相似矩阵的定义

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第三节 相似矩阵

一、相似矩阵的概念与性质 相似矩阵的概念与性质 二、利用相似变换将矩阵对角化 三、小结 思考题

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一、相似矩阵概念与性质定义1 设A, B都是n阶矩阵, 若有可逆矩阵 P , 使 P AP = B ,-1

则称B是A的相似矩阵 , 或说矩阵 A与B相似.记为A ~ B .

对A进行运算P 1 AP称为对A进行相似变换 .

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定理1 定理 若n阶矩阵 A与B相似 ,则A与B的特征多项 式相同,从而A与B的特征值亦相同 .

证明

A与B相似

可逆阵 P , 使得P 1 AP = B= P 1 AP P 1 (λ E )P ∴ B λE

= P

1

( A λE ) P

= P 1 A λ E P

= A λE .则A与B的特征多项式相同 , 从而A与B的特征值亦相同.

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相似矩阵的性质: 相似矩阵的性质 (1)相似矩阵有相同的秩; (1)相似矩阵有相同的秩; 相似矩阵有相同的秩 (2)相似矩阵的行列式相等; (2)相似矩阵的行列式相等; 相似矩阵的行列式相等 证明：( ) 阶矩阵A与 相似 相似,则存在非奇异 证明：(2)设n阶矩阵 与B相似 则存在非奇异 ：( 阶矩阵 矩阵P使得 矩阵 使得 P 1 AP

相似矩阵的判定及其应用

摘要： 相似矩阵是高等代数中重要的知识点，在本文中，我们先给出了判定两个矩阵相似

的三种方法，然后我们知道矩阵相似于对角矩阵是高等代数中一个重要而基本的问题,我们给出怎样判断矩阵A是否可对角化，然而我们知道一个矩阵未必相似于对角矩阵，但是在复数域上任何一个矩阵都与一个若而当形矩阵相似，因此我们给出了矩阵的相似标准形及其应用；最后，我们给出了矩阵相似在实际生活中（尤其是考研中）的应用.

关键字： 相似矩阵，对角矩阵，若尔当标准形

1.相似矩阵及其判定

这一节我们在系统归纳相似矩阵的一些相关概念和性质的基础上，着重介绍相似矩阵的几种判定方法。并通过一些具体的例子加以说明。下面我们首先介绍相关的概念和性质。

定义1 设A，B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B=X?1AX，就说A相似于B，记A~B

过渡矩阵 矩阵等价 特征矩阵 行列式因子 不变因子 初等因子

相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有三个性质： ⑴反身性: A~A

⑵对称性：如果A~B，那么B~A

⑶传递性：如果A~B，B~C，那么A~C

在此基础上，

定理1.1 线性变换在不同基下所对应的矩阵相似。 我们从下面的例1来看这

线性代数授课课件

相似矩阵及二次型

线性代数相似矩阵及二次型 第3课时

线性代数授课课件

温故而知新相似矩阵： P 1 AP B 【定理3】 若n阶方阵A与 B相似，则：

相似矩阵及二次型

A E B E , A B , A B , R ( A ) R ( B ).

【定理4】A 与 相似 A 有 n 个线性无关的特征向量可逆矩阵P 是由相应的特征向量作为列向量构 成的.

.

【推论1】若n 阶方阵 A 的n 个特征值互不相等,则 A 与 相似 .【推论2】 方阵A与对角矩阵 相似 A的所有特征值的重数与 其对应的线性无关的特征向量的个数相等. 【推论3】 若 i是矩阵A的ki(i=1,2, …m, k1+k2+…+km=n)重特征值，则 A 与 对角矩阵 相似 R( A i E ) n k i

线性代数授课课件

§4 对称矩阵的相似对角化对称矩阵的特征值与特征向量 对称矩阵的正交相似对角化 问题与思考

线性代数授课课件

分析下面两个例子 0 1、判断 A 0 1 能否相似对角化. 0

相似矩阵及二次型

2、判断对称阵A是否可以对角化

2 A 1

矩阵的Jordan标准形有两个局限，其一、是只有方阵才能求其Jordan标准形；其二、Jordan标准形毕竟不如对角矩阵来得方便。本节讨论的矩阵奇异值分解，将克服这些局限性。 定理1如果A为n阶复矩阵，则有：

1）矩阵AA，AA的特征值都是非负实数； 2）矩阵AA与AA的非零特征值都相同。

n证：1）设??C为AA的特征值?所对应的特征向量，则AA是Hermite矩阵，所以?HHHHHH是实数；并且0??A?,A???因为??0，所以??0。

??,AHA????,???????,??，

?同理可证，AA的特征值也是非负实数。

3）将AA的特征值按顺序记为：?1??2????r??r?1??r?2????n?0， 设?i?CHHHn?i?1,2,?,r?为AHA的非零特征值?i?i?1,2,?,r?所对应的特征向量，

?i?i?1,2,?,r?，有(AAH)A?i=?iA?i?i?1,2,?,r?，

则由AA?i=?i因为A?i是非零向量，所以?i也是AAH的非零特征值；

HH同理可证，AA的非零特征值也是AA的非零特征值。

以下证明AA与AA的非零特征值完全相同，这只要证明AA与AA的非零特征值的代数重数相同即可。

设y1,y2,?,yp为

海文考研资料

【海文考研数学】：线代知识点归纳 5

相似矩阵和二次型

1. 正交矩阵 ATA E或A 1 AT（定义），性质：

①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aiTaj 0②、若A为正交矩阵，则A 1 AT也为正交阵，且A 1； ③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 1i j(i,j 1,2,i jn)；

2. 施密特正交化：(a1,a2,,ar)

b1 a1；

b2 a2 [b1,a2]b1 [b1,b1]

[b1,ar][b,a]b1 2rb2 [b1,b1][b2,b2][br 1,ar]br 1; [br 1,br 1] br ar

3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；

对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；

4. ①、A与B等价 A经过初等变换得到B；

PAQ B，P、Q可逆；

r(A) r(B)，A、B同型；

②、A与B合同 CTAC B，其中可逆；

xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数；

③、A与B相似 P 1AP B；

5. 相似一定合同、合同未必相似；

若C为正交矩阵，则CTAC B A~B，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；

第七章 线性变换与相似矩阵 习题7.1

习题7.1.1判别下列变换是否线性变换？ （1）设是线性空间中的一个固定向量， （Ⅰ）解：当当

时，时，有

，

，

显然是的线性变换；

，

，即此时不是的线性变换。

（Ⅱ）解：当当

，时，时，有

；

显然是的线性变换；

，

，则，则

，即此时不是的线性变换。

（2）在（Ⅰ）解：不是

中，

，

的线性变换。因对于，所以

（Ⅱ）解：是则有

的线性变换。设

。

； ，其中

，

，

，

，有

，

。

（3）在（Ⅰ）解：是

中，

，

的线性变换：设

，则

，

，

（Ⅱ）解：是

。

，其中是中的固定数；

的线性变换：设

，则 ，

，

。

，其中是的

（4）把复数域看作复数域上的线性空间，共轭复数； 解：

不是线性变换。因为取

，即

（5）在

。

，

时，有

，

中，设与是其中的两个固定的矩阵，。

，

解：是的线性变换。对，，有 ，

。

习题7.1.2在轴向

中，取直角坐标系

，以表示空间绕

表示空间绕轴由

轴向

轴由方向

方向旋转900的变换，以

旋转900的变换，以变换。证明

表示空间绕轴由轴向方向旋转900的

（表示恒等变换）， ， ；

并说明证明：在知：

是否成立。

中任取一个向量

， ，，即

，；，故

， ，所以

。

，则根据

，；，

。 及

的定义可

，，

因为

因为， ，所以

。

，

，所以

。

，证明

5.2 矩阵对角化

一、相似矩阵与相似变换的概念定义1 设A, B都是n阶矩阵, 若有可逆矩阵 P , 使 P AP B , 则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵A与B相似.对A进 行运算 P 1 AP称为对A进行相似变换 , 可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵. 1

A与B相似 可逆阵P , 使得P 1 AP B

定理1 若n阶矩阵A与B相似, 则A与B的特征多项 式相同, 从而A与B的特征值亦相同.证明A与B相似 可逆阵P , 使得P 1 AP B 1 1 B E P AP P E P

P 1 A E P

P 1 A E P A E .

A与B相似 可逆阵P , 使得P 1 AP B

定理1 若n阶矩阵A与B相似, 则A与B的特征多项 式相同, 从而A与B的特征值亦相同.

B E A E .推论 若 n 阶方阵A与对角阵 1 2 n

相似, 则 1 , 2 , , n即是A的n个特征值.

三、利用相似变换将方阵对角化对 n 阶方阵 A , 若可找到可逆矩阵 P

理解矩阵（一）

2006-04-02 00:30 54984人阅读 评论(145) 收藏 举报

前不久chensh出于不可告人的目的，要充当老师，教别人线性代数。于是我被揪住就线性代数中一些务虚性的问题与他讨论了几次。很明显，chensh觉得，要让自己在讲线性代数的时候不被那位强势的学生认为是神经病，还是比较难的事情。

可怜的chensh，谁让你趟这个地雷阵？！色令智昏啊！

线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的

正交矩阵与酉矩阵的性质和应用

0 前 言.......................................................................................................................... 1 1 欧式空间和正交矩阵................................................................................................ 2

1.1 欧式空间.......................................................................................................... 2 1.2 正交矩阵的定义和性质.................................................................................. 2

1.2.1 正交矩阵的定义和判定....................................

矩阵的基本运算

（摘自：华东师范大学数学系；http://math.ecnu.edu.cn/）

§3.1 加和减 §3.2矩阵乘法

§3.2.1 矩阵的普通乘法 §3.2.2 矩阵的Kronecker乘法 §3.3 矩阵除法 §3.4矩阵乘方 §3.5 矩阵的超越函数 §3.6数组运算

§3.6.1数组的加和减 §3.6.2数组的乘和除 §3.6.3 数组乘方 §3.7 矩阵函数 §3.7.1三角分解 §3.7.2正交变换 §3.7.3奇异值分解 §3.7.4 特征值分解 §3.7.5秩

§3.1 加和减

如矩阵A和B的维数相同，则A+B与A-B表示矩阵A与B的和与差．如果矩阵A和B的维数不匹配，Matlab会给出相应的错误提示信息．如： A= B=

1 2 3 1 4 7 4 5 6 2 5 8 7 8 0 3 6 0 C =A+B返回：