北邮版概率论答案1

习题八

2

1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.108).现在测了5炉铁水，其含碳量（%）分别为

4.28 4.40 4.42 4.35 4.37

问若标准差不改变，总体平均值有无显著性变化（?=0.05）? 【解】

H0:???0?4.55;H1:???0?4.55.n?5,??0.05,Z?/2?Z0.025?1.96,??0.108x?4.364,Z?x??0

?(4.364?4.55)0.108?5??3.851,?/nZ?Z0.025.所以拒绝H0，认为总体平均值有显著性变化.

2. 某种矿砂的5个样品中的含镍量（%）经测定为：

3.24 3.26 3.24 3.27 3.25

设含镍量服从正态分布，问在?=0.01下能否接收假设：这批矿砂的含镍量为3.25. 【解】设

H0:???0?3.25;H1:???0?3.25.n?5,??0.01,t?/2(n?1)?t0.005(4)?4.6041x?3.252,s?0.013,t?x??0s/n?(3.252?3.25)0.013?5?0.344,

t?t0.005(4).所以接受H0，认为这批矿

北京邮电大学出版的概率论

习题三

1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与

出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.

3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

ππ sinxsiny,0 x ,0 y

F（x，y）= 22

其他. 0,

求二维随机变量（X，Y）在长方形域 0 x 【解】如图P{0 X

πππ

, y 内的概率. 463

πππ

, Y 公式(3.2) 463

ππππππF(,) F(,) F(0,) F(0,) 434636

北京邮电大学出版的概率论

sinπ4 sinπ3 sinπ4 sinπ6 sin0 sinπ3 sin0

sin

π6

4

1).

题3图

说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度

Ae (3x 4y)f（x，y）= ,x 0,y 0,

0,

其他.

求：（1） 常数A；

（2） 随机变量（X，Y）的分布函数； （3） P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1） 由

f(x,y)dxdy

-(3x

习题二答案

1．随机变量的分布函数、分布律、密度函数有何联系与区别？

答：随机变量的分布刻画了随机变量的取值规律，不管是连续型、离散型或既不是连续型，也不是离散型随机变量都可用分布函数来描述其取值的规律；而分布律只用来描述离散型随机变量的取值规律；密度函数只能来描述连续型随机变量的取值规律。它们的联系在于当知道了X的分布律，可通过求概率

（x取任意的值）求得X的分布函数

;

仅之亦然。当知道了连续型随机变量的密度函数积分可通过对

求导，即求得密度函数

,可通过

,

,求得分布函数

（对一切

2. 同时掷两枚骰子,求两枚骰子的点数之和X 的概率分布,并计算P{X≤3}和P{X>13}.

解：由题意X的正概率点为2，3，?12

, k=2,3,?12

3. 某产品共17件,其中有次品3件,现从中任取5件,求抽得次品数X 的概率分布,并计算P{1≤X<2} 解：

,

4. 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求X 的概率分布 解：X 的可能取值为0,1,2,3 车在第i个路口首次遇到红灯

习题二答案

1．随机变量的分布函数、分布律、密度函数有何联系与区别？

答：随机变量的分布刻画了随机变量的取值规律，不管是连续型、离散型或既不是连续型，也不是离散型随机变量都可用分布函数来描述其取值的规律；而分布律只用来描述离散型随机变量的取值规律；密度函数只能来描述连续型随机变量的取值规律。它们的联系在于当知道了X的分布律，可通过求概率

（x取任意的值）求得X的分布函数

;

仅之亦然。当知道了连续型随机变量的密度函数积分可通过对

求导，即求得密度函数

,可通过

,

,求得分布函数

（对一切

2. 同时掷两枚骰子,求两枚骰子的点数之和X 的概率分布,并计算P{X≤3}和P{X>13}.

解：由题意X的正概率点为2，3，?12

, k=2,3,?12

3. 某产品共17件,其中有次品3件,现从中任取5件,求抽得次品数X 的概率分布,并计算P{1≤X<2} 解：

,

4. 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求X 的概率分布 解：X 的可能取值为0,1,2,3 车在第i个路口首次遇到红灯

习题二答案

1．随机变量的分布函数、分布律、密度函数有何联系与区别？

答：随机变量的分布刻画了随机变量的取值规律，不管是连续型、离散型或既不是连续型，也不是离散型随机变量都可用分布函数来描述其取值的规律；而分布律只用来描述离散型随机变量的取值规律；密度函数只能来描述连续型随机变量的取值规律。它们的联系在于当知道了X的分布律，可通过求概率

（x取任意的值）求得X的分布函数

;

仅之亦然。当知道了连续型随机变量的密度函数积分可通过对

求导，即求得密度函数

,可通过

,

,求得分布函数

（对一切

2. 同时掷两枚骰子,求两枚骰子的点数之和X 的概率分布,并计算P{X≤3}和P{X>13}.

解：由题意X的正概率点为2，3，?12

, k=2,3,?12

3. 某产品共17件,其中有次品3件,现从中任取5件,求抽得次品数X 的概率分布,并计算P{1≤X<2} 解：

,

4. 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求X 的概率分布 解：X 的可能取值为0,1,2,3 车在第i个路口首次遇到红灯

概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率 12 二维随机变量的数字特征·切比雪夫不等式与大数定律

一、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

f?x,y??A?x2?y?12?2 .

求：（1）系数A；（2）数学期望E(X)及E(Y)，方差D(X)及D(Y)，协方差cov(X,Y)． 解: (1) 由??????????f(x,y)dxdy?1. 有

A2???x?????????y?12?2dxdy?A?2?0d???r0??r2?1?2dr??A?1

解得, A?1?.

(2) E(X)???????????xf(x,y)dxdy???1????dy???x???x2?y?12?2dx?0.

由对称性, 知 E(Y)?0. D(X)?E[(X?EX)]?EX22???????0??????xf(x,y)dxdy?221??????dy???x222???x12?y?1???dx

?1??2?0d????r320?r2?1?dr?2?r(1?r)?r?r??2?1?2dr?[ln(1?r)

习题二答案

1．随机变量的分布函数、分布律、密度函数有何联系与区别？

答：随机变量的分布刻画了随机变量的取值规律，不管是连续型、离散型或既不是连续型，也不是离散型随机变量都可用分布函数来描述其取值的规律；而分布律只用来描述离散型随机变量的取值规律；密度函数只能来描述连续型随机变量的取值规律。它们的联系在于当知道了X的分布律，可通过求概率

（x取任意的值）求得X的分布函数

;

仅之亦然。当知道了连续型随机变量的密度函数积分可通过对

求导，即求得密度函数

,可通过

,

,求得分布函数

（对一切

2. 同时掷两枚骰子,求两枚骰子的点数之和X 的概率分布,并计算P{X≤3}和P{X>13}.

解：由题意X的正概率点为2，3，?12

, k=2,3,?12

3. 某产品共17件,其中有次品3件,现从中任取5件,求抽得次品数X 的概率分布,并计算P{1≤X<2} 解：

,

4. 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求X 的概率分布 解：X 的可能取值为0,1,2,3 车在第i个路口首次遇到红灯

第一章 概率论的基本概念

第一节

一、DBCBC 二、1.(1)ABC (4)ABC

(2)AUBUC

(3)ABCABC

ABCABC (5)ABCABCABC

BC?1,3,4,6,7,8,9,10?

2.(1) AB??2,3,5,7? 一、BCADB 二、1、

(2) A(BC)?A第二节

3 2、0.2 83、0.7 4、0.6

228C1095852C10A95A52三、放回抽样 不放回抽样 1010100A100四、0.75 一、CACBB 二、1、

五、0.65

第三节

?? ?

2、0.76 3、0.4 4、0.2 5、

11 153 7三、0.25 四、0.3 五、

综合题

一、ADBDDD 二、1、0 6、0.944 三、0.18 五、（1）六、0.25 九、

2、0.3 7、

3、0.7 8、

4、0.3 0.5 9、0.7

5、0.82 10、

2 3

11?ln2 427 124 928 45

四、0.267 （3）

（2）

1 45

16 45

（4）

1 5八、0.02625 0.49 十一、0

1、 设A、B是试验E的两事件，问A与B相互独立，互不相容和互为对立事件三者能否同

时成立？三者关系如何？

2、 某人有两盒火柴，吸烟时从任一盒中取一根火柴，经过若干时间后，发现火柴已用完。

如果最初两盒中各有n根火柴，求这时另一盒中还有r根火柴的概率。

3、 假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需进一步调试，经

调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂，现该厂新生产了n(n?2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求 （1） 全部能出厂的概率；

（2） 其中恰好有两件不能出厂的概率； （3） 其中至少有两件不能出厂的概率。

4、 设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3

份，7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份。 （1） 求先抽到的一份是女生表的概率

（2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率。

5、 设随机试验E中某一事件A发生的概率为1>P>0，试求证：独立地连续重复做试验E

时，不论P如何小，A迟早会发生的概率为1。

6、 有两个盒子，第一个盒中装有2个红球，1个黑球，第二个盒中装有2个红球，2个黑

球。现从这两个盒

概率论作业（1） 班级 学号 姓名

1. 写出下列随机试验的样本空间： (1) 记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分）； (2) 在单位圆内任取一点，记录它的坐标； (3) 一射手射击，直到击中目标为止，观察射击情况。 (4) 把A，B两个球随机地放到3个盒子中去，观察球的分布情况（假设每个盒子可容纳球的个数不限）。 2．一工人生产了四件产品，以A表示他生产的第i件产品是正品(i?1,2,3,4)，试用A表示(i?1,2,3,4)下列事件：

（1） 没有一件产品是次品； （2） 至少有一件产品是次品； （3） 恰有一件产品是次品； （4） 至少有两件产品不是次品。

3.对飞机进行两次射击，每次射一弹，设事件A={第一次击中飞机}，B={第二次击中飞机} C={恰有一弹击中飞机}，D={至少有一弹击中飞机}，E={两弹都击中飞机}。 （1） 试用事件A，B，表示事件C，D，E。 （2） C与E是互逆事件吗？为什么？

4．从一批产品中任意抽取5件样品进行质量检查。记事件A表示“发现i件次品”

(i?0,1,2,?,5)，试用A来表示下列事件：

（1）发现2件或3件次品；（