高斯光学公式

????ref?kIaref 公式 (4-1)

krefIaref?A502IIrefa?1?10?A5021?10 公式 (4-2)

?ref?为单线态氧量子产率标准值（四氯四碘荧光素单线态氧量子产率为

0.76）， kref和k分别为参比和样品在以DPBF为单线态氧捕捉剂条件下的速率常数。Iaref 和I 分别为参比和样品在502 nm处的光吸收速率，它们的比值可由公式 (4-2)得到。

sample

OHSiHPc(α-OPhCMe3)4

OHGeHPc(α-OPhCMe3)4 OHSnHPc(α-OPhCMe3)4 PbPc(α-OPhCMe3)4 OHSiHPc(β-OPhCMe3)4 OHGeHPc(β-OPhCMe3)4 OHSnHPc(β-OPhCMe3)4 PbPc(β-OPhCMe3)4

λabs,nm 699 711 691 691 683 689 676 675

λex,nm 698 714 690 691 683 689 676 676

λem,nm 718 725 706 707 694 703 688 688

Φf 0.89 0.25 0.60 0.24 0.84 0.72 0.58 0.26

τf,n

高斯投影坐标正反算

一、基本思想：

高斯投影正算公式就是由大地坐标（L，B）求解高斯平面坐标（x，y），而高斯投影反算公式则是由高斯平面坐标（x，y）求解大地坐标（L，B）。

二、计算模型：

基本椭球参数： 椭球长半轴a 椭球扁率f

椭球短半轴：b?a(1?f)

a2?b2椭球第一偏心率 ：e?

aa2?b2椭球第二偏心率 ：e?? b高斯投影正算公式：此公式换算的精度为0.001m

x?X??NN2??sinBcosB?l?simBcos3B(5?t2?9?2?4?4)l??4242???24???

N5246??sinBcosB(61?58t?t)l720???6y?NN3223??cosB?l???cosB(1?t??)l???6???3N5242225???cosB(5?18t?t?14??58?t)l120???5

其中：角度都为弧度

B为点的纬度，l???L?L0，L为点的经度，L0为中央子午线经度；

N为子午圈曲率半径，N?a(1?esinB)； t?tanB；

22?12?2?e?2cos2B

????180??3600

其中X为子午线弧长：

1616??X?a0B?sinBcosB?(a2?a4?a6)?(2a4?a6)sin

高斯投影坐标正反算

一、相关概念

大地坐标系由大地基准面和地图投影确定，由地图投影到特定椭圆柱面后在南北两极剪开展开而成，是对地球表面的逼近，各国或地区有各自的大地基准面，我国目前主要采用的基准面为：

1.WGS84基准面，为GPS基准面，17届国际大地测量协会上推荐，椭圆柱长半轴a=6378137m，短半轴b=6356752.3142451m；

2.西安80坐标系，1975年国际大地测量协会上推荐，椭圆柱长半轴a=6378140m，短半轴b=6356755.2881575m;

3.北京54坐标系，参照前苏联克拉索夫斯基椭球体建立,椭圆柱长半轴a=6378245m, 短半轴b=6356863.018773m;

通常所说的高斯投影有三种，即投影后：

a) 角度不变（正角投影），投影后经线和纬线仍然垂直； b) 长度不变； c) 面积不变；

大地坐标一般采用高斯正角投影，即在地球球心放一点光源，地图投影到过与中央经线相切的椭圆柱面上而成；可分带投影，按中央经线经度值分带，有每6度一带或每3度一带两种(起始带中央经线经度为均为3度，即：6度带1带位置0-6度，3度带1带位置1.5-4.5 度)，即所谓的高斯-克吕格投影。

图表 11高斯投影和分带

§8.3高斯投影坐标正反算公式

任何一种投影①坐标对应关系是最主要的；②如果是正形投影，除了满足正形投影的条件外（C-R偏微分方程），还有它本身的特殊条件。 8.3.1高斯投影坐标正算公式： B,l x,y

高斯投影必须满足以下三个条件：

①中央子午线投影后为直线；②中央子午线投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。

由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即(8-10)式中，x为l的偶函数，y为l的奇函数；l 30

30 ，即l /

1/20，如展开为l的级数，收敛。

x m24

6

0 m2l m4l m6l y m3

5

（8-33）

1l m3l m5l

式中

m0,m1, 是待定系数，它们都是纬度B的函数。

由第三个条件知：

xx y

q

y l, l q

(8-33)式分别对l和q求偏导数并代入上式

m1 3m24

dm0dm22

dm44

3l 5m5l

dq

dql dql 2ml3

6m5

6l

dm1 (8-34)

dq

l

dm355

2l 4m4dq

l3

dmdq

l

上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂l前的系数应相等，即

mdm01

dq

m 1dm1

22

dq

(8-35)

m1dm2

3 3

§8.3高斯投影坐标正反算公式

任何一种投影①坐标对应关系是最主要的；②如果是正形投影，除了满足正形投影的条件外（C-R偏微分方程），还有它本身的特殊条件。 8.3.1高斯投影坐标正算公式： B,l x,y

高斯投影必须满足以下三个条件：

①中央子午线投影后为直线；②中央子午线投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。

由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即(8-10)式中，x为l的偶函数，y为l的奇函数；l 3030 ，即l / 1/20，如展开为l的级数，收敛。

x m0 m2l2 m4l4 m6l6 y m1l m3l3 m5l5

（8-33）

式中m0,m1, 是待定系数，它们都是纬度B的函数。 由第三个条件知：

x y x y

, q l l q

(8-33)式分别对l和q求偏导数并代入上式

dm0dm22dm44

m1 3m3l 5m5l l l

dqdqdq

(8-34) dm33dm55dm135

2m2l 4m4l 6m6l l l l

dqdqdq

2

4

上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂l前的系数应相等，即

61

dm0

m1

dq

1dm1

m2

2dq

1dm2

Green公式、Stokes公式、Gauss公式在专业学科中

的应用

摘要

格林（Green）公式，斯托克斯（Stokes）公式和高斯（Gauss）公式是多元函数积分学中的三个基本公式，它们分别建立了曲线积分与二重积分、曲面积分与三重积分、曲线积分和曲面积分的联系。它们建立了向量的散度与通量、旋度与环量之间的关系，除了在数学上应用于计算多元函数积分，在其他领域也有很多重要的应用。本文将主要从这三个公式与物理学之间的联系展开介绍它们的其他应用，其中包括应用于GPS面积测量仪，确定外部扰动重力场，应用于保守场以及推证阿基米德定律和高斯定理等，帮助人们加深对格林公式、斯托克斯公式和高斯公式的理解，从而能够更准确地应用此三个公式。

关键词：格林公式斯托克斯公式高斯公式散度旋度应用

目录

一、引言 ......................................... 1 二、格林（Green）公式的应用 ...................... 1

（一）格林公式的定义 .............................. 1 1、单连通区域的概念 ..................

第七节 Gauss公式与Stokes公式

一Gauss公式

Green公式建立了沿平面封闭曲线的线积分与二重积分的关系. 类似地,沿空间闭曲面的第二类曲面积分和三重积分之间也有类似的关系. 下面的Gauss公式建立了这种关系.

定理13.3(Gauss公式) 设空间区域?由分片光滑的双侧封闭曲面?所围成. 若函数

P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在?上连续, 且有一阶连续偏导数, 则

???(??P?Q?R??)dv??x?y?z??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy

?或

???(??P?Q?R??)dv??x?y?z??(Pcos??Qcos??Rcos?)dS

?其中?是整个边界曲面的外侧, cos?,cos?,cos?是?上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦.

证明 设闭曲面?在面xoy上的投影区域为Dxy.

?由?1,?2,?3三部分组成?1:z?z1(x,y), ?2:z?z2(x,y), ?3:是以Dxy的边界曲线为准线而

母线平行于z轴的驻面上的一部分，取外侧.

根据三重积分的计算法可得

z?2?3?1o?yz2(x,y)?R?Rdv???{?dz}dxdy ???z1(x,y)?z?z?DxyDx

机械波

1、 波速、波长及周期的关系

μ=λ/T μ=λν

注：波的周期T（或频率ν）是波源的周期（或频率），与传播波的媒质无关。波速μ取决于传播媒质的性质

2、 振动方程和波动方程

（1） 振动方程（正向传播）

y=Acosω(t-x/μ) (基本形式) y=Acos2π(νt- x/λ) y=Acos2π(t/T- x/λ)

注：A-振幅，恒为正；ω-角频率，ω=2π/T=2πν

（2） 波动方程

y=Acos[ω(t-x/μ)+Ф] (正向传播) y=Acos[ω(t+x/μ)+Ф] (反向传播) 3、 平面简谐波的能量

最大位移处：动能、势能及总能量均为零 平衡位置：动能、势能及总能量均达到最大 4、 波的干涉

1、 合振动振幅：A= 2、 分振动相位差：

3、 波程差： 4、 驻波

概念：

特征：

波动光学

1、 光的干涉

1） 杨氏双缝干涉

相邻明纹或相邻暗纹中心的间距（条纹间距）

2） 明、暗干涉条纹条件

3） 光程、光程差、相位差

4） 薄膜干涉（劈尖干涉）

5） 牛顿环

2、 光的衍射

1） 明暗条纹

2） 条纹间距

3）特征

3、 光的偏振

1）马吕斯定律

机械波

1、 波速、波长及周期的关系

μ=λ/T μ=λν

注：波的周期T（或频率ν）是波源的周期（或频率），与传播波的媒质无关。波速μ取决于传播媒质的性质

2、 振动方程和波动方程

（1） 振动方程（正向传播）

y=Acosω(t-x/μ) (基本形式) y=Acos2π(νt- x/λ) y=Acos2π(t/T- x/λ)

注：A-振幅，恒为正；ω-角频率，ω=2π/T=2πν

（2） 波动方程

y=Acos[ω(t-x/μ)+Ф] (正向传播) y=Acos[ω(t+x/μ)+Ф] (反向传播) 3、 平面简谐波的能量

最大位移处：动能、势能及总能量均为零 平衡位置：动能、势能及总能量均达到最大 4、 波的干涉

1、 合振动振幅：A= 2、 分振动相位差：

3、 波程差： 4、 驻波

概念：

特征：

波动光学

1、 光的干涉

1） 杨氏双缝干涉

相邻明纹或相邻暗纹中心的间距（条纹间距）

2） 明、暗干涉条纹条件

3） 光程、光程差、相位差

4） 薄膜干涉（劈尖干涉）

5） 牛顿环

2、 光的衍射

1） 明暗条纹

2） 条纹间距

3）特征

3、 光的偏振

1）马吕斯定律

高斯收敛问题

首先，我们必须理解收敛是什么意思。在自洽场(SCF)计算中，自洽循环中，首先产生一个轨道占据的初始猜测，

1)然后根据此轨道占据构造电荷密度和哈密顿量。 2)对角化哈密顿量，得到新的轨道能级和占据。 3)产生新的电荷分布和哈密顿量，重复步骤2）

经过一定次数的循环后，某次循环前和循环后的电荷密度差别小于一定的标准，我们称之为收敛。

如果以上过程不能收敛，则gaussian给出convergence failure的警告。 如果SCF计算收敛失败，你首先会采取哪些技巧呢？这里是我们强烈推荐的首选方法。 1 考虑使用更小的基组

由于一定的基组对应于一定精度和速度，所以更换基组并不在所有的情况下都适用。方法是首先用小基组进行计算，由前一个波函得到用于大基组计算的初始猜测(Guess=Read自动进行)。

2 增加最大循环步数

Gaussian默认的最大循环步数为64 (SCF=DM或SCF=QC方法则为512)，如果循环次数超过这个数目则会汇报convergence failure。在一定的情况下，不收敛的原因仅仅是因为最大循环步数不够。可以通过设置maxcyc来增大最大循环步数。更多的SCF迭代(SCF(MaxCycle=N)，其中