清北学堂培训有必要吗

高中数学奥数竞赛

Part1

例1． 正整数数列{xn}，{yn}满足关系式 （*）xn+

2yn=2(3+22),(n∈N*) 

2n

求证：yn 1为完全平方数 分析： 难点2(3+22)     

2n

2n+1

xn+1+2yn+1=2(3+22)

（*）平方(xn+

n+1

2yn)2=2(3+22)2 

12

xn+1+2yn+1(xn+2yn)

2

=

∴2xn+1+2yn+1=(xn+∴

2yn)2=(x2n+2y2n)+22xnyn 

xn+1=2xnyn

22

2yn+1=xn+2yn

122

 xn+yn

2122

∴yn+1 1=xn+yn 1 

2 yn+1=

易知：x=24，y=17 算出：

12

x1+y12 1=242=x12 21222

 xn+yn 1=xn

2

122

    yn=xn+1， 

2

2

下面用数学归纳法证明 

12

x1+1 2122

假设n=k时，有yk=xk+1 

2122

去证明：yk+

清北学堂2011寒假（济南校区）物理集训

力学（一）运动学

1、在倾角为θ的光滑斜面顶端有一质点A自静止开始自由下滑，与此同时在斜面底部有另一质点B自静止开始以加速度a背离斜面在光滑的水平面上运动。设A下滑到斜面底部能沿着光滑的小弯曲部分平稳地朝B追去。试求为使A不能追上B，a的取值范围。

2.如图所示，物体A置于水平面上，A前固定一滑轮B，高台上有一定滑轮D。一根轻绳一端固定在C点，并绕过B和D，且BC段水平.当以恒定水平速度v拉绳上的自由端时，A沿水平面前进.求当跨过B的两段绳子的夹角为α的运动速度。

3．合页构件由三个菱形组成，其边长之比为3:2:1（如图所示），顶点A3以速度v沿水平方向移动.求当构件的所有角都为直角时，顶点A1、A2、B2的速度。

1

4．如图所示，AA1和BB1是两根光滑的细直杆，并固定于天花板上，绳的一端拴在B点，另一端拴在套于AA1杆中的珠子D上，另有一珠子C穿过绳及杆BB1以速度v1匀速下落，而珠子D以一定速度沿杆上升。当图中角度为α时，珠子D上升的速度v2多大？

5．如图所示装置，设杆OA以角速度ω绕O转动，其A端则系以绕过滑轮

清北学堂2011寒假（济南校区）物理集训

力学（一）运动学

1、在倾角为θ的光滑斜面顶端有一质点A自静止开始自由下滑，与此同时在斜面底部有另一质点B自静止开始以加速度a背离斜面在光滑的水平面上运动。设A下滑到斜面底部能沿着光滑的小弯曲部分平稳地朝B追去。试求为使A不能追上B，a的取值范围。

2.如图所示，物体A置于水平面上，A前固定一滑轮B，高台上有一定滑轮D。一根轻绳一端固定在C点，并绕过B和D，且BC段水平.当以恒定水平速度v拉绳上的自由端时，A沿水平面前进.求当跨过B的两段绳子的夹角为α的运动速度。

3．合页构件由三个菱形组成，其边长之比为3:2:1（如图所示），顶点A3以速度v沿水平方向移动.求当构件的所有角都为直角时，顶点A1、A2、B2的速度。

1

4．如图所示，AA1和BB1是两根光滑的细直杆，并固定于天花板上，绳的一端拴在B点，另一端拴在套于AA1杆中的珠子D上，另有一珠子C穿过绳及杆BB1以速度v1匀速下落，而珠子D以一定速度沿杆上升。当图中角度为α时，珠子D上升的速度v2多大？

5．如图所示装置，设杆OA以角速度ω绕O转动，其A端则系以绕过滑轮

力学篇

第一讲 点的直线运动

例题1（2008华约）在赤道上的A处静止放置一个小物体。现在设想地球对小物体的万有引力突然消失，则在数小时内，小物体相对于A点处的地面来说，将 。 A．水平向东飞去

B．原地不动，物体对地面的压力消失 C．向上并渐偏向西方飞去 D．向上并渐偏向东方飞去 E．一直垂直向上飞去

练习1 （13苏大）太阳从东边升起，西边落下是地球上的自然现象，但是在某些条件下，在纬度较高地区上空飞行的飞机上，旅客可以看到太阳从西边升起的奇特现象，这些条件是（ ）

A时间必须在清晨，飞机正在由东向西飞行，飞机的速度必须较大 B时间必须在清晨，飞机正在由西向东飞行，飞机的速度必须较大 C时间必须在傍晚，飞机正在由东向西飞行，飞机的速度必须较大 D时间必须在傍晚，飞机正在由西向东飞行，飞机的速度不能太大。

练习2 (12复旦)在马路旁观察会感觉马路上开行的汽车白天快夜晚慢，这是因为（ ） A夜晚看不清马路两旁的参照物（房屋，行道等）B夜晚看不清车身 C白天车速的确较快D夜晚司机比较小心会降低车速。

练习3(12复旦)对不同的惯性参照物，如下物理量中与参照系无关的是（ ） A动能 B功 C力 D声音

2012年高中数学奥林匹克模拟真题（八）

一：填空题（每题8分，共8题）

1、直线l在x轴与y轴上的截距相等，且到点P（5，6）的距离为6，则这样的直线共 条． 2、??n?表示n的个位数，an??n2???n?，则数列?an?的前2006项之和S2006＝ ． 3、已知cos??cos??2m，sin??sin??2n，则cot?cot?＝ ．

4、曲线x2?my2?1，焦点F1、F2及准线?1、?2与x轴交点K1、K2，这四个点在x轴上等距排列，则m的值为 ．

5、二次项三项式f?x?满足对任意a、b?R，f(a)?f(b)?f(a?b)?ab?1，则抛物线y?f(x)的顶点的轨迹方程为 ．

6、方程x2?x?y4?y3?y2?y的整数解为 ．

7、若数列?an?满足an?2?3an?1?2an?2n，且a1?0，a2?1，则a2006＝ ． 8．若实数a，b，x，y满足

??ax?by?3,ax2?by2?7，ax3?by3?16，ax4?by4?42，

则ax?by?______． 二：解答题：

9、（16分）

清北学堂2015年寒假数学联赛模拟（李建泉命制）

?的中点分别为M,N，对角线1.已知梯形ABCD内接于?O，且AD//BC，?AD,BCAC,BD交于点E，过点E作CD的垂线，与?ABE的外接圆交于点F，设?ABE的内心

为I，过M,N分别作BD,AC的垂线，垂足分别为P,Q，证明FI?PQ。

证明：因为?FAE??FAB??BAE??FEB??BDC?90?，所以EF为?ABE的

1因为BM?a?b?c?，

2是?ABE的角平分线，EM是?AEB的外角平分线，所以M是?ABE中?B内的旁心。

直径。设?ABE的内切圆半径为r， BE?a,AE?b,AB?c,p?同理可得N是?ABE中?A内的旁心，于是有BP?AQ?p。因为

?FAQ??FBP?90?，所以FQ2?FP2??FA2?AQ2???FB2?BP2??FA2?FB2

??EF2?b2???EF2?a2??a2?b2。

设?ABE的内切圆与BE,AE分别切于点X,Y，则

YQ?AQ?AY?p??p?a??a,XP?BP?BX?p??p?b??b?IYQ??IXP?90?，所以

。又因为

IQ2?IP2??IY2?YQ2???IX2?XP2???r2?a2???r2?b2??a2?b2，于是

F2

清北学堂

第31届全国高中化学竞赛清北学堂模拟试卷3

（2017年8月27日 9:00 ~ 12:00） 题号 满分 得分 评卷人 1 12 2 8 3 10 4 14 5 10 6 14 7 14 8 8 9 10 总分 100 ·竞赛时间3小时。迟到超过半小时者不能进考场。开始考试后1小时内不得离场。时间到，把试卷（背面朝上）放在桌面上，立即起立撤离考场。 ·试卷装订成册，不得拆散。所有解答必须写在指定的方框内，不得用铅笔填写。草稿纸在最后一页。不得持有任何其他纸张。 ·姓名、报名号和所属学校必须写在首页左侧指定位置，写在其他地方者按废卷论处。 ·允许使用非编程计算器以及直尺等文具。

1.008He4.003ONeBCNFLiBe6.9419.01210.8112.0114.0116.0019.0020.18AlSiPSClArNaMg26.9828.0930.9732.0735.4539.9522.9924.31KCaScTiVCrMnFeCoNiCuZnGaGeAsSeBrKr39.1040.0844.9647.8850.9452.0054.9455.8558.9358.6963.5565.3

第32届全国高中化学竞赛清北学堂模拟试卷五

（9:00 ~ 12:00） 题号 满分 得分 评卷人 1 17 2 15 3 13 4 8 5 7 6 16 7 7 8 6 9 11 总分 100 ·竞赛时间3小时。迟到超过半小时者不能进考场。开始考试后1小时内不得离场。时间到，把试卷（背面朝上）放在桌面上，立即起立撤离考场。

·试卷装订成册，不得拆散。所有解答必须写在指定的方框内，不得用铅笔填写。草稿纸在最后一页。不得持有任何其他纸张。

·姓名、报名号和所属学校必须写在首页左侧指定位置，写在其他地方者按废卷论处。 ·允许使用非编程计算器以及直尺等文具。 H He 相对原子质量 1.008 4.003 Li Be B C N O F Ne 6.941 9.012 10.81 12.01 14.01 16.00 19.00 20.18 Na Mg Al Si P S Cl Ar 22.99 24.31 26.98 28.09 30.97 32.07 35.45 39.95 K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr 39.10 40.08 44.

第32届全国高中化学竞赛清北学堂模拟试一

（9:00 ~ 12:00）

题号 满分 得分 评卷人 1 6 2 25 3 13 4 6 5 8 6 13 7 9 8 9 9 11 总分 100 ·竞赛时间3小时。迟到超过半小时者不能进考场。开始考试后1小时内不得离场。时间到，把试卷（背面朝上）放在桌面上，立即起立撤离考场。

·试卷装订成册，不得拆散。所有解答必须写在指定的方框内，不得用铅笔填写。草稿纸在最后一页。不得持有任何其他纸张。

·姓名、报名号和所属学校必须写在首页左侧指定位置，写在其他地方者按废卷论处。 ·允许使用非编程计算器以及直尺等文具。

H He 相对原子质量 1.008 4.003 Li Be B C N O F Ne 6.941 9.012 10.81 12.01 14.01 16.00 19.00 20.18 Na Mg Al Si P S Cl Ar 22.99 24.31 26.98 28.09 30.97 32.07 35.45 39.95 K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr 39.10 40.08 44.96

第32届全国高中化学竞赛清北学堂模拟试一

（9:00 ~ 12:00）

题号 满分 得分 评卷人 1 6 2 25 3 13 4 6 5 8 6 13 7 9 8 9 9 11 总分 100 ·竞赛时间3小时。迟到超过半小时者不能进考场。开始考试后1小时内不得离场。时间到，把试卷（背面朝上）放在桌面上，立即起立撤离考场。

·试卷装订成册，不得拆散。所有解答必须写在指定的方框内，不得用铅笔填写。草稿纸在最后一页。不得持有任何其他纸张。

·姓名、报名号和所属学校必须写在首页左侧指定位置，写在其他地方者按废卷论处。 ·允许使用非编程计算器以及直尺等文具。

H He 相对原子质量 1.008 4.003 Li Be B C N O F Ne 6.941 9.012 10.81 12.01 14.01 16.00 19.00 20.18 Na Mg Al Si P S Cl Ar 22.99 24.31 26.98 28.09 30.97 32.07 35.45 39.95 K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr 39.10 40.08 44.96