空间向量与垂直关系教案

课时作业(十九)

[学业水平层次]

一、选择题

1．已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝( )

A．4 B．－4 C．5 D．－5

【解析】 ∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0. ∴k＝－5.

【答案】 D

→2．在菱形ABCD中，若PA是平面ABCD的法向量，则以下等式

中可能不成立的是( )

→→A.PA⊥AB

→→C.PC⊥BD →→B.PA⊥CD →→D.PC⊥AB

【解析】 由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面上的线AB、CD都垂直，A、B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C选项正确．

【答案】 D

→→→→→3．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为( )

3315A.7，－74

40C.7，－2,4 4015B.7，－7，4 40D．4，715

→→→→【解析】 ∵AB⊥BC，∴AB·BC＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，

→→→→又BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC，

x－1 ＋

课时作业(十九)

[学业水平层次]

一、选择题

1．已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝( )

A．4 B．－4 C．5 D．－5

【解析】 ∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0. ∴k＝－5.

【答案】 D

→2．在菱形ABCD中，若PA是平面ABCD的法向量，则以下等式

中可能不成立的是( )

→→A.PA⊥AB

→→C.PC⊥BD →→B.PA⊥CD →→D.PC⊥AB

【解析】 由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面上的线AB、CD都垂直，A、B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C选项正确．

【答案】 D

→→→→→3．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为( )

3315A.7，－74

40C.7，－2,4 4015B.7，－7，4 40D．4，715

→→→→【解析】 ∵AB⊥BC，∴AB·BC＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，

→→→→又BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC，

x－1 ＋

空间中的垂直关系教案

空间中的垂直关系 一. 教学内容： 空间中的垂直关系 二、学习目标

1、掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；

2、掌握平面与平面垂直的概念和判定定理、性质定理，并能运用它们进行推理论证和解决有关问题；

3、在研究垂直问题时，要善于应用“转化”和“降维”的思想，通过线线、线面、面面平行与垂直关系的转化，从而使问题获得解决。 三、知识要点

1、直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直。

2、直线与平面垂直的判定：常用方法有： ①判定定理： .

② b⊥α, a∥ba⊥α；（线面垂直性质定理） ③α∥β,a⊥βa⊥α（面面平行性质定理）

④α⊥β，α∩β=l，a⊥l，a a⊥α（面面垂直性质定

理）

3、直线与平面垂直的性质定理：

①如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。（ a⊥α，b⊥α⇒a∥b）

②直线和平面垂直时，那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线（）

4、点到平面的距离的定义： 从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离。

特别注意：点到面的距离可直接向

空间中的垂直关系复习学案

课标要求：通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：

◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。 ◆ 一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。

通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：

◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。 基础知识回顾：

1、 证明线线垂直：如果一条直线l和一个平面α垂直，那么l和平面α内的任意一条直线都垂直。（线面垂直?线线垂直）

2、线面垂直：方法一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（线线垂直?线面垂直）

方法二：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。（面面垂直+线线垂直?线面垂直）

3．面面垂直：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（线面垂直?面面垂直）

4、垂直?平行：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行 典例解析

题型1：线线垂直问题

例1．如图1所示，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N分别为A1D1，A1B1，BC，CD

课时作业(十八)

[学业水平层次]

一、选择题

1．l1的方向向量为v1＝(1,2,3)，l2的方向向量v2＝(λ，4,6)，若l1∥l2，则λ＝( )

A．1 B．2 C．3 D．4 12

【解析】 ∵l1∥l2，∴v1∥v2，则λ＝4，∴λ＝2. 【答案】 B

→→→

2．若AB＝λCD＋μCE，则直线AB与平面CDE的位置关系是

( )

A．相交 C．在平面内

B．平行

D．平行或在平面内

→→→→→→

【解析】 ∵AB＝λCD＋μCE，∴AB、CD、CE共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内．

【答案】 D

3．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是( )

A．(1，－1,1) 3??

C.?1，－3，2?

?

?

?

3??

??1，3，B.2? ?3??

D.?－1，3，－2?

?

?

?

→?1?

??－1，4，－【解析】 对于B，AP＝2，

→1??

?－1，4，－?＝0， 则n·AP＝(3,1,2)·2

?

?

→3??

∴n⊥AP，则点P?1，3，2?在平面α内．

?

?

【答案】 B

4．已知直线l的方向向量是a＝(3,2,1)，平面α的法向量

高二理科数学

班别： _____________

导学案

空间向量与平行关系

学号： _____________

姓名： ___________

§3.2立体几何中的向量方法（2）

一、学习目标

1．掌握运用方向向量和平面法向量证明平行问题的方法．

2．能用向量语言表达线线、线面、面面的平行关系． 二、问题导学

问题1：怎样证明两个向量平行？

?????问题2：若两条直线l1、l2的方向向量分别为a1、a2，怎样证明两条直线平行？

?????问题3：若两个平面?1、?2的法向量向量分别为n1、n2，怎样证明两个平面平行？

????问题4：若直线l1的方向向量分别为a1，平面?1的法向量向量分别为n1，怎样证明直线

和平面平行？ 三、例题探究

例1．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M、N分别是棱BB1和对角线CA1的中点，求证：MN∥BD.

例2． 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.

1

变式：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.

例3．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中．求证

北京市2014届高三理科数学一轮复习试题单元训练11：平面向量的平行与垂直

一、选择题

1 ．(2012年广西北海市高中毕业班第一次质量检测数学(理)试题及答案)给定两个向量

a?(3,4),b?(2,1),若(a?xb)//(a?b),则x的值等于

（ ）

A．

32 B．?1 C．1

D．?32 2 ．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）设向量a=（x,1）, b?(4,x),且a，b方向相

反,则x的值是 A．2

B．-2

C．?2

D．0

3 ．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）已知向量

OA??3,?4?,OB??6,?3?,OC??2m,m?1?.若AB//OC,则实数m的值为

A．?3

B．?137 C．?5

D．

35 4 ．（2009高考(北京理)）已知向量a、b不共线,c?ka?b(k?R),d?a?b,如果c//d,那么

A．k?1且c与d同向 B．k?1且c与d反向 C．k??1且c与d同向

D．k??1且c与d反向

5 ．(江西省上高二中2012届高三第五次月考(数学理))已知A(2,-2)、B(4,3),向量p的坐

标为(2k-1,7)且p//AB,则k的值为 A．?91910 B．

910 C．?10

空间向量及其运算（2）

一、课题：空间向量及其运算（2）

二、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；

2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．

三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用． 四、教学过程：

（一）复习：空间向量的概念及表示； （二）新课讲解：

1．共线（平行）向量：

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或

????平行向量。读作：a平行于b，记作：a//b．

2．共线向量定理：

????????对空间任意两个向量a,b(b?0),a//b的充要条件是存在实数?，使a??b（?唯一）．

?推论：如果l为经过已知点A，且平行于已知向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线

?????????????l上的充要条件是存在实数t，满足等式OP?OA?tAB①，其中向量a叫做直线l的方向?????????????????????????????向量。在l上取AB?a，则①式可化为OP?OA?tAB或OP?(1?t)OA?tOB②

????1????????1当t?时，点P是线段AB的中点，此时OP?(OA?OB)③

22①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段A

空间向量及其运算（2）

一、课题：空间向量及其运算（2）

二、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；

2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．

三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用． 四、教学过程：

（一）复习：空间向量的概念及表示； （二）新课讲解：

1．共线（平行）向量：

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或

????平行向量。读作：a平行于b，记作：a//b．

2．共线向量定理：

????????对空间任意两个向量a,b(b?0),a//b的充要条件是存在实数?，使a??b（?唯一）．

?推论：如果l为经过已知点A，且平行于已知向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线

?????????????l上的充要条件是存在实数t，满足等式OP?OA?tAB①，其中向量a叫做直线l的方向?????????????????????????????向量。在l上取AB?a，则①式可化为OP?OA?tAB或OP?(1?t)OA?tOB②

????1????????1当t?时，点P是线段AB的中点，此时OP?(OA?OB)③

22①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段A

空间几何平行与垂直证明 线面平行

方法一：中点模型法

例：1.已知在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形， E为PC的中点. 求证：PA//平面BDE P D A

练习：

1.三棱锥P_ABC中，PA?AB?AC，?BAC?120?，PA?平面ABC， 点E、F 分别为线段PC、BC的中点，

（1）判断PB与平面AEF的位置关系并说明理由； （2）求直线PF与平面PAC所成角的正弦值。 B

ECBPEAFC2．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD.DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD.

(1)证明：PA∥平面BDE； (2)证明：AC⊥平面PBD.

3.已知空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别为

A AB,BC,CD,DA的中点.

求证：AC//平面EFG. HE

DG

B FC

4.已知空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点. 求证：EF //平面BGH. A

H E

D G BF

方法二：平行四边形法

例：1.已知在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，E为P