经典功率谱估计的方法

功率谱估计方法综述：

简介：随机信号的持续时间是无限长的，因此随机信号的总能量是无限的，因而随机过程的任意一个样本寒暑都不满足绝对可积条件，所以其傅里叶变换不存在。尽管随机信号的总能量是无限的，但其平均功率却是有限的，因此，要对随机信号的频域进行分析，应从功率谱出发进行研究才有意义。信号的功率谱密度描述随机信号的功率在频域随频率的分布。功率谱估计(PSD)是用有限长的数据来估计信号的功率谱，即利用给定的N个样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度。

背景：功率谱估计在实际工程中有重要应用价值，如在语音信号识别、雷达杂波分析、波达方向估计、地震勘探信号处理、水声信号处理、系统辨识中非线性系统识别、物理光学中透镜干涉、流体力学的内波分析、太阳黑子活动周期研究等许多领域，发挥了重要作用。功率谱估计方法主要分为2大类：非参数化方法（又称经典功率谱估计）和参数化方法（又称现代功率谱估计）。非参数化方法有相关函数法(BT法)、周期图法、平均周期图法、平滑平均周期图法等；而参数化谱估计有R模型法、移动平均模型法(简称MA模型法)、自回归移动平均模型法(简称ARMA模型法)、最大熵谱分析法(AR模型法)、Pisarenko谐波分解法、Prony提取极点法、

功率谱估计

引言：

对信号和系统进行的分析研究、处理有两类方法：一类是在时域内进行，维纳滤波、卡尔曼滤波以及自适应滤波等都属于时域处理方法；另一类方法是频域研究方法。对于确定性信号，傅里叶变换是在频率分析研究的理论基础，但是在实际生活中大多数信号是随机信号，而随机信号的傅里叶变换是不存在的，在实际应用中，通常通过采集和观测平稳随机过程的一个抽样序列的一段（有限个）数据，根据这有限个已知的数据来估计随机过程的功率谱问题来对随机信号进行分析，这即是频率谱估计。功率谱估计是数字信号处理的主要内容之一，主要研究信号在频域中的各种特征，目的是根据有限数据在频域内通过用某种有效的方法来估计出其功率谱密度，从而得出信号、噪声及干扰的一些性质来，提取被淹没在噪声中的有用信号。功率谱估计就是通过信号的相关性估计出接受到信号的功率随频率的变化关系，实际用途有滤波，信号识别（分析出信号的频率），信号分离，系统辨识等。??谱估计技术是现代信号处理的一个重要部分，还包括空间谱估计，高阶谱估计等。????

按照Weiner—Khintchine定理，随机信号的功率谱和其自相关函数服从傅里叶变换关系，可以得出功率谱的一个定义，如公式（1）所示：

Pxxe

功率谱估计的Welch方法中的窗函数研究

第14卷第4期

2000年7月常熟高专学报JournalofChangshuCollegeVol.14No.4July.2000

功率谱估计的Welch方法中的窗函数研究

范　瑜,邬正义

(常熟高等专科学校物理系,常熟　215500)Ξ

摘　要:在经典谱估计领域,由Welch提出的修正周期图法获得了有效的应用。其优点是简单、易于理解、便于计算。在多数情况下,其频率分辨率、Matlab对于Welch方法的估计特性进行了分析,关键词:Welch;谱估计;窗函数

中图分类号:TM935　:A(2000)04-0036-04　　FFT快速算法,所以又称之为非参数方法。如果利用相关函数,把求功率谱的估计,直接用x(n)的FFT来实现,则称为周期图法,即

Ωj^Px(e)=F[R^xx(m)]=

N-1NF[x(n)3x(-n)]=NΩj2|X(e)|(1)

(2)

(3)

(4)其中,X(e)=所以,^Px(k)=其中,X(k)=Ωjn=0∑x(n)eΩ-jnNN-1

n=0|X(k)|,k=0,1,…,N-1x(n)e-j2∑Nkn

　　理论和实践均证明周期图法谱估计的波动比较显著,尤其当N愈大,波动愈严重。但若N取太小,分辨[1][2

功率谱估计性能分析及其MATLAB实现

一、 经典功率谱估计分类简介

1． 间接法

根据维纳-辛钦定理，1958年Blackman和Turkey给出了这一方法的具体实现，即先由N个观察值率谱

，估计出自相关函数的估计。

，求自相关函数傅里叶变换，以此变换结果作为对功

2． 直接法

直接法功率谱估计是间接法功率谱估计的一个特例，又称为周期图法，它是把随机信号的N个观察值对功率谱

直接进行傅里叶变换，得到的估计。

，然后取其幅值的平方，再除以N，作为

3． 改进的周期图法

将N点的观察值分成L个数据段，每段的数据为M，然后计算L个数据段的周期图的平均

，作为功率谱的估计，以此来改善用N点观察数据直接计算的周期图

特性。根据分段方法的不同，又可以分为Welch法和Bartlett法。

的方差

Welch法

所分的数据段可以互相重叠，选用的数据窗可以是任意窗。

Bartlett法

所分的数据段互不重叠，选用的数据窗是矩形窗。

1

二、 经典功率谱估计的性能比较

1． 仿真结果

为了比较经典功率谱估计的性能，本文采用的信号是高斯白噪声加两个正弦信号，采样率Fs=1000Hz，两个正弦信号的频率分别为f1=200Hz，f2=210Hz。所用数据长度N=400. 仿真结

功率谱估计仿真实验

选题条件：对于给定的一个信号()()()t t f t f t x ?ππ++=212sin 2)2sin(，其中1f =50Hz ，

2f =100Hz ，()t ?为白噪声，采样频率Fs 为1000Hz ，对其进行功率谱估

计。

仿真目标：采用多种方法对该指定信号进行功率谱估计，计算其功率谱密度，比较

各种估计方法的优劣。

设计思路：本仿真实验采用经典谱估计中的周期图法对给定信号进行谱估计。但是

由于其自身的缺陷，使得频率分辨率较低。为了不断满足需要，找到恰

当的估计法，实验使依次使用了周期图法的改进型方法如分段周期图法、

窗函数法以及修正的周期图法进行功率谱估计，对四种方法得出的谱估

计波形进行比较分析，得出估计效果最好的基于周期图法的谱估计方法。

仿真指标：频率分辨率、估计量的方差、频谱光滑度

平台说明：本实验采用MATLAB7.0仿真软件，基于WINDOWS-XP 系统。Matlab 是

一个集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体的工程分析处

理软件。它提供的部分算法函数为功率谱估计提供了一条可行的方便途

径，如PSD 和CSD 可以自动实现Welch 法估计，而不需要自己编程。但是

较为有限，大部分需要自己编写相应的M 文件来实现。

功率谱估计的Welch方法中的窗函数研究

第14卷第4期

2000年7月常熟高专学报JournalofChangshuCollegeVol.14No.4July.2000

功率谱估计的Welch方法中的窗函数研究

范　瑜,邬正义

(常熟高等专科学校物理系,常熟　215500)Ξ

摘　要:在经典谱估计领域,由Welch提出的修正周期图法获得了有效的应用。其优点是简单、易于理解、便于计算。在多数情况下,其频率分辨率、Matlab对于Welch方法的估计特性进行了分析,关键词:Welch;谱估计;窗函数

中图分类号:TM935　:A(2000)04-0036-04　　FFT快速算法,所以又称之为非参数方法。如果利用相关函数,把求功率谱的估计,直接用x(n)的FFT来实现,则称为周期图法,即

Ωj^Px(e)=F[R^xx(m)]=

N-1NF[x(n)3x(-n)]=NΩj2|X(e)|(1)

(2)

(3)

(4)其中,X(e)=所以,^Px(k)=其中,X(k)=Ωjn=0∑x(n)eΩ-jnNN-1

n=0|X(k)|,k=0,1,…,N-1x(n)e-j2∑Nkn

　　理论和实践均证明周期图法谱估计的波动比较显著,尤其当N愈大,波动愈严重。但若N取太小,分辨[1][2

14.1 平稳随机信号的参数模型

经典功率谱估计方法的方差性能较差，分辨率较低。 方差性能差的原因是无法实现功率谱密度原始定义中 的求均值和极限的运算。 分辨率低的原因，对周期图法是假定了数据窗以外的 数据全为零，对自相关法是假定了在延迟窗以外的自 相关函数全为零。

思路： (1)假定所研究的过程x(n)是由一个输入序列 u(n)激励一个线性系统H(z)的输出。

(2)由已知的x(n),或其自相关函数rx(m)来估 计H(z)的参数 (3)由H(z)的参数来估计x(n)的功率谱

对图1所示系统， u(n)和 x(n)总有如下关系：p q

x(n) ak x n k bk u n k ——(1.1)及k 1 k 0

x n h k u n k ——(1.2)k 0

对上面两式两边分别取Z变换，并令b0=1,则有B z H z ——(1.3) A z

其中，

A z 1 ak z kk 1 q

p

B z 1 bk z kk 1

H z h k z kk 0

为了保证H(z)是一个稳定的且是最

14.1 平稳随机信号的参数模型

经典功率谱估计方法的方差性能较差，分辨率较低。 方差性能差的原因是无法实现功率谱密度原始定义中 的求均值和极限的运算。 分辨率低的原因，对周期图法是假定了数据窗以外的 数据全为零，对自相关法是假定了在延迟窗以外的自 相关函数全为零。

思路： (1)假定所研究的过程x(n)是由一个输入序列 u(n)激励一个线性系统H(z)的输出。

(2)由已知的x(n),或其自相关函数rx(m)来估 计H(z)的参数 (3)由H(z)的参数来估计x(n)的功率谱

对图1所示系统， u(n)和 x(n)总有如下关系：p q

x(n) ak x n k bk u n k ——(1.1)及k 1 k 0

x n h k u n k ——(1.2)k 0

对上面两式两边分别取Z变换，并令b0=1,则有B z H z ——(1.3) A z

其中，

A z 1 ak z kk 1 q

p

B z 1 bk z kk 1

H z h k z kk 0

为了保证H(z)是一个稳定的且是最

数字信号处理 第二版 陈后金

离散随机序列的特征描述 平稳随机序列通过LTI系统 平稳随机序列通过LTI系统 经典功率谱估计 现代功率谱估计

数字信号处理 第二版 陈后金

现代谱估计简介问题提出 平稳随机信号的参数模型 AR模型参数与自相关函数的关系 AR模型参数与自相关函数的关系 AR模型参数与线性预测滤波器的关系 AR模型参数与线性预测滤波器的关系 Y-W方程的L-D递推算法 方程的L 伯格(Burg)递推算法 伯格(Burg)递推算法 利用MATLAB进行 模型功率谱估计 利用MATLAB进行AR模型功率谱估计 进行AR功率谱估计

数字信号处理 第二版 陈后金

问题提出经典法存在问题: 经典法存在问题: 1. 方差性能不好，不是Px( )的一致估计 方差性能不好，不是 的一致估计 2. 平滑周期图和平均周期图改善了周期图的方差 性能，但却降低了谱分辨率和增大了偏差。 性能，但却降低了谱分辨率和增大了偏差。 3. 可能使短序列的功率谱估计出现错误的结果 出现问题的原因: 出现问题的原因: 将观测数据以外的数据一律视为零，与实际不符。 将观测数据以外的数据一律视为零，与实际不符。功率谱估计

数字信号处理

第一章 经典谱估计

经典谱估计方法是以傅里叶变换为基础的方法，主要有两类：周期图法和布莱克曼—图基法（简称BT法，又称为谱估计的自相关法）。这两类方法都与相关函数有着密切的联系，由维纳——欣钦定理可知，功率谱和相关函数之间的关系是一对傅里叶变换，因而可以从观测数据直接估计相关函数，根据估计出来的相关函数，求它的傅立叶变换，就可以得到功率谱的估计值。

一、 相关函数和功率谱

若 mx(n)?mx?常数，rxx(n1,n2)?rxx(n1?n2)即rxx(k)?E[x(n?k)x*(n)] 则称{x(n)}为广义平稳序列。

若{x(n)}和{y(n)}均为广义平稳序列，且rxy(n1,n2)?rxy(n1?n2)即

rxy(k)?E[x(n?k)y*(n)]，则称{x(n)}和{y(n)}为广义联合平稳序列。

广义平稳随机序列{x(n)}的相关函数rxx(k)和它的功率谱密度Pxx(?)之间是傅立叶变换对的关系，即

??Pxx(?)?rxx(k)?1?rxx(k)ek????j?kd? (1.6)

2?????Pxx(?)ej?kd? (1.7)

这一关系式常