向量组线性相关线性无关的证明题

安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文

向量组线性相关与线性无关的判别方法

摘要 向量组的线性相关性与线性无关性是线性代数中最为抽象的概念之一，如何判别向量组的

线性相关与线性无关是正确理解向量的关键，本文介绍了它与行列式、矩阵、线性方程组的解之间的关系.总结了向量组线性相关和线性无关的判定方法.

关键词 向量组 线性相关 线性无关 矩阵 秩

1 引言

在高等代数中，向量组的线性相关和线性无关的判定这个课题有许多的研究成果，它与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间都有着重要的联系，然而向量的线性相关与线性无关的判别是比较抽象和难以理解的，实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了线性相关的判别，那么线性无关的判别也就迎刃而解了，至今已给出了以下几种常见的方法：利用定义法判断，利用齐次线性方程组的解判断，利用矩阵的秩判断，利用行列式的值判断等.其中，利用齐次线性方程组，利用矩阵的秩，利用行列式的值这三种方法的出发点不同但实质是一样的.

2 向量组线性相关和线性无关的定义

定义 设向量组?1,?2,?,?m都为n维向量，如果数域P中存在一组不全为零的数

k1,k2km,使k1?1?k2?2?

第四章 向量

一 内容概要

1 向量的概念：（1）定义；（2）与矩阵之间的关系；（3）向量的相等； 2 向量的运算：（1）向量的和、差；（2）向量的数乘；（3）向量的线性运算；

3 向量组的线性关系

（1）线性组合：对于给定的向量组?1，?2，?，?s,?；如果存在一组数

k1,?,ks使得：??k1?1?k2?2???ks?s

则称向量?是向量组?1，?2，?，?s的一个线性组合，或称?可以由向量组：

?1，?2，?，?s,线性表示；

（2）线性相关、线性无关的定义

设?1，?2，?，?s,是一组n维向量（当然是同型），如果存在一组不全为0的数k1,?,ks使得：k1?1?k2?2???ks?s?0

则称向量组?1，?2，?，?s,线性相关

指出，这里一定要注意关键词：（1）它是不全为0的数k1,?,ks；（2）存在；至于这一组数具体是什么样的一组数无关紧要。

?，?s,线性无关，即若要 反之 则称向量组?1，?2，k1?1?k2?2???ks?s?0

成立，必有k1?k2???ks?0，则称向量组?1，?2，?，?s,线性无关。 （3）向量组的线性相关性与方程组之间的关系

?，?s,线性关系式k1?1?k2?2???ks?s?0具体表示出来实

第四章 向量

一 内容概要

1 向量的概念：（1）定义；（2）与矩阵之间的关系；（3）向量的相等； 2 向量的运算：（1）向量的和、差；（2）向量的数乘；（3）向量的线性运算；

3 向量组的线性关系

（1）线性组合：对于给定的向量组?1，?2，?，?s,?；如果存在一组数

k1,?,ks使得：??k1?1?k2?2???ks?s

则称向量?是向量组?1，?2，?，?s的一个线性组合，或称?可以由向量组：

?1，?2，?，?s,线性表示；

（2）线性相关、线性无关的定义

设?1，?2，?，?s,是一组n维向量（当然是同型），如果存在一组不全为0的数k1,?,ks使得：k1?1?k2?2???ks?s?0

则称向量组?1，?2，?，?s,线性相关

指出，这里一定要注意关键词：（1）它是不全为0的数k1,?,ks；（2）存在；至于这一组数具体是什么样的一组数无关紧要。

?，?s,线性无关，即若要 反之 则称向量组?1，?2，k1?1?k2?2???ks?s?0

成立，必有k1?k2???ks?0，则称向量组?1，?2，?，?s,线性无关。 （3）向量组的线性相关性与方程组之间的关系

?，?s,线性关系式k1?1?k2?2???ks?s?0具体表示出来实

第五章 向量组的线性相关性

5.1 n维向量

5.2 向量组的线性相关性

5.3 矩阵的秩与向量组的秩

5.4 向量空间

5.5 基、维数与坐标 5.6 线性方程组解的结构 5.7 超定方程的解——最小二乘问题 5.8 应用实例 5.9 习题

5.1 n维向量

定义5.1 n个有次序的数构成的数组称为n维 向量。这n个数称为该向量的n个分量，称为 这个向量的第个分量，n也称为此向量的长度。 分别记

a1 a 2 a an

或

a a1, a2 , , an

为列向量和行向量，并规定列向量与行向 量都按矩阵的运算规则进行运算.本书中若 没有指明是列向量还是行向量时，都当作 列向量。为了节省篇幅，常把列向量写成

a a1 , a2 , , an

T

分量全为实数的向量称为实向量，分量 为复数的向量称为复向量. 分量全为零的向 量称为零向量，记为 0.

设a a1 , a2 , , an ， b b1 , b2 , , bn 为列 向量， 是一个数，则有 T (1) a + b a1 b1 , a2 b2 , , an bn

1 向量的定义

定义

n个有次序的数 a 1 , a 2 , , a n 所组成的 数组称为n维向量.这n个数称为该向量的分量 ,

第i个数 a i 称为第i个分量.

分量全为实数的向量称为实向量. 分量全为复数的向量称为复向量.

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结束

n维向量写成列的形式, 称为列向量, 即 a1 a2 a an

n维向量写成行的形式, 称为行向量, 即 a a 1 , a 2 , , a n T

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结束

向量的相等 设 a T (a 1 , a 2 , , a n ), bT (b1 , b 2 , , b n ) 则 a T bT a i b i ( i 1,2, , n)零向量 分量全为0的向量称为零向量. T a O a i 0( i 1,2, , n) T 0 a O a i 中至少有一个不为 , ( i 1,2, , n) 负向量向量 a T (a 1 , a 2 , , a n )的负向量记作 a T , 且 a T ( a 1 , a 2 , , a n ).首页 上

第五章 向量组的线性相关性

5.1 n维向量

5.2 向量组的线性相关性

5.3 矩阵的秩与向量组的秩

5.4 向量空间

5.5 基、维数与坐标 5.6 线性方程组解的结构 5.7 超定方程的解——最小二乘问题 5.8 应用实例 5.9 习题

5.1 n维向量

定义5.1 n个有次序的数构成的数组称为n维 向量。这n个数称为该向量的n个分量，称为 这个向量的第个分量，n也称为此向量的长度。 分别记

a1 a 2 a an

或

a a1, a2 , , an

为列向量和行向量，并规定列向量与行向 量都按矩阵的运算规则进行运算.本书中若 没有指明是列向量还是行向量时，都当作 列向量。为了节省篇幅，常把列向量写成

a a1 , a2 , , an

T

分量全为实数的向量称为实向量，分量 为复数的向量称为复向量. 分量全为零的向 量称为零向量，记为 0.

设a a1 , a2 , , an ， b b1 , b2 , , bn 为列 向量， 是一个数，则有 T (1) a + b a1 b1 , a2 b2 , , an bn

楚雄师范学院本科论文（设计）

目录

摘 要： .......................................................................................................................................................... I 关键词： .......................................................................................................................................................... I Abstract ......................................................................................................................................................... II Keywords： .........

《 线性代数》教案 (同济大学.第四版) 第四章 向量组的线性相关性 【教学章节】§4.1 向量组及其线性组合

【教学内容】向量的概念,向量组的线性组合,向量组的等价. 【教学学时】2学时

【教学目的】1.理解n维向量的概念;

2.理解向量组的线性组合的概念; 3.掌握向量组等价的定义及判别法;

【教学重点、难点】向量组等价的定义及判别法 【教学方法、方式】课堂讲授 【教学过程】 一、向量的概念

定义1 n个有次序的数a1,a2,?,an所组成的数组称为n维向量,这n个数称为该向量的n个分量,第i个数ai称为第i个分量.

注1分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量.

?a1???a2??,前者称注2 n维向量可以写成一行的形式a??a1,a2,?,an?,出可以写成一列的形式a???????an?为行向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个1?n矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个n?1矩阵,故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,特别约定:在不特别声明时说到的向量均为列向量,行向量视

第三节 向量组的线性相关性

内容分布图示

★ 线性相关与线性无关 ★ 证明线性无关的一种方法

线性相关性的判定

★ 定理1 ★ 例3 ★ 例4 ★ 定理3 ★ 定理5

★ 内容小结 ★ 习题3-3 ★ 返回

★ 例1

★ 例2

★ 定理2 ★ 例5 ★ 定理4 ★ 例7

★ 课堂练习

★ 例6

内容要点：

一、线性相关性概念

定义1 给定向量组A:?1,?2,?,?s, 如果存在不全为零的数k1,k2,?,ks, 使

k1?1?k2?2???ks?s?0, (1)

则称向量组A线性相关, 否则称为线性无关.

注: ① 当且仅当k1?k2???ks?0时，(1)式成立, 向量组?1,?2,?,?s线性无关; ② 包含零向量的任何向量组是线性相关的;

③ 向量组只含有一个向量?时，则

（1）??0的充分必要条件是?是线性无关的； （2）??0的充分必要条件是?是线性相关的；

④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例. ⑤ 两个向量线性相关的几何意

初中数学竞赛考点

巧用梅涅劳斯定理求解向量的线性相关系数 河南平顶山市第三高级中学 金小欣 467000

一、 梅涅劳斯（Menelaus）定理简介：

如果一直线顺次与三角形ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于M、N、K三点，则：

AMBNCK

1。 MBNCKA

证明： 过顶点B作AC的平行线与截线交于E，

则有：

AMAKBNBE

， ， MBBENCCK

AMBNCKAKBECK 1 ∴

MBNCKABECKKA

对该定理的几点说明：①证明的方法：过其中一个顶点作其对边的平行线与截线相交，利用“平行线截线段成比例定理”或相似Δ性质，将其中的两个比例式等价转化。②定理的实质：三个比例式的乘积等于1，每一个比例式的三个字母是共线的两个顶点和一个分点；其结构特征为：顶点 分点 ，呈现“首尾相接”；整体看，从某一个顶点出发，最后又回到该顶

分点 顶点

点。③该定理常与“塞瓦定理”结合使用。

二、 梅涅劳斯定理的一个应用例子

题目：在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使|OM|∶|OA|=1∶3，|ON|∶|OB|=1∶4，设线段AN与BM交于点P，记OA= a，OB=b，用 a，b表示向量OP.

先给出高中常规解