三阶线性微分方程解的结构

习题5.4(P306)

1. 用观察法求下列方程的一个特解.

(1) (x+1)y′′ 2xy′+2y=0

解：由于方程中y及y′的系数有关系：p(x)+xq(x)=0，故y=x为上述方程的一个特解.

(2) xy′′ (1+x)y′+y=0

解：由于方程中y及其各阶导数的系数之和为零，故y=e为上述方程的一个特解.

2. 用常数变易法求方程y′′+y=tanx的通解.

解：方程所对应的齐次方程的特征方程为r+1=0，特征根为r1,2=±i， 故方程所对应的齐次方程的通解为y=C1cosx+C2sinx

设非齐次方程的特解为y0=C1(x)cosx+C2(x)sinx， 22x

′=C1′(x)cosx C1(x)sinx+C2′(x)sinx+C2(x)cosx 则y0

′(x)sinx=0′(x)cosx+C2令C1(1)

′= C1(x)sinx+C2(x)cosx 故y0

′′= C1′(x)sinx C1(x)cosx+C2′(x)cosx C2(x)sinx y0

′(x)sinx+C2′(x)cosx=tanx代入原方程得 C1(2)

sin2x′(x)= ′(x)=sinx， 联立(1)(2)解得C1，C2cosx

sin2x解得C1(x)=∫

习题5.4(P306)

1. 用观察法求下列方程的一个特解.

(1) (x+1)y′′ 2xy′+2y=0

解：由于方程中y及y′的系数有关系：p(x)+xq(x)=0，故y=x为上述方程的一个特解.

(2) xy′′ (1+x)y′+y=0

解：由于方程中y及其各阶导数的系数之和为零，故y=e为上述方程的一个特解.

2. 用常数变易法求方程y′′+y=tanx的通解.

解：方程所对应的齐次方程的特征方程为r+1=0，特征根为r1,2=±i， 故方程所对应的齐次方程的通解为y=C1cosx+C2sinx

设非齐次方程的特解为y0=C1(x)cosx+C2(x)sinx， 22x

′=C1′(x)cosx C1(x)sinx+C2′(x)sinx+C2(x)cosx 则y0

′(x)sinx=0′(x)cosx+C2令C1(1)

′= C1(x)sinx+C2(x)cosx 故y0

′′= C1′(x)sinx C1(x)cosx+C2′(x)cosx C2(x)sinx y0

′(x)sinx+C2′(x)cosx=tanx代入原方程得 C1(2)

sin2x′(x)= ′(x)=sinx， 联立(1)(2)解得C1，C2cosx

sin2x解得C1(x)=∫

Some Properties of Solutions of Periodic Second Order

Linear Differential Equations

1. Introduction and main results

In this paper, we shall assume that the reader is familiar with the fundamental results and the stardard notations of the Nevanlinna's value distribution theory of meromorphic functions [12, 14,

(f)and (f)to denote respectively the order 16]. In addition, we will use the notation (f)，

of growth, the lower order of growth and the exponent of convergence of the zeros of a meromorphic function f， e(f)（[see 8]），the

浙江省精品课程--高等数学AⅠ教案（同济六版）2013----------宁波工程学院

补讲2 常数变易法、可降阶方程

1、主要教学目标

1、一阶线性微分方程的标准形式及其解法；

2、三种可降阶微分方程的解法；

2、重点内容

1、一阶线性微分方程的解法及解的结构； 2、常数变易法；

3、三种可降阶微分方程的解法。 3、难点分析

1、用变量代换将伯努利方程转化为线性方程并求解； 2、常数变易法、用变量代换法求解微分方程。 4、对教材的处理及其教学提示

微分方程求解重在掌握思想方法，积分运算不宜过难，淡化伯努利(Bernoulli)方程的标准形式及其解法

5、作业布置P315-1（1）； 2（1）；3； P323-1（1、5、7）；4

一、线性方程

?P(x)dx. 1、通解公式 y?Ce?2、非齐次线性方程的解法----常数变易法

实质: 未知函数的变量代换。新未知函数u(x)?原未知函数y(x),

?P(x)dx?P(x)dxP(x)dx?u(x)[?P(x)]e?, 作变换y?u(x)e?，求导 y??u?(x)e??P(x)dxP(x)dx?Q(x),积分得 u(x)??Q(x)e?将y和y?代入原方程得u?(x)e?dx?C,

3、

用拉氏变换法解线性微分方程

一 基本定义

若函数f(t)，t为实变量，线积分

∫ f(t)e-st dt (s为复变量)存在，

0∞

则称其为f(t)的拉氏变换，记为F(s)或￡[f(t)]，即F(s)=￡[f(t)]=∫ f(t)e-st dt

0

∞

常称：F(s)→f(t)的象函数；

f(t) →F(s)的原函数。 二 基本思路

用拉氏变换解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化成代数运算

三 典型函数的拉氏变换 1、单位阶跃函数

f(t)=1(t)= 1 t≧0 0 t <0

F(s)=￡[f(t)]= ∫ f(t)e-st dt =∫ 1 e-st dt =1/s

0∞

∞ 0

微分方程 拉氏变换 象函数 解代数方程 象原函数 （微分方程解） 拉氏反变换 象函数 代数方程 f(t) 1 0

t

2、单位斜坡函数 f(t)= t 1(t) = t t≥0

0 t<0

-st 2

F(s)=￡[f(t)]= ∫0 t edt =1/s

∞

f(t) t

3、等加速度函数

f(t) = 1/2 t2

第31卷 第4期 文章编号:1000-2367(2003)04-0024-05

河南师范大学学报(自然科学版)

Vol.31 No.4线性Volterra积分微分方程解的稳定性与有界性

李雅烽,安 薇

(济南教育学院,山东济南250001)

¹

摘 要:通过构造非正定的、导数非负的Liapunov泛函,得到一些保证线性Volterra积分微分方程解的稳定性

与有界性的充分条件,推广了文献[1~2]中相应的结果.

关键词:线性Volterra积分微分方程;稳定性;有界性

中图分类号:O175.6 文献标识码:A考虑线性Volterra积分微分方程

xc=A(t)x+

与

xc=A(t)x+

QC(t,s)x(s)ds+f(t)

t

(1)

QC(t,s)x(s)ds

t0

n

(2)

其中函数矩阵A(t)=(aij(t))n@n在[0,])上连续,函数矩阵C(t,s)=(cij(t,s))n@n当0FsFt<]时连续,n维函数列向量f(x)在(-],+])上连续.

如果U:[0,t0]yRn是连续的初始函数,则用x(t)=x(t,t0,U)表示系统(1)或(2)在[t0,+])上的解,当tI[0,t0]时,x(t)=U(t),且记+U+=0m

一阶线性微分方程教学中的一点体会

摘要：通过对一个一阶线性微分方程组的求解，既让学生能够掌握简单的一阶线性微分方程组求解方法，又可以让学生较好地体会到《线性代数》课程的重要性。

关键词：一阶线性微分方程组；特征值；特征向量；线性变换 中图分类号：g642.1 文献标志码：a 文章编号：1674-9324（2013）19-0168-01

本学期，由于课程设置的调整，部分新生第一学期就开始学习《线性代数》这门课程了。在和他们交谈的过程中，部分学生反映这门课程没有什么作用，内容上主要是一些具体的运算，比如：计算行列式的值，计算矩阵的和、积、逆，求方阵的特征值、特征向量以及将方阵对角化等等。好像与实际应用一点关联也没有。 事实上，《线性代数》是一门非常重要的课程，其在很多专业课程中都有广泛的应用，只是学生没有认识到这一点。因此，我们有必要选择一些较为合适的例题，通过这些例题的讲解，既能够让学生易于接受，又可以让学生认识到《线性代数》课程的重要性，从而更好地激发他们的学习热情。为此，在一阶线性微分方程的教学当中，可以通过下面这个例题的讲解来达到我们的目的。 例：求一阶线性微分方程组

■=-x1（t）+2x2（t）■=3x1（t）-2x2（t） （1）

2011-12-22

山东大学数学学院08级基地班 信息与计算科学专业 乔珂欣 学号 200800090114

微分方程数值解报告

目 录

一维变系数二点边值问题的中心差分数值解法 ....................................................... 3

1.中心差分格式的建立 ....................................................................................................................... 3 2.算例 ................................................................................................................................................... 5

二维常系数椭圆问题五点中心差分 ....................................................................

2011-12-22

山东大学数学学院08级基地班 信息与计算科学专业 乔珂欣 学号 200800090114

微分方程数值解报告

目 录

一维变系数二点边值问题的中心差分数值解法 ....................................................... 3

1.中心差分格式的建立 ....................................................................................................................... 3 2.算例 ................................................................................................................................................... 5

二维常系数椭圆问题五点中心差分 ....................................................................

论文常系数线性微分方程的解法

常系数线性微分方程的解法

摘 要

本文主要介绍了常系数线性微分方程的解法。由于在讨论常系数线性微分方程的解法时，需要涉及实变量的复值函数及复值数函数问题，所以文章首先给予介绍。然后，本文又通过构造特征方程运用代数运算分情况给出常系数齐次线性微分方程的具体解法，并引出可以化为此方程形式的欧拉方程。有了前面讨论的结果，对于常系数非齐次线性微分方程可以采用常数变易法，这里没有具体介绍，而是介绍具有某些特殊形式的非齐次线性微分方程的解法，即比较系数法和拉普拉斯变换法。

关键词：复值函数与复指数函数，齐次线性微分方程，欧拉方程，非齐次线性微分方程，比较系数法，拉普拉斯变换法

The Methods of Solving Linear Differential Equation with Constant Coefficients

This paper describes the methods of solving linear differential equation with constant coefficients. First of all, the paper below will describe complex-va