92人通过三门中至少一门考试，即100≥|A1∪A2∪A3|≥92

?至多有8人没通过一门考试，即0≤|A1∩A2∩A3| ≤8 于是，根据容斥原理，有

|A1∪A2∪A3|=(|A1|+|A2|+|A3|)-(|A1∩A2|+|A1∩A3|+|A2∩A3|)+|A1∩A2∩A3| 即 |A1∩A2∩A3|=|A1∪A2∪A3|-(

习 题 四

4.1. 若群G的元素a均可表示为某一元素x的幂，即a = xm，则称这个群为循环群。若群的元素交换律成立，即a , b G满足 ab = ba

则称这个群为阿贝尔(Abel)群，试证明所有的循环群都是阿贝尔群。

[证].设循环群(G, )的生成元是x0?G 。于是，对任何元素a , b G，m，n?N，使得a= x0m , b= x0n ,从而 ab = x0m x0n

= x0m +n (指数律)

= x0n +m (数的加法交换律)

= x0n x0m (指数律) = ba

故 运算满足交换律；即(G, )是交换群。

4.2. 若x是群G的一个元素，存在一个最小的正整数m，使xm=e，则称m为x的阶，试证：

2m-1

C={e,x,x, ,x} 是G的一个子群。 [证].(1)非空性C ：因为e?G；

(2)包含性CG：因为x ?G，根据群G的封闭性，可知x2, ,xm-1, (xm=)e?G，故CG；

(3)封闭性a , b C a b C： a , b C，k，l

快捷英语第五版答案

【篇一：acfun题库310道题】

lass=txt>a、意见反馈需要登录才能反馈 b.用户可以直接咨询客服 c.存在反馈快捷通道d.意见反馈和举报效果一样

2、一下四个著名的动画业界人士，没有在动画业界童话《白箱》里出现过的是a. 富野由悠季 b.庵野秀明 c.南雅彦d.石川光久

3、《南方公园》中拥有无限复活能力的角色是？d a.斯坦 b.凯尔 c.卡特曼d.肯尼

4、游戏《无主之地》系列中，帅哥杰克的面具下隐藏着？b a.外星人脸 b.秘藏标识

c.一模一样的脸d.魔女的标识 5、评论才是？c a.下体 b.三体 c.本体 d.扁桃体

6、韩国男子组合bigbang的mv‘love song’，采用了一连贯的长镜头组成，但有一个破绽可以看出是mv后期合成的，这个破绽是？c

a.崔胜贤的项链b.姜大成的西装 c.权志龙的手表d.东永斐的皮鞋

7、北斗之萨样指的是哪位日本声优？a a后藤邑子 b.后藤纱里绪 c.佐藤利奈 d.新井里美

8.一下哪位男性没有喜欢过吉安娜?普罗德摩尔？b a.阿尔萨斯 b.伊利丹 c.凯尔萨斯 d.萨尔

9、“葛炮”的原型人物，曾为哪部动画配