一元函数极限

目录

1 摘要..........................................................................................................................1 2 前言..........................................................................................................................1 3 一元函数极限的定义及定义 ................................................................................. 1

3.1 x趋于?时函数的极限概念 .......................................................................... 2 3.2函数极限的?-?定义的定义 .........................................................

一元函数极限的基本求法

一元函数极限的基本求法

摘 要：函数的极限及其求法是微积分的基础。本文主要探讨、总结了求极限的基本方法，对每种方法的特点及注意事项作了说明，并加以实例进行讲解。

关键词：极限；积分；级数；洛必达法则。

1 引言

本文介绍了一些求极限的方法有：利用定义求极限，函数连续性求极限、四则运算、两个重要极限、等价无穷小量代替求极限、洛必达法则、泰勒展开式求极限、微分中值定理等等。在求极限的过程中，会发现一道题可以运用多种方法解答，因此给我们的启示是每种方法之间都有一定的联系。在求极限时，可以根据不同的形式选择不同的计算方法，合理利用各种计算方法，亦可进行适当的结合，使得求极限的方法更明了，算法更简单。 2 相关的定义和性质 2.1一元函数极限的概念

x趋于?时的函数极限：设函数f(x)为定义在?a,???的函数，A是一个定数，若对

使得当x?M时有f(x)?A??则称函数f(x)当x趋于??时以A为极???0，?正数M，限，记为limf(x)?A。

x???x趋于x0时的函数极限：设函数f(x)在点x0的某个空心邻域U0(x0,?)内有定义，A为定数，若对???0，存在正数?，使得当0?x?x0??时有f(x)

第一章 一元函数的极限

§1.1 利用定义及迫敛性定理求极限

设R表示实数集合,R*表示扩张的实数集,即R*?R????,???. 例1 若liman?a?R*.证明limn???a1?a2???ann?0?a?R* (算术平均值收敛公式).

?a?n???证明 (1)设a?R,由liman?a,??n???,?N1?0,当n?N1时, an?2.

因此

a1?a2???ann?a

?(a1?a)?(a2?a)???(an?a)n

?a1?a?a2?a???aN?a1nAnAn?aN1?1?a???an?an

??n?N1n??2

???2,

An?其中A?a1?a?a2?a???aN?a.又存在N2?0,当n?N2时,

1?2.因此当

n?max{N1,N2}时,

a1?a2???ann?0?a??2??2??.

（2）设liman???,则?Mn???,?N1?0,当n?N1时,an?3M.

因此

?a1?a2???ann

aN1a1?a2???aNn1??1?aN1?2???annAn1?An?n?N1n?3M,

?0其中A?a1?a2???aN.由于时,

An?M2?0,

n?N1n?1(n???),所以存在N2,当n?N2,

n?N1

第一章 一元函数的极限

§1.1 利用定义及迫敛性定理求极限

设R表示实数集合,R*表示扩张的实数集,即R*?R????,???. 例1 若liman?a?R*.证明limn???a1?a2???ann?0?a?R* (算术平均值收敛公式).

?a?n???证明 (1)设a?R,由liman?a,??n???,?N1?0,当n?N1时, an?2.

因此

a1?a2???ann?a

?(a1?a)?(a2?a)???(an?a)n

?a1?a?a2?a???aN?a1nAnAn?aN1?1?a???an?an

??n?N1n??2

???2,

An?其中A?a1?a?a2?a???aN?a.又存在N2?0,当n?N2时,

1?2.因此当

n?max{N1,N2}时,

a1?a2???ann?0?a??2??2??.

（2）设liman???,则?Mn???,?N1?0,当n?N1时,an?3M.

因此

?a1?a2???ann

aN1a1?a2???aNn1??1?aN1?2???annAn1?An?n?N1n?3M,

?0其中A?a1?a2???aN.由于时,

An?M2?0,

n?N1n?1(n???),所以存在N2,当n?N2,

n?N1

【全国成人高考统考专升本《数学》总复习资料5】

第5次课 一元函数微分学（1）

教学要求

1. 理解导数概念和求导法则

2. 熟练掌握求一般函数和复合函数导数的方法

教学内容 y?f(x)

y 一、导数： ?y (y的改变量) l

1、定义： y0 ? ?x?0时，?y与?x的比?y有极限， ?x(x的改变量) ?x则该极限叫做f(x)在x0点处的导数. x0 x 即：f?(x0)?limx?x0?y?y?y0?f(x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)?y ?lim?f(x0??x)?f(x0)?xx?x0?xdyf

数学

§1 定积分的概念、性质和微积分基本定理

1. 试用定积分表示下列各个极限：

1n3

（1）lim4 k；

n nk 1

1nk

（3）lim ；

22n nk 1n k2. 证明下列不等式： 1

1dx （1） 2dx ；

0261 x315

（2）2 1 x6dx 。

12

3．计算下列导数：

dtan2x

t2dt； （1） dx0

4. 求下列极限： （1）lim

x 0

1nnk

（2）lim 2； 2n nk 1n k

1

（4）limn(n 1)(n 2) (2n)。

n n

dln(1 x)

ln(1 t2)dt。 （2） dx x

x0

sintdt

；

（2）lim

x 0

2

sin2x0

(e 1)dt

t2

xln(1 x)

5. 计算下列定积分：

2

x2sinx

。

（1） 4sin2xdx；

（2）

20

cosx

dx；

1 sinx

（3）

10

xdx x2

；

（4） (1 lnx)dx。

1

e

a 1

6. 设函数f在 ,a 上非负连续（a 0），且 1xf(x)dx 0，证明：

a a

a 1

a

xf(x)dx

1 1

2

a1a

f(x)dx。

7. 设函数f在[ 1,1]上非负连续，且 xf(x)dx 0。证明：

1 1

x2f(x)dx f(x)dx。

1

1

8.

32 第三章 一元函数微分学

§3.1 基本概念与主要结果

例1 设)(x f 定义在()+∞,0上且在1=x 处可导, 对任意0,>y x 有()()()y xf x yf xy f +=, 证明 )(x f 在()+∞,0上处处可导, 并求)('x f 与)(x f .

证明 令1==y x ，得)1(f =2)1(f ,)1(f =0, 当0>x 时有

()()=-+h x f h x f ()=-????????? ??+h x f x h x f 1.1()()()=--??? ??++??? ??+h xf x f x h xf x f x h 111()+x

x f ()x

h

f x h f 11-??? ??+,于是)('x f ()()=-+=←h x f h x f x 0lim ()()1'f x x f +. 下面解微分方程

()1'f x y dx dy += （1）.令x y u =，即ux y =，有u dx du x dx dy +=，代入（1）式化简得()x

f dx du 1'=，即()Cx x x f u +=ln 1'.令1=x ,得0=C ,故()()x x f x f ln 1'=,()()).ln 1(1''

第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分 一、主要内容 ㈠导数的概念

1．导数：

y?f(x)在x0?y?x?lim的某个邻域内有定义，

?x?0limf(x0??x)?f(x0)?x

?x?0

?limf(x)?f(x0)x?x0

x?x0y?x?x0?f?(x0)?dydxx?x0

2．左导数：

f??(x0)?lim?x?x0f(x)?f(x0)x?x0

右导数：

定理：

f??(x0)?lim?x?x0f(x)?f(x0)x?x0

f(x)在x0的左（或右）邻域上连续在

其内可导，且极限存在；

则：

f??(x0)?lim?f?(x)x?x0

（或：

f??(x0)?lim?f?(x)x?x0）

3.函数可导的必要条件：

定理：

f(x)在x0处可导?f(x)在x0处连续

4. 函数可导的充要条件：

定理：

y?x?x0?f?(x0)存在

?f??(x0)?f??(x0)，

且存在。

5.导函数：

y??f?(x), x?(a,b)

f(x)在(a,b)内处处可导。 y f?(x0)

《MATLAB语言》课程论文

用MATLAB绘制一元函数和二元函数的

图象

姓名： 马军

学号： 12010245245 专业： 通信工程 班级： 2010级通信1班 指导老师：汤全武

学院： 物理电气信息学院

完成日期：2011.12.20

用MATLAB绘制一元函数和二元函数的图像

（马军 12010245245 2010级通信工程1班）

【摘要】大学物理力学中涉及许多复杂的数值计算问题，例如非线性问题，对其手工求解较为复杂，而MATLAB语言正是处理非线性问题的很好工具，既能进行数值求解，又能绘制有关曲线，非常方便实用。另外，利用其可减少工作量，节约时间，加深理解，同样可以培养应用能力。 【关键词】一元函数 二元函数 MATLAB 图像的绘制

一、问题的提出

MATLAB语言是当今国际上科学界(尤其是自

一元函数连续性的判别方法探讨

摘要

连续与一致连续的概念和关系出发，主要对一元函数在不同类型区间上函数一致连续的判定方法进行了讨论，总结和应用，并且将部分判定一元函数一致连续的方法推广到了多元函数，使大家对函数一致连续的内涵有更全面的理解和认识。 函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要概念,在分析问题中起着十分重要的作用.它不仅是闭区间上连续函数黎曼可积的理论基础,而且与随后的含参量积分,函数项级数等概念都有着密切的联系.因此,判定函数的一致连续性是数学分析的一项重要内容.本文对函数的一致连续性的概念进行了深入分析,对判定函数一致连续性的充分条件,充要条件作了简要概括,并给出了闭区间和开区间上函数一致连续性的判别方法.包括无穷区间上函数一致连续性的判定,并分别给出了这些定理的证明.同时,本文也总结了一致连续性的几个性质及它的应用.

关键词 连续函数 ；极限 ；有界函数 ； 一致连续 ；非一致连续

1. 引言

我们知道，函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要内容。函数f(x)在某区间内连续，是指函数f(x)在该区间内每一点都连续，它反映函数f(x)在该区间上一点附近的局部性质，但函数的一致连续性则反映的是函数f(x)在给定