数理统计韦来生第二章答案

第二章数理统计答案

习题课

1. 设总体X

N , 2 ， X1,

2

n 1i 1

,Xn 是其样本：

2

a) 求k使 k Xi 1 Xi 为 2的无偏估计量； b) 求k使 k Xi X为 的无偏估计量。

i 1

n

n 1

2 n 12 2

a) 解：E kE Xi 1 Xi k E Xi 1 Xi

i 1 i 1

E Xi 1 Xi D Xi 1 Xi E Xi 1 Xi

DXi 1 DXi 2

2

22

2

E k n 1 2 2

2 1

2n 1 当E k n 1 2 2= 2时，k 。

b) E kE Xi X k EXi X nkEXi X

i 1i 1

n

n

而

X1 X2 1n

Xi X X

i Xi

ni 1

Xi 1 n 1 Xi Xi

1

n

Xn

n 12 N 0,

n

EXi X

x2

2n 1 2 n

dx dx

x2

2 202n 1 n

te

t22

第二章数理统计答案

故E nk

时，

k

2. 设总体 X

对于容量为n的样本，求使得 N , 2 ，

A

f x; , 2 dx 0.05

《概率论与数理统计》习题及答案

第 二 章

1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.

解 设Ai?‘任取一件是i等品’ i?1,2,，3 所求概率为

P(A1|A3)?因为 A3?A 1?A2所以 P(A?P(2A?)3)?P(A1) P(AP(A)1A3)?1?故

P(A1|A3)? 60.P(A1A3)，

P(A3)0.?60.?3 0.962?. 93 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.

解 设A?‘所取两件中有一件是不合格品’

Bi?‘所取两件中恰有i件不合格’ i?1,2. 则

A?B1?B2

112C4C6C4 P(A)?P(B1)?P(B2)??2， 2C10C10所求概率为

2P(B2)C41 P(B2|A)?. ?11?2P(A)C4C6?C45 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色

统计学院 概率论与数理统计 补充题

《概率论与数理统计》第二单元补充题

一、 填空题：

1、函数f(x)为连续型随机变量X的概率密度函数的充要条件是

1），2）

2、随机变量X的分布律为为__________

XP011321021，则X2的分布律为__________,2X+1的分布律51?，则随机变量,k?1,2,?Y?sinXk223、设离散型随机变量X的分布律为P{X?k}?的分布律为

4、设离散型随机变量X的分布律为 k=1, 2, 3,?，则c= .

5、设随机变量X的概率密度函数为

，

则P(0

6、随机变量X~b(10,)，则P ?X?0??7、随机变量X的分布律为P?X?k??则a?13，P?X?1??

a，（k?1,2,3,4,5)， 5

，F(2.5)?8、随机变量X服从(0,b)上的均匀分布，且P?1?X?3??1，则b?3，

9、已知随机变量X服从参数为2的泊松分布，则P?X?1??P?X?1??

二、选择题：

1、下列命题正确的是 。

（ A ）

概率论与数理统计教程 沈恒范 课件

第二章 随机变量及其分布

《概率论与数理统计教程》 （第四版）

高等教育出版社 沈恒范 著

2-1

概率论与数理统计教程 沈恒范 课件

大纲要求

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 理解随机变量的概念。 理解离散型随机变量的分布律的概念与性质。 理解连续型随机变量概率密度的概念与性质。 理解随机变量分布函数的概念和性质。 会用分布律、概率密度、分布函数计算随机事件的概率。 掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布。 会求简单随机变量函数的概率分布。 了解二维随机变量的概念

掌握二维随机变量的联合分布函数及其性质，掌握二维离散型随机变量的 联合分布律及其性质，掌握二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质、 并用他们计算有关事件的概率。 掌握随机变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算的 方法。 会求两个独立随机变量的简单函数的分布。 2-2

10. 11.

概率论与数理统计教程 沈恒范 课件

学 习 内 容

§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7 §2.8 §2.9 §2.10 §2.11 §2.12

2-3

随机变量的概念 离散随机变量 超几何分布· 二项分布· 泊松分布

习题二 一维随机变量及其分布

A组

一、填空题

5．三个大小相同的小球随机投入三个盒子中，设每个盒子至多可装三个球，则空盒子的数目X的分布律为 。

解 此系古典概型问题。X的所有可能的取值为0，1，2，据古典概型有

111m0C3C2C16P(X?0)???，

n3327111C3C218m1C3P(X?1)???， 3n327111C3C3m2C33P(X?2)???。

n3327（说明：每个球都有机会盒子投入三个盒子中的任何一个内，且机会是均等的，于是三个球

3投入三个盒子内的各种情形共有n?3种。当X?0，即不出现空盒子时，可视第一个球可

投入三个盒子中的任何一个内，第二个球可投入另外两个盒子中的任何一个内，而第三个球

111只能投入剩下的最后一个盒子内，故含X?0的情形只有m0?C3C2C1种。类似的，可得111111m1?C3C3C2，m2?C3C1C1）

B组

1．现有7件产品，其中一等品4件，二等品3件。从中任取3件，求3件中所含一等品数的概率分布。

解 设所取3件产品中所含一等品数为X，则X可能的取值为0，1，2，3 由古典概型知

312C3C4C112P{X?0}?3?， P{X?1}?33?，

C735C73521

习题二

1. 设随机变量X的分布函数为

x?0,?0,?14,0?x?1,??F(x)??13,1?x?3,

?12,3?x?6,??x?6.?1,试求X的概率分布列及P(X?1)，P(X?1)，P(X?3)，P(X?3). 解: 随机变量X的分布列为 0 3 6 X 1 p 14 112 16 12 11； P(X?1)?P(0)?P(1)?F(1)?； 431112 P(X?3)?P(6)?； P(X?3)?P(3)?P(6)???.

2623 2. 设离散型随机变量X的分布函数为

x??1,?0,?a,?1?x?1,?F(x)??2

?3?a,1?x?2,?a?b,x?2.?且P(X?2)?12，试求a，b和X的分布列. 解：由分布函数的定义可知 a?b?1

又因为P(X?2)?12，则

7?2?1P(X?2)?P(X?2)?P(X?2)?F(2)?F(2?0)?a?b???a???2a?b?

6?3?2故 a?16， b?56.

3. 设随机变量X的分布函数为

x?1,?0,?F(x)??lnx,1?x?e,

?1,x?e.?则 P(X?1)?P(0)?试求P

习题二

1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只

球中的最大号码，写出随机变量X的分布律. 【解】

X?3,4,5P(X?3)?P(X?4)?1?0.13C53 ?0.3C35C24P(X?5)?3?0.6C5故所求分布律为 X P 3 0.1 4 0.3 5 0.6 2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求： （1） X的分布律；

（2） X的分布函数并作图； (3)

133P{X?},P{1?X?},P{1?X?},P{1?X?2}.

222【解】

X?0,1,2.3C1322P(X?0)?3?.C15352C112 2C13P(X?1)?3?.C1535C11P(X?2)?13?.3C1535故X的分布律为 X P 0 1 2 22 3512 351 35 （2） 当x<0时，F（x）=P（X≤x）=0

当0≤x<1时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)=

22 35 1

当1≤x<2时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=当x≥2时，F（x）=P（X≤x）=1 故X的分布函数

34 35x?0?0,?22?,0?x?1?35 F(x)??34?,1?x?2?35?1,x?2?(3)

1122P(X?)?F()?,2235333434P(1?X?)?F()?F(1)???0223535

3312P(1

习题二

1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只

球中的最大号码，写出随机变量X的分布律. 【解】

X?3,4,5P(X?3)?P(X?4)?1?0.13C53 ?0.3C35C24P(X?5)?3?0.6C5故所求分布律为 X P 3 0.1 4 0.3 5 0.6 2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求： （1） X的分布律；

（2） X的分布函数并作图； (3)

133P{X?},P{1?X?},P{1?X?},P{1?X?2}.

222【解】

X?0,1,2.3C1322P(X?0)?3?.C15352C112 2C13P(X?1)?3?.C1535C11P(X?2)?13?.3C1535故X的分布律为 X P 0 1 2 22 3512 351 35 （2） 当x<0时，F（x）=P（X≤x）=0

当0≤x<1时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)=

22 35 1

当1≤x<2时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=当x≥2时，F（x）=P（X≤x）=1 故X的分布函数

34 35x?0?0,?22?,0?x?1?35 F(x)??34?,1?x?2?35?1,x?2?(3)

1122P(X?)?F()?,2235333434P(1?X?)?F()?F(1)???0223535

3312P(1

习题二

1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只

球中的最大号码，写出随机变量X的分布律. 【解】

X?3,4,5P(X?3)?P(X?4)?1?0.13C53 ?0.3C35C24P(X?5)?3?0.6C5故所求分布律为 X P 3 0.1 4 0.3 5 0.6 2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求： （1） X的分布律；

（2） X的分布函数并作图； (3)

133P{X?},P{1?X?},P{1?X?},P{1?X?2}.

222【解】

X?0,1,2.3C1322P(X?0)?3?.C15352C112 2C13P(X?1)?3?.C1535C11P(X?2)?13?.3C1535故X的分布律为 X P 0 1 2 22 3512 351 35 （2） 当x<0时，F（x）=P（X≤x）=0

当0≤x<1时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)=

22 35 1

当1≤x<2时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=当x≥2时，F（x）=P（X≤x）=1 故X的分布函数

34 35x?0?0,?22?,0?x?1?35 F(x)??34?,1?x?2?35?1,x?2?(3)

1122P(X?)?F()?,2235333434P(1?X?)?F()?F(1)???0223535

3312P(1

概率论与数理统计作业

班级 姓名 学号 任课教师

第二章 随机变量及其分布

教学要求：

一、理解随机变量的概念；理解离散型随机变量及其分布律的定义，理解分布律的性质；掌

握(0-1)分布、二项分布、Poisson分布的概念、性质；会计算随机变量的分布律. 二、理解分布函数的概念及其性质；理解连续型随机变量的定义、概率密度函数的基本性质，

并熟练掌握有关的计算；会由分布律计算分布函数,会由分布函数计算密度函数,由密度函数计算分布函数.

三、掌握均匀分布、正态分布和指数分布的概念、性质. 一、掌握一维随机变量函数的分布．

重点:二项分布、正态分布，随机变量的概率分布． 难点:正态分布，随机变量函数的分布．

练习一 随机变量、离散型随机变量及其分布律

1．填空、选择

(1)抛一枚质地均匀的硬币，设随机变量X??T，?0，出现反面 H，?1，出现正面（，2]上取值的概率为12. 则随机变量X在区间

(2)一射击运动员对同一目标独立地进行4次射击,以X表示命中的次数,如果

12P?X?1??80,则P?X?1??881. 81i(3)设离散型随机变量X的概率分布为P?