近世代数第二版第一章答案

近世代数第一章基本概念答案

§ 1 ． 集合

1.B?A，但B不是A的真子集，这个情况什么时候才能出现？ 解 由题设以及真子集的定义得，A的每一个元都属于B，因此A?B.于是由

B?A A?B

得A?B.所以上述情况在A=B时才能出现.

2. 假设A?B,A?B?? A?B??

解 （i） 由于A?B,所以A的每一个元都属于B,即A的每一个元都是A和B的共同元，因而由交集的定义得

A?A?B

但显然有

A?B?A

所以

A?B?A

(ii) 由并集的定义，A?B的每一个元素都属于A和B之一，但A?B,所以A?B的每一元素都属于B:

A?B?B

另一方面B?A?B,所以A?B?B.

§ 2 ． 映射

1. A={1,2,?，100}.找一个A?A到A的映射.

解 用?a,b?表示A?A的任意元素，这里a和b都属于A .按照定义做一个满足要求的映射即可，例如 ?： ?a,b?→a 就是这样的一个，因为?替A?A的任何元素?a,b?规定了一个唯一的象a,而a?A.

读者应该自己再找几个A?A到A的映射. 2.在你为习题1所找的映射之下，是不是A的每一个元都是A?A的一个元的象?

解 在上面给出的映射?之下，A的每一个元素都

近世代数第二章群论答案

§1. 群的定义

1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？ 解：不是，因为普通减法不是适合结合律。 例如

3??2?1??3?1?2 ?3?2??1?1?1?0 3??2?1???3?2??1 2.举一个有两个元的群的例。 解：令G??e,a?,G的乘法由下表给出

首先，容易验证，这个代数运算满足结合律 (1) ?x?y?z?x?y?z????????x,y,z?G

因为，由于ea?ae?a，若是元素e在(1)中出现，那么(1)成立。(参考第一章，§4，习题3。)若是e不在(1)中出现，那么有

?aa?a?ea?a a?aa??ae?a

而(1)仍成立。

其次，G有左单位元，就是e；e有左逆元，就是e，a有左逆元，就是a。所以G是一个群。

读者可以考虑一下，以上运算表是如何作出的。

3.证明，我们也可以用条件Ⅰ，Ⅱ以及下面的条件IV?，V?来做群的

第 1 页 共 20 页

定义：

IV? G里至少存在一个右逆元a?1，能让

ae=a 对于G的任何元a都成立；

V? 对于G的每一个元a，在G里至

近世代数第二章群论答案

§1. 群的定义

1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？ 解：不是，因为普通减法不是适合结合律。 例如

3??2?1??3?1?2 ?3?2??1?1?1?0 3??2?1???3?2??1 2.举一个有两个元的群的例。 解：令G??e,a?,G的乘法由下表给出

首先，容易验证，这个代数运算满足结合律 (1) ?x?y?z?x?y?z????????x,y,z?G

因为，由于ea?ae?a，若是元素e在(1)中出现，那么(1)成立。(参考第一章，§4，习题3。)若是e不在(1)中出现，那么有

?aa?a?ea?a a?aa??ae?a

而(1)仍成立。

其次，G有左单位元，就是e；e有左逆元，就是e，a有左逆元，就是a。所以G是一个群。

读者可以考虑一下，以上运算表是如何作出的。

3.证明，我们也可以用条件Ⅰ，Ⅱ以及下面的条件IV?，V?来做群的

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定义：

IV? G里至少存在一个右逆元a?1，能让

ae=a 对于G的任何元a都成立；

V? 对于G的每一个元a，在G里至

近世代数第二章群论答案

§1. 群的定义

1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？ 解：不是，因为普通减法不是适合结合律。 例如

3??2?1??3?1?2 ?3?2??1?1?1?0 3??2?1???3?2??1 2.举一个有两个元的群的例。 解：令G??e,a?,G的乘法由下表给出

首先，容易验证，这个代数运算满足结合律 (1) ?x?y?z?x?y?z????????x,y,z?G

因为，由于ea?ae?a，若是元素e在(1)中出现，那么(1)成立。(参考第一章，§4，习题3。)若是e不在(1)中出现，那么有

?aa?a?ea?a a?aa??ae?a

而(1)仍成立。

其次，G有左单位元，就是e；e有左逆元，就是e，a有左逆元，就是a。所以G是一个群。

读者可以考虑一下，以上运算表是如何作出的。

3.证明，我们也可以用条件Ⅰ，Ⅱ以及下面的条件IV?，V?来做群的

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定义：

IV?

G里至少存在一个右单位元e，能让

ae=a

对于G的任何元a都成立；

V? 对于G的每一个元a，在G里至少

第二章 群 论 20

第二章 群论

本章讨论具有一个代数运算的代数结构——半群与群，但重点是群的基本知识及典型的两个群-变换群和循环群．群是概括性比较强的一个概念，是近世代数中比较丰富的一个分支，它产生于19世纪初人们对高次方程根号解问题的研究，发展到现在，群论已经应用到数学许多其它分支及一些别的科学领域．如在近世几何中，利用群的观点，把几何加以科学分类；在晶体学中，利用群论的方法，解决了空间晶体的分类问题；在现代通讯理论中，利用群来进行编码，有所谓的群码．我们先从半群开始来研究群．

§1 群的定义及基本性质

2.1 半群的定义

设S是具有一个代数运算的集合，为了方便，将此代数运算叫S的乘法，并且仍用通常的乘法记号“·”来表示，把S的两个元素a,b关于“·”运算结果a?b简记为ab．当然，这样被叫做乘法不一定就是

指数的乘法，还可表示像矩阵、函数、向量的乘法，但一般来说它们都不是数的乘法．

定义1 如果代数结构（S，·）的乘法适合结合律，即

?a,b,c?S,有(ab)c?a(bc)，则称S关于它的乘法是一个半群，简称S是一个半群．

例1

第二章 群论

近世代数习题第二章 第一组 1-13题；第二组 14-26题；第三组 27-39题；第四组 40-52

题，最后提交时间为11月25日

1、设G是整数集，则G对运算 a?b?a?b?4 是否构成群？

2、设G是正整数集，则G对运算 a?b?a 是否构成群？

3、证明：正整数对于普通乘法构成幺半群.

4、证明：正整数对于普通加法构成半群，不含有左右单位元. 5、G是整数集，则G对运算 a?b?1 是否构成群？

6、设a,b是群G中任意两元素. 证明：在G中存在唯一元素x，使得axba?b. 7、设u是群G中任意取定的元素，证明：G对新运算a?b?aub也作成群. 8、证：在正有理数乘群中，除1外，其余元素阶数都是无限.

9、证：在非零有理数乘群中，1的阶是1，-1的是2，其余元素阶数都是无限. 10、设群G中元素a阶数是n，则 a?e?n|m.

11、设群G中元素a阶数是n，则 |a|?mbmn.，其中k为任意整数. (m,n) 设（m,n）=d,m=dk,n=dl,(k,l)=1. 则(a^m)^l=a^(ml)=a^(kdl)=(a^(n))^

在温度500℃、压力101.3kPa时的密度。 题4 附图 解：混合气体平均摩尔质量

kg/mol1098.2810)1811.02876.04413.0(33??×=××+×+×=Σ=iimMyM

∴ 混合密度

333kg/m457.0)500273(31.81098.28103.101=+××××==?RTpMρmm

2．已知20℃时苯和甲苯的密度分别为879 kg/m和867 kg/m,试计算含苯40％及甲苯60％（质量％）的混合液密度。

解： 8676.08794.012211+=+=ρρρaam 混合液密度 3kg/m8.871=mρ 3．某地区大气压力为101.3kPa，一操作中的吸收塔塔内表压为130kPa。若在大气压力为75 kPa的高原地区操作该吸收塔，且保持塔内绝压相同，则此时表压应为多少？ 解： ''表表绝＋pppppaa=+=

3

3

∴kPa3.15675)1303.101)(''=?==＋（－＋真表aapppp

. 如附图所示，敞口容器内盛有不互溶的油和水，油层和水层的厚度分别为700mm和600mm。在容器底部开孔与玻璃管相连。已知油与水的密度分别为800 kg/m和1000 kg/m。 （1）

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一、单项选择题(每小题3分，共12分)

1.设A=R(实数集)，B=R+(正实数集) υ:a→10a+1,?a∈A 则?是从A到B的( )。 A.满射而非单射 B.单射而非满射 C.一一映射 D.既非单射也非满射 2.剩余类加群Z6中，元素［１］的阶是( )。 A.1 B.2 C.3 D.6 3.7阶循环群的生成元个数是( )。 A.1 B.2 C.6 D.7

?a0??4.设R=??那么R关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是( )。 ?0b?a、b?Z?，

????A.有单位元的可换环 B.无单位元的可换环 C.无单位元的非可换环 D.有单位元的非可换环 二、填空题(每小题3分，共24分)

1.设集合A含有m个元，则A的子集共有_____个. 2.每一个有限群都和一个_____群同构. 3.设a、b是群G的两个元，则(ab)-2=_____.

4.在3次对称群S3中与元(1 2 3)不可交换的元有_____个. 5.剩余类环Zm是无零因子环

1：证明：:实数域R上全体n阶方阵的集合Mn(R)，关于矩阵的加法构成一个交换群。 证：（1）显然，Mn(R)为一个具有“+”的代数系统。 （2）∵矩阵的加法满足结合律，那么有结合律成立。 （3）∵矩阵的加法满足交换律，那么有交换律成立。 （4）零元是零矩阵。?A∈Mn(R),A+0=0+A=A。 （5）?A∈Mn(R),负元是-A。A+(-A)=(-A)+A=0。 ∴（Mn(R),+）构成一个Abel群。

2：证明：实数域R上全体n阶可逆方阵的集合GLn(R)关于矩阵的乘法构成群。这个群称为n阶一般线形群。

证明：显然GLn(R)是个非空集合。

对于任何的A,B∈GLn(R)，令C=AB, 则C=|AB|=|A||B|≠0,所以C∈GLn(R)。

⑴因为举证乘法有结合律，所以结合律成立。 ⑵对任意A∈GLn(R)，AE=EA，所以E是单位元。

⑶任意的A∈GLn(R)，由于∣A∣≠0,∴A的逆矩阵A，满足

?1AA?1?A?1A?E且∴A的逆元是 A?1.所以，GLn(R)关于矩阵的乘法构成群。

3：证明:实数域R上全体n阶正交矩阵的集合On(R)关于矩阵的乘法构成群.这

近世代数习题解答

第二章 群论

1 群论

1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?

证 不是一个群,因为不适合结合律.

2. 举一个有两个元的群的例子.

证 G?{1,?1} 对于普通乘法来说是一个群.

3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件

4'. G至少存在一个右单位元e,能让ae?a 对于G的任何元a都成立

5'. 对于G的每一个元a,在G里至少存在一个右逆元a?1,能让 aa?1?e 证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由aa?1?e 得a?1a?e 因为由4'G有元a'能使a?1a'?e 所以(a?1a)e?(a?1a)(a?1a')

?[a?1(aa?1)]a'?[a?1e]a'?a?1a'?e 即 a?1a?e

(2) 一个右恒等元e一定也是一个左恒等元,意即 由 ae?a 得 ea?a ea?(aa?14,5来作群的定义: