积分发散和收敛判断

关于瑕积分收敛的判断

课本中关于瑕积分收敛的判断主要是基于定理3与其推论（课本下册p.283）。由这一推论可以看出：推论是根据 x?a? （视具体情况亦可是 x?b?）时无穷大量 f?x? 相对于无穷大量

1? 的阶来判断。因为：lim??x?af?x??d 等价于

x?a?x?ax?alim?f?x?1?d ，当 0?d??? 时，无穷大量 f?x? 与无穷大量 是同?1?x?a???x?a?1 ，无穷大量 f?x? 的阶是 ? ），由于例3 （课x?a1本下册p.280），相对于无穷大量 ，无穷大量 f?x? 的阶 ??1 时瑕积分

x?a阶无穷大量（ 即：相对于无穷大量

?baf?x?dx 收敛，阶??1 时瑕积分

?f?x?dx 发散。当然，由于存在不可比较的无

ab穷大量，这一判断收敛的方法也不是万能的。

习题例解：

?例1． 判别瑕积分

?20d? 的敛散性（课本下册p.289：2（6））

1?sin?解：由于lim????2?1???，点 ?? 是其瑕点。又由于（注1）

21?sin????1?sin??1?cos??????2?

?2sin2??2 ，

?lim????22????1 ，当 ????2??2 时，相对于无穷大

介绍微积分发展历史

演讲者；

学号：指导老师：

介绍微积分发展历史

目

录

1

微积分发展前期

23 4

微积分的创立—牛顿和莱布尼茨的工作

微积分的发展总结

介绍微积分发展历史

微积分的产生一般分为三个阶段

1、极限概念 欧洲的大批数学家一直 追朔到古希腊的阿基米德 都作出了各自的贡献

2、无限小方法

3、积分与微分 的互逆关系

主要是牛顿和 莱布尼茨做出贡献

介绍微积分发展历史

中国古代为微积分创立做出的贡献

《墨经》

有穷、无穷、无限小(最小无内)、无穷大 (最大无外)的定义和极限、瞬时等概念

刘徽

用割圆术来计算圆周率、圆周长与圆面积，求得 圆周率的近似值为3.14 应用极限思想，对圆周率精确到小数点后7位 直到1472年才被中亚细亚数学家阿尔· 卡西更 精确的推算打破 《梦溪笔谈》独创了“隙积术”、“会圆术”和“棋局 都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究

祖冲之

沈括

介绍微积分发展历史

欧洲古代萌发的微积分思想

安提芬的“穷竭法”

阿基米德”平衡法”

刺激微分学发展的主要科学问题是 求曲线的切线、求瞬时变化率以及 求函数的极大值极小值等问题。

介绍微积分发展历史

半个世纪的酝酿已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式， 求物体在任意时刻的速度和加速度

望远镜的光程设计使得求

介绍微积分发展历史

演讲者；

学号：指导老师：

介绍微积分发展历史

目

录

1

微积分发展前期

23 4

微积分的创立—牛顿和莱布尼茨的工作

微积分的发展总结

介绍微积分发展历史

微积分的产生一般分为三个阶段

1、极限概念 欧洲的大批数学家一直 追朔到古希腊的阿基米德 都作出了各自的贡献

2、无限小方法

3、积分与微分 的互逆关系

主要是牛顿和 莱布尼茨做出贡献

介绍微积分发展历史

中国古代为微积分创立做出的贡献

《墨经》

有穷、无穷、无限小(最小无内)、无穷大 (最大无外)的定义和极限、瞬时等概念

刘徽

用割圆术来计算圆周率、圆周长与圆面积，求得 圆周率的近似值为3.14 应用极限思想，对圆周率精确到小数点后7位 直到1472年才被中亚细亚数学家阿尔· 卡西更 精确的推算打破 《梦溪笔谈》独创了“隙积术”、“会圆术”和“棋局 都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究

祖冲之

沈括

介绍微积分发展历史

欧洲古代萌发的微积分思想

安提芬的“穷竭法”

阿基米德”平衡法”

刺激微分学发展的主要科学问题是 求曲线的切线、求瞬时变化率以及 求函数的极大值极小值等问题。

介绍微积分发展历史

半个世纪的酝酿已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式， 求物体在任意时刻的速度和加速度

望远镜的光程设计使得求

1

1 引言

无限区间上的积分或无界函数这两类积分叫作广义积分,又名反常积分.在讨论定积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性。但在许多实际问题中往往需要突破这些限制，这两个约束条件限制了定积分的应用，因为许多理论和实际中往往不满足这两个条件.因此，就需要研究无穷区间或者无界函数的积分问题，而将这两个约束条件取消，就得到了定积分的两种形式的推广：将函数的积分从积分区间有界扩展到了积分区间无界的无穷积分和被积函数有界扩展到了无界函数的瑕积分,这两种积分就是通常所说的反常积分或广义积分.

广义积分是伴随数学的发展而发展起来的近代数学，作为数学的一类基本命题，它是高等数学中的一个重要概念，它的出现为物理学解决了许多计算上的难题，也为其他科学的发展起到了促进作用，应用十分广泛.但是，反常积分涉及到一个所谓的收敛性问题，由于反常积分的重要性，所以，对反常敛散性的探讨，也就显得十分必要了.在一致收敛意义下，极限与积分、求导与积分、积分与积分都是可以交换顺序.于是判断含参广义积分的一致收敛性变得尤为重要.

1. 含参量的广义积分

和一元函数的定积分一样，可以将含参变量的广义积分进行推广，形成含参量的广义积分。从形式上讲，含参量的广义积

学号： 本 科 生 毕 业 论 文

论 文作 院 专 班 指 导题 目： 者： 系：业：级：教 师：

反常积分与无穷级数收敛关系的讨论

2015 年 5 月 17 日

I

NO.： Huanggang Normal University

Thesis Graduates

Topic ：

Author ：

College ： Specialty ：

Class ：

Tutor

：

May 17th, 2015

郑重声明

本人所呈交的毕业论文(设计)是本人在指导教师 的指导下独立研究并完成的. 除了文中特别加以标注引用的内容外，没有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权行为，本人完全意识到本声明

黄冈师范学院本科生毕业论文

本 论 文科 题 目：

毕 业 论 文

反常积分与无穷级数收敛关系的讨论

生

NO.：201121140403 Huanggang Normal University

Topic Author College Specialty Class Tutor

Thesis Graduates

Discuss Improper Integrals and Infinite Series Converges Relations

CHEN Gan

College of Mathematics and Physics Mathematics and Applied Mathematics 201104 HE Chunling

： ：：：：

：

May 17th

题 目 含参量反常积分一致收敛的判别法

学生姓名 学 号 系 别 数学系 年 级 2010级 专 业 数学与应用数学 指导教师 职 称 完成日期

1

摘 要

含参变量的反常积分是研究和表达函数的的有力工具。要更好的研究含参量反常积分所表达的函数，关键问题在于判断他的一致收敛性。本文通过研究判断含参量反常积分一致收敛的判别法,以帮助研究含参量反常积分所表达的函数。 关键词：含参量反常积分;一致收敛;判别法

2

Abstract

Improper integral with variable

数学与应用数学

微积分发展应用史

学院：数学与计算机科学学院

专业：数学与应用数学（1）班

【摘要】：由于函数概念的产生和运用的加深,也由于科学技术发展的需要,一门新的数学分支就继解析几何之后产生了,这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的,可以说它是继欧氏几何后,全部数学中的最大的一个创造。整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究,但使微积分成为数学的一个重要分支还是牛顿和莱布尼茨。

【关键词】： 解析几何 建立牛顿莱布尼兹 发展史

【正文】

如果将整个数学比作一棵大树,那么初等数学是树的根,名目繁多的数学分支是树枝,而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。从17世纪开始,随着社会的进步和生产力的发展,自文艺复新以来在资本主义生产力刺激下蓬勃发展的自然科学开始迈入综合与突破阶段，而这种综合与突破所面临的数学困难，是的微积分学的基本问题空前的成为人们关注的焦点：确定非匀速运动物体的速度与加速度使瞬时变化率问题成为研究;望远镜的光程设计需要确定透镜曲面上任意一点的法线这就是人以曲线的切线问题变得不可回避；确定炮弹的最大射程及寻求行星轨道的近日点与远日点等涉及的函数极大值、极小值问题也亟待解决与此

微积分发展中牛顿与莱布尼茨的贡献

微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

1.微积分产生

到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。

一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。

在十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学

数学与应用数学

微积分发展应用史

学院：数学与计算机科学学院

专业：数学与应用数学（1）班

【摘要】：由于函数概念的产生和运用的加深,也由于科学技术发展的需要,一门新的数学分支就继解析几何之后产生了,这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的,可以说它是继欧氏几何后,全部数学中的最大的一个创造。整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究,但使微积分成为数学的一个重要分支还是牛顿和莱布尼茨。

【关键词】： 解析几何 建立牛顿莱布尼兹 发展史

【正文】

如果将整个数学比作一棵大树,那么初等数学是树的根,名目繁多的数学分支是树枝,而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。从17世纪开始,随着社会的进步和生产力的发展,自文艺复新以来在资本主义生产力刺激下蓬勃发展的自然科学开始迈入综合与突破阶段，而这种综合与突破所面临的数学困难，是的微积分学的基本问题空前的成为人们关注的焦点：确定非匀速运动物体的速度与加速度使瞬时变化率问题成为研究;望远镜的光程设计需要确定透镜曲面上任意一点的法线这就是人以曲线的切线问题变得不可回避；确定炮弹的最大射程及寻求行星轨道的近日点与远日点等涉及的函数极大值、极小值问题也亟待解决与此