样本比例的抽样分布

样本及抽样分布

一、填空题

1．设来自总体X的一个样本观察值为：2.1，5.4，3.2，9.8，3.5，则样本均值 = ，样本方差 =；

2．在总体X~N(5,16)中随机地抽取一个容量为 36 的样本，则均值X落在4与6之间的概率 = ；

3． 设某厂生产的灯泡的使用寿命X~N(1000,?2) (单位:小时)，抽取一容量为9的样本，得到x?940,s?100，则P(X?940)? ； 4．设X1,X2,...,X7为总体X~N(0,0.5)的一个样本，则P(?Xi2?4)? ；

2i?175．设X1,X2,...,X6为总体X~N(0,1)的一个样本，且cY服从?2分布，这里，

Y?(X1?X2?X3)2?(X4?X5?X6)2，则c? ；

6．设随机变量X,Y相互独立，均服从N(0,32)分布且X1,X2,...,X9与Y1,Y2,...,Y9分别是来自总体X,Y的简单随机样本，则统计量U?的分布。

7．设X1,X2,X3,X4是取自X~N(0,22)正态总体的简单随机样本且

X1?...?X9Y?...?Y2129服从参数为

Y?a(X!?2X2)2?b(3X3?4X4)

概率论

什么是统计学？“随机性”造成的。 为了改善这不定性，仪器厂 十万盒三极管，对仪器厂来说是满意的(即一盒中 数理统计研究的内容随着科学技术和生产的 我们对系统真实状态的“无知”造成的不定性。 有效地利用有限的资料，便能去掉那些由于资料 和预测；将这些研究的某些结果加以归纳整理， 统计学是一门关于数据资料的收集、整理、 至少有八只是一级品)盒子所占比例p是多少?(2)由 不断发展而逐步扩大。但概括地说可以分为两大 可要求元件厂对这批三极管的质量进行测试，也 数理统计工作者的任务就是要分辨这两种不定性。 不足所引起的随机干扰，而把那些实质性的东西 逐渐形成一定的数学概型，这些组成了数理统计 分析和推断的科学。但人们常常将统计这一概念 类：(1)试验的设计和研究，即研究如何更合理更 下面举一例来说明。 的内容。 就是要求抽取部分三极管进行测试，通过这部分 于有十万盒三极管，现在仅购买其中的一百盒， 找出来。一个好的统计方法就在于能有效地利用 误解为大量数据资料的收集以及对这些数据作一 有效地获得观察资料的方法；(2)统计推断，即研 中一级晶所占的比例(频率)来对p的真实值进行推 所获得的资料，尽可能作出精确而可靠的结论。 些简单的运算(如求和、

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概率论与数理统计

第六章 样本及抽样分布1 2本章基本内容 历年考试例题

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第六章 样本及抽样分布

一、 2-分布 1. 定义

设X1, X2,…, Xn相互独立, 都服从正态分布N(0,1), 则称随机变 量：X= X12+X22+…+Xn2

所服从的分布为自由度为 n 的 2分布，记为X~ 2(n)。2. 性质 1. 设X1, X2,…, Xn 相互独立, 都服从正态分布N( , 2),则n 1 2 2 ( X i ) 2 ~ 2 ( n) i 1

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第六章 样本及抽样分布

2.设 X1~ 2(n1) ,X2~ 2(n2) ,且X1,X2相互独立，则X1+X2~

2 ( n 1+ n 2) 。3.若 ~ ( n), 则当n充分大时,2 2

X n 的分布近似正态分布 2n

N(0,1)。

4 . 若 2 ~ 2 ( n), 2分布的数学期望与方差,E(X)=n, D(X)=2n.

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第六章 样本及抽样分布

二、t 分布 1. 定义 设X~N(0,1) , Y~ 2 ( n) , 且X与Y相互独立，则称变量

t

X Y n

所服从的分布为自由度为 n的 t 分布

习题六样本及抽样分布

解答

公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

样本及抽样分布

一、填空题

1．设来自总体X 的一个样本观察值为：，，，，，则样本均值 = ，样本方差 =22.716；

2．在总体~(5,16)X N 中随机地抽取一个容量为 36 的样本，则均值X 落在4与6之间的概率 = ；

3． 设某厂生产的灯泡的使用寿命2~(1000,)X N σ (单位:小时)，抽取一容量为9的样本，得到940,100x s ==，则(940)P X <= ；

4．设127,,...,X X X 为总体2~(0,0.5)X N 的一个样本，则7

21

(4)i i P X =>=∑ ； 5．设126,,...,X X X 为总体~(0,1)X N 的一个样本，且cY 服从2χ分布，这里，

22123456()()Y X X X X X X =+++++，则c =1/3 ；

6．设随机变量,X Y 相互独立，均服从2(0,3)N 分布且129,,...,X X X 与129,,...,Y Y Y 分别是来自总体,X Y

的简单随机样本，则统计量U =服从参数为 9

的 t 分布。

7．设1234,,,X X X X 是取自2

抽样分布的研究

抽样分布的研究

1 前言

统计量是样本的函数，它是一个随机变量．统计量的分布称为抽样分布． 用来估计一个未知总体参数的抽样统计称为估计． 真实参数值和估计值间的差异称为抽样误差．带有概率分布的随机变量统计称为抽样分布，由重复抽样产生． 我们用统计的抽样分布来测定估计中的抽样，它可分为正态总体下与非正态总体下两种情况来讨论．是由样本n个观察值计算的统计量的概率分布．从一个总体中随机抽出容量相同的各种样本，从这些样本计算出的某统计量所有可能值的概率分布，称为这个统计量的抽样分布．从一个给定的总体中抽取（不论是否有放回）容量（或大小）为n的所有可能的样本，对于每一个样本，计算出某个统计量（如样本均值或标准差）的值，不同的样本得到的该统计量的值是不一样的，由此得到这个统计量的分布，称之为抽样分布．

例如：如果特指的统计量是样本均值，则此分布为均值的抽样分布．类似的有标准差、方差、中位数、比例的抽样分布．

统计量是样本的函数，它是一个随机变量．统计量的分布称为抽样分布．

基于独立的，与总体分布的简单随机样本的抽样分布定理，是小样本统计推断的理论基础??．二十世纪20年代以来，由此发展的成熟的简单随机样本统计推断理论，

1已在

《统计学》课程教学大纲

课程编号：×××××××× 课程类别：学科基础课

授课对象：经济管理类各专业、社会学专业、档案学专业、新闻学专业等 开课学期：第3、4、5、6学期 学 分：4学分 主讲教师：……等

指定教材：贾俊平、何晓群、金勇进编著，《统计学》(第六版)，中国人民大学出版社，2015年 教学目的：

《统计学》是为我校非统计专业本科生开设的一门基础必修课，总课时约54学时。设置本课程的目的在于培养学生有关统计知识方面的基本技能，培养学生应用统计方法分析和解决问题的实际能力。教学应达到的总体目标是：

使学生能系统地掌握各种统计方法，并理解各种统计方法中所包含的统计思想。 使学生掌握各种统计方法的不同特点、应用条件及适用场合。 培养学生运用统计方法分析和解决实际问题的能力。

第1章 导论

课时：1周，共3课时

教学内容

第一节 统计及其应用领域 一、什么是统计学

统计学的概念。描述统计。推断统计。 二、统计的应用领域

统计在共生管理中的应用。统计在其他领域的应用。统计的误用与正确使用。 三、历史上著名的统计学家 一些主要的统计学家。 第二节 统计数据

第6章 抽样与抽样分布

练习题

6.1 从均值为200、标准差为50的总体中，抽取n?100的简单随机样本，用样本均值x估

计总体均值。

（1） x的数学期望是多少？ （2） x的标准差是多少？ （3） x的抽样分布是什么？

（4） 样本方差s的抽样分布是什么？

6.2 假定总体共有1000个单位，均值??32，标准差??5。从中抽取一个样本量为30的简单随机样本用于获得总体信息。 （1）x的数学期望是多少？ （2）x的标准差是多少？

6.3 从一个标准差为5的总体中抽出一个样本量为40的样本，样本均值为25。样本均值的

抽样标准差?x等于多少?

6.4 设总体均值??17，标准差??10。从该总体中抽取一个样本量为25的随机样本，

其均值为x25；同样，抽取一个样本量为100的随机样本，样本均值为x100。 （1）描述x25的抽样分布。 （2）描述x100的抽样分布。

6.5 从??10的总体中抽取样本量为50的随机样本，求样本均值的抽样标准差：

（1）重复抽样。

（2）不重复抽样，总体单位数分别为50000、5000、500。

6.6 从??0.4的总体中，抽取一个样本量为100的简单随机样本。

（1）p的数学期望是多少? （2

第6章 抽样与抽样分布

练习题

6.1 从均值为200、标准差为50的总体中，抽取n?100的简单随机样本，用样本均值x估

计总体均值。

（1） x的数学期望是多少？ （2） x的标准差是多少？ （3） x的抽样分布是什么？

（4） 样本方差s的抽样分布是什么？

6.2 假定总体共有1000个单位，均值??32，标准差??5。从中抽取一个样本量为30的简单随机样本用于获得总体信息。 （1）x的数学期望是多少？ （2）x的标准差是多少？

6.3 从一个标准差为5的总体中抽出一个样本量为40的样本，样本均值为25。样本均值的

抽样标准差?x等于多少?

6.4 设总体均值??17，标准差??10。从该总体中抽取一个样本量为25的随机样本，

其均值为x25；同样，抽取一个样本量为100的随机样本，样本均值为x100。 （1）描述x25的抽样分布。 （2）描述x100的抽样分布。

6.5 从??10的总体中抽取样本量为50的随机样本，求样本均值的抽样标准差：

（1）重复抽样。

（2）不重复抽样，总体单位数分别为50000、5000、500。

6.6 从??0.4的总体中，抽取一个样本量为100的简单随机样本。

（1）p的数学期望是多少? （2

统计量与抽样分布习题

1．调节一个装瓶机使其对每个瓶子的灌装量均值为μ盎司，通过观察这台装瓶机对每个瓶子的灌装量服从标准差σ=1.0盎司的正态分布。随机抽取由这台机器灌装的9个瓶子形成一个样本，并测定每个瓶子的灌装量。试确定样本均值偏离总体均值不超过0.3盎司的概率。 2．第1题中，如果我们希望Y与μ的偏差在0.3盎司之间的概率达到0.95，应当抽取多大的样本？

3．在第1题中，假定装瓶机对瓶子的灌装量服从方差?2=1的标准正态分布。假定我们计划随机抽取10个瓶子组成样本，观测每个瓶子的灌装量，得到10个观测值，用这10个观测值我们可以求出样本方差S

2

??S?2?1n?1??Yi?1ni?Y?2?确定一个合适的范围使得有较大?，?的概率保证S2落入其中是有用的，试求b1和b2，使得P?b1?S2?b2??0.90。

4．Z1,Z2,?,Z6表示从标准正态总体中随机抽取的容量n?6的一个样本，试确定常数b，

?6?2使得P??Zi?b??0.95

?i?1?选择题：

1． 设X1,X2,?,Xn是从某总体X中抽取的一个样本，下面哪一个不是统计量？

A.X?1n?ni?1Xi2B.S2?1n??Xi?12ni?X?2

C.??Xi?E?Xi?1n?

2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布 【学习目标】了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、

茎叶图，理解它们各自的特点．

【复习回顾】说说简单随机抽样、系统抽样、分层抽样各自的特点、操作步骤和适用的范围。 类 别 简单随机 抽样 系统抽样 共同点 各自特点 联 系 适用范围 总体个数较少 总体个数较多 总体由差异明显的几部分组成 分层抽样 从总体中逐个抽取 （1）抽样过程中每个个体被将总体均分成几部 抽到的可能在起始部分样时分，按预先制定的规则在各性相等 采用简随机抽样 部分抽取 （2）每次抽出个分层抽样时采用体后不再将它放将总体分成几层，分层进行简单随机抽样或回，即不放回抽样 抽取 系统抽样 【自主学习】一、频率分布直方图 1．极差：最大值与最小值的差．例如：一组数据8,13,13,16,23,26,28的极差是多少？

2．组距：为了避免对数据逐一考察的麻烦，将数据分成若干组，一般情况要使组数为5～12组.

3．组数：不小于极差/组距的最小整数．中学学习的问题一般分为5～12组．

例如：极差为15，组距为2，应该分为几组？

4．频数：每个(类)对象出现的次数