微积分公式总结

各种积分公式,公式大概分为四类,

北京理工大学

微积分-积分定理集锦

常用积分公式 定理

程功 2010/12/22

各种积分公式,公式大概分为四类,

定理

1.积分存在定理

1）当函数f(x)在区间 a,b 上连续时，称f(x)在区间 a,b 上可积.

2）设函数f(x)在区间 a,b 上有界，且只有有限个间断点，则f x 在区间 a,b 上可积。

2.性质：1 [f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx（此性质可以推广到有限多个函数求和的

a

a

a

bbb

情况）。

性质2. kf(x)dx k f(x)dx k为常数

a

a

bb

假设a c b，性质3： f(x)dx f(x)dx f(x)dx（定积分对于积分区间具有可加性）

a

a

c

bcb

性质4: 1 dx badx b a

a

b

性质5：如果在区间 a,b 上f(x) 0,则 f(x)dx 0 (a b)

a

b

推论（1）：如果在区间[a,b]上，f(x) g x 则 f(x)dx g(x)dx(a b)

a

a

bb

推论（2）：

b

a

f()xdx fx a b

a

b

性质6：设M及m分别是函数f x 上的最大值与最小值，则

m(b a) f(x)dx M(b a)

a

b

3.定积分中值定理

如果函数f x

所有微积分公式《全》

·两角和与差的三角函数

　　cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

　　cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

　　sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

　　tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

　　tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

　　·和差化积公式：

　　sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

　　sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

　　cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

　　cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

　　·积化和差公式：

　　sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

　　cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

　　cosα·cosβ

考研数学：微积分公式汇总

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四、基本求导法则与导数公式

１. 基本初等函数的导数公式和求导法则

基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下： 基本初等函数求导公式 (1)

(C)??0 (3) (sinx)??cosx (5)

(tanx)??sec2x (7) (secx)??secxtanx

xx (9)

(a)??alna (log1ax)?? (11)

xlna

(arcsinx)??1 (13)

1?x2

(arctanx)??1 (15)

1?x2

函数的和、差、积、商的求导法则 设

u?u(x)，

v?v(x)都可导，则

（1） (u?v)??u??v? （2）（3）

（4）(uv)??u?v?uv? 反函数求导法则

(x?)???x??1 (cosx)???sinx

(cotx)???csc2x

(cscx)???cscxcotx

(ex)??ex

(lnx)??1x，

(arccosx)???11?x2

(arccotx)???11?x2(Cu)??Cu?（C是常数）

???u??u?v?uv??v

高等数学(一)微积分,自考的经验积累

特殊角的三角函数值

例1.已知一个三角函数值，求其他的三角函数值。

（1）已知tanx=3求其他的三角函数值 斜边

^2=a^2+b^2

Sinx=对/斜 cosx=邻/斜 tgX=对/邻 cotX=邻/对 sec x=1/cosx

①倒数关系：

②商的关系

③平方关系

两角和的正弦、余弦、正切公式

两角差的正弦、余弦、正切公式

倍角公式

高等数学(一)微积分,自考的经验积累

降幂公式

积化和差公式

对数函数有下列性质：设a,b,c,x,y为任意正数，（α≠1，c≠1），α为任意实数

①

②； ；

③

④

⑤。 ； ；

：如果q≠1时，

例2.（56页1（3））判断下列级数的敛散性，并在收敛时求出其和：

解：

高等数学(一)微积分,自考的经验积累

由

一、极限运算法则

定理

设

（1）

（2） ，则 得级数收敛，其和为。

（3）

3.无穷小的运算性质：

（1）在同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小。

（2）有限个无穷小的乘积也是无穷小。

（3）有界变量与无穷小的乘积是无穷小。

.定理 在同一过程中，无穷大的倒数为无穷小；恒不为零的无穷小的倒数为无穷大。

2.意义：关于无穷大的讨论，都可归结为关于无穷小的讨论。 小结：当，m和n为非负整数时有

无穷小分出法

.

微积分题型总结

第一部分 函 数

函数是整个高等数学研究的主要对象，因而成为考核的对象之一。特别是一元函数的定义和性质，其中包括反函数、复合函数、隐函数、初等函数和分段函数的定义和性质。

一、 重点内容提要

1、函数定义中的关键要素是定义域与对应法则，这里要特别注意两点：

①两个函数只有当它们的定义域和对应法则都相同时，才能说它们是相同的函数。 ②分段函数是一个函数而不是几个函数。 求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示）

对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量x的取值范围（集合） 主要根据：

①分式函数：分母≠0

②偶次根式函数：被开方式≥0 ③对数函数式：真数式＞0

④反正（余）弦函数式：自变量x?1

例1例2例3求函数y?x?x的定义域。求函数y=ln(x?2y)4?x?y22 的定义域。2?x 的定义域1-2x2例4 y?ln(x?3x)?arccosx

在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。 2、关于反函数定义，我们仅要求掌握变量反解法。 3、函数的简单性质，重点掌握奇偶性、单调性。 4、关于复合函数定义

将复合函数拆成

微积分（B II）总结

chapter 8 多元函数微分学

8.1 多元函数的极限

先看极限是否存在（一个方向组(y=kx)或两个方向趋近于极限点（给定方向必须当x满足极限过程时,y也满足极限过程））。如果存在，能先求的先求，能用等价无穷小替换的就替换，最后考虑夹逼准则。

8.2 偏导数

点导数定义（多用于分段函数的分界点）

fx(x,y)=limDx?0f(x0+Dx,y0)-f(x0,y0)Dx fx(x0+Dx,y0)-fx(x0,y0)Dx

fxx(x0,y0)=lim例：求

Dx?0f(x,y)=xy,fx(0,0),就是求分段函数的点偏导数

f(x,y)在(x0,y0)连续，但偏导数不一定存在（如：锥）

8.3 全微分

函数可微，则偏导数必存在（逆否命题可证明函数不可微,证明时，把右边前两项移到左边，看它是不是r的高阶无穷小）

?z?zDz=Dx+Dy+o(r)?x?y?z?zdz=dx+dy?x?y

例：

对于某一点处的全微分，也可能要用到点导数。

8.4多元复合函数求导 8.4.1链式求导法则

z(x,y)=f(u(x,y),v(x,y))?z?f?u?f?v=+?x?u?x?v?x

链式求导法则要求函数对每个中间变量求偏导，乘

深大 高数 课件

第二节 微积分基本公式(下)三、牛顿 – 莱布尼兹公式

第五章

深大 高数 课件

牛顿—莱布尼茨公式设F ( x ) 是f ( x )的一个原函数, f ( t )dt 也是f ( x )的一个原函数.x a xa

f (t )dt F ( x ) C .

令 x a, 得 C F (a ),x a

0

a

a

f (t )dt F (a ) C .

f (t )dt F ( x ) F (a ).

令x b

a f ( x )dx F (b) F (a ).b

深大 高数 课件

定理 ：设函数 f ( x )在[a , b]上连续，F ( x )是 f ( x )的一个原函数，则

b a

f ( x ) dx F (b) F (a ) (牛顿-莱布尼兹公式)

上式说明：连续函数在一个区间上的积分等于 它的一个原函数在积分区间端点的改变量。意义：牛顿-莱布尼兹公式沟通了积分和(反) 导数这两个微积分学中最基本的概念，因此也 称为微积分基本公式。 另一种形式： F (b) F (a )

b a

F ( x ) dx .

深大 高数 课件

a f ( x )dx F (b)

(tgx)′=secx(ctgx)′= csc2x(secx)′=secx tgx(cscx)′= cscx ctgx(ax)′=axlna(logax)′=

1xlna

2

(arcsinx)′=

1

x2

1

(arccosx)′=

x21

(arctgx)′=

1+x2

1

(arcctgx)′=

1+x2

∫tgxdx= lncosx+C∫ctgxdx=lnsinx+C

∫secxdx=lnsecx+tgx+C∫cscxdx=lncscx ctgx+C

dxx1

arctg=+C∫a2+x2aa

dxx a1

ln=∫x2 a22ax+a+C

dx1a+x

=∫a2 x22alna x+Cdxx

=+Carcsin∫a2 x2

a

π

2

n

dx2

sec=∫cos2x∫xdx=tgx+C

dx2

csc=∫sin2x∫xdx= ctgx+C

∫secx tgxdx=secx+C

∫cscx ctgxdx= cscx+C

ax

∫adx=lna+C

x

∫shxdx=chx+C∫chxdx=shx+C∫

dxx2±a2

=ln(x+x2±a2)+C

π

2

In=∫sinxdx=∫cosnxdx=

n 1

In 2n

∫∫∫

x2a22

x+adx=x+a+ln(x+x2+a2)+C

22x2a2

1.高等数学概念

微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。 定义

设函数f(x）=0在[a,b]上有解，在[a，b]中任意插入若干个分点 a=x0

把区间[a，b]分成n个小区间

[x0，x1]，...[xn-1，xn]。

在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi），作函数值f（ξi）与小区间长度的乘积f（ξi）△xi，并作出和

如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，

这时我们称这个极限I为函数f(x）在区间[a,b]上的定积分， 记作

定积分 即：

展开式 编辑本段微积分学的建立

从微积分成为一门