一个线性矩阵不等式

线性矩阵不等式

第7章线性矩阵不等式7.1线性矩阵不等式的一般表示一个线性矩阵不等式是具有形式F ( x )= F0+ x1 F1+…… x m Fm 0(7.1.1)

的一个表达式。其中 x1,……, x m,是 m个实数变量，称为线性矩阵不等式(7.1.1)的决策变量，

x= ( x1,…,xm ) T∈ R m是由决策变量构成的向量，称为决策向量， Fi= Fi T∈ R n× n,i=0,1,…,m是一组给定的实对称矩阵， (7.1.1)中的不等号“<”指的是矩阵 F(x)是负定的，即对所有非零的向量 v∈ R, v F ( x )v 0或者 F(x)的最大特征值小于零。m

T

线性矩阵不等式

在许多系统与控制问题问题中，问题的变量是以矩阵的形式出现的。例如 Lyapunov矩阵不等式：

F ( X )= AT X+ XA+ Q 0其中：A, Q∈ Rn×n

(7.1.2)n×n

是给定的常数矩阵，且 Q是对称的， X∈ R

是对称的未知矩阵变量因

此该矩阵不等式中的变量是一个矩阵。设 E1,E2,…,EM是 Sn中的一组基，则对任意对称

X∈R

n×n

,存在 x1,x2,…xM,使得 X=

∑x Ei=1 i

一、线性矩阵不等式的LMI工具箱求解 （一）可行性问题（LMIP）

1、可行性问题描述

系统状态方程：

?x1?x?2??x3??0???0??????-41?200??1??1???x1?x?2??x3??0?????0?u? ???????4??在判断系统的稳定性时，根据线性定常系统的李雅普诺夫稳定性判据，需要判断是否存在实对称矩阵P，使得：

AP+PA=?Q

成立，其中Q为正定矩阵。

那么判断系统稳定性的问题，可以转化为下面不等式是否存在解的问题：

TAP+PA<0

这种不等式解是否存在的问题可以用MATLAB的LMI工具箱进行判断。

T2、仿真所需要用到的命令

setlmis([]) ：开始一个线性矩阵不等式系统的描述； X= lmivar(TYPE,STRUCT)：定义一个新的矩阵变量；

lmiterm(TERMID,A,B,FLAG)：确定线性矩阵不等式的一个项的内容； LMISYS = getlmis：结束一个线性矩阵不等式系统的描述，返回这个现行矩阵不等式系统的内部表示向量LMISYS；

X = dec2mat(LMISYS,DECVARS,XID)：由给定的决策变量得到相应的矩阵变量值。

[tmin,xfeas]=feas

阜宁县第一高级中学高二复习教案（一）

不等式的解法及应用、线性规划

姓名 班级 学号

教学内容：

不等式解法及应用；线性规划

教学重点：

不等式解法及应用；线性规划

一. 基本知识回顾 1. 不等式的解法

解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与“等式变形”并列的“不等式的变形”，是研究数学的基本手段之一。

高考试题中，对解不等式有较高的要求，近两年不等式知识占相当大的比例。

同解不等式（1）f(x)?g(x)与f(x)?F(x)?g(x)?F(x)同解； （2）m?0，f(x)?g(x)与mf(x)?mg(x)同解，m?0，f(x)?g(x)与

mf(x)?mg(x)同解；

f(x)?0g(x)（3）与f(x)?g(x)?0(g(x)?0）同解；

2. 一元一次不等式

解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的基础，必须熟练掌握，灵活应用。

?(1)a?0?ax?b?分?(2)a?0??(3)a?0情况分别解之。

3. 一元二次不等式

ax2?bx?c?0(a?0)或ax2?bx?c?0(a?0)?分a?0及a?0情况分别解

2之，还要注意??b?4ac三种情况，即??0或??0或??0

(一)不等式概念和性质错解例析

初学不等式，由于对概念及性质理解不够深刻，有些同学常出现一些错误，现举例分析,望能引以为戒

一、理解概念不透致错

例1、下列给出四个式子，

①x>2 ②a≠0 ③5<3 ④a≥b 其中是不等式的是（ ）

A、①④ B、①②④ C、①③④ D、①②③④

错解、选A

分析、不等式是指形式上用“<”、“>”、“≤”、“≥”、“≠”连接的式子，不受其是否成立的影响，5<3是不等式，只不过这个不等式不成立，另外a≠0也是不等式，因为“≠”也是不等号， 正解、选D

二、符号意义不清致错 例2、下列不等式

①2a>a ②a2+1>0 ③8≥6 ④x2≥0 一定成立的是（ ）

A、②④ B、② C、①②④ D、②③④

错解、选A

分析、导致本题错误的原因是对“≥”理解不正确，“≥”的意义是“>”或“=”，有选择功能，二者成立之一即可，事实上也只能二者取一，不等号两边的量不会既“>”又“=”，所以，对8≥6的理解应是“8大于6”，对x2≥0的理解应是，“当x=0时，x2=0；当x≠0时，x2>0” 正解、选D

例3、不等式x>-2的解集在数轴上表示正确的一项是（ ）

A B C

D

错解，选A

分析、对不等式的解集在数轴上的表示方法不清出错，在数轴上表示不等式的解集时，实心

初二数学备课组

最新中小学教案、试题、试卷

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

【考点梳理】

1．二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式 表示区域 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有不包括边界直线 点组成的平面区域 包括边界直线 Ax＋By＋C>0 Ax＋By＋C≥0 不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分 2．线性规划中的相关概念 名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 【考点突破】 考点一、二元一次不等式(组)表示的平面区域

【例1】(1)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )

意义 由变量x，y组成的不等式(组) 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等 关于x，y的一次解析式 满足线性约束条件的解(x，y) 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

A． B． C． D．

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x＋y－2

一元一次不等式及不等式组培优 一、一元一次不等式和函数

1.一次函数y=kx+b（k，b是常数，k?0）的图象如图所示，则不等式kx+b>0的解集是 ；

不等式kx+b<2的解集是 ； 当x<0时，y的取值范围是 ；

当x>-2时，y的取值范围是 ．

2.直线l1：y?k1x?b与直线l2:y?k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关

y 于x的不等式k2x?k1x?b的解集为 ．

3.一次函数y=5x-2m与与y=3x-6m+1交于第四象限，m的范围___________．

3 -1.5 o x

4．已知2x+y=5，当x满足条件 时，﹣1≤y＜3．

5．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2），B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b＜4的解集为 ．

6．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解是 ．

二、二元一次方程组和不等式 1．已知方程组

的解为负整数，求整数a的值．

2．已知方程组值．

3．已知方程组

（1）求m的取值范围； （2）化简：|

中考专题复习

第2讲 不等式与不等式组

一级训练

1．(2012年广东广州)已知a＞b，c为任意实数，则下列不等式中总是成立的是( ) A．a＋c＜b＋c B．a－c＞b－c C．ac＜bc D．ac＞bc 2．(2012年四川攀枝花)下列说法中，错误的是( )

A．不等式x＜2的正整数解中有一个 B．－2是不等式2x－1＜1的一个解 C．不等式－3x＞9的解集是x＞－3 D．不等式x＜10的整数解有无数个

3．(2012年贵州六盘水)已知不等式x－1≥0，此不等式的解集在数轴上表示为(

)

4．(2012年湖北荆州)已知点M(1－2m，m－1)关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是(

)

2x－1≥x＋1，

5．(2012年山东滨州)不等式 的解集是( )

x＋8≤4x－1

A．x≥3 B．x≥2 C．2≤x≤3 D．空集

x－1≥0，

6．(2012年湖北咸宁)不等式组 的解集在数轴上表示为(

)

4－2x＞0

7．(2012年湖南益阳)如图2－2－2，数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集(

)

图2－2－2

x≥－5， x＞－5， x＜5， x＜5， A. B. C. D. x＞－3

第四章 微积分中值定理与证明 4.1 微分中值定理与证明

一 基本结论

1．零点定理：若f(x)在[a,b]连续，f(a)f(b)?0，则???(a,b)，使得f(?)?0． 2．最值定理：若f(x)在[a,b]连续，则存在x1,x2使得f(x1)?m,f(x2)?M．其中

m,M分别是f(x)在[a,b]的最小值和最大值．

3．介值定理：设f(x)在[a,b]的最小值和最大值分别是m,M，对于?c?[m,M]， 都存在???[a,b]使得f(?)?c．（或者：对于?c?(m,M)，都存在???(a,b)使得

f(?)?c）

4．费玛定理：如果x0是极值点，且f(x)在x0可导， 则 f?(x0)?0．

5．罗尔定理：f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，f(a)?f(b)，则???(a,b)使得

f?(?)?0．

6．拉格朗日定理：f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，，则???(a,b)使得

f(b)?f(a)?(b?a)f?(?)．

) 7．柯西定理：f(x)，g(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，且g?(x)?0，则???(a,b使得

f(b)?f(a)f?(?)?．

g(b)?g(a)g?(?)8．泰勒公

不等式知识

目录：

三道小题

（一）一些基础。。。

（二）不等式的一些直观解释。。。 （三）谈谈放缩法。。。 （四）杂谈 关于配方法。。。 （五）杂谈 差分代换。。。

（六）杂谈 谈谈切线法及其推广 （七）介绍几个重要的不等式①。。。 （八）介绍几个重要的不等式②。。。 （九）杂谈 再谈配方法。。。。

（十）关于函数实根分别和不等式解集问题。。。。。。。

（十一）谈谈齐次形式不等式的程序化处理①对称整理类。。。 （十二）谈谈齐次形式不等式的程序化处理②Schur拆分法。。。 （十三）细化赫尔德(H?lder)不等式&引入闵可夫斯基(Minkowski)不等式。。。。 （十四）幂平均函数及其他。。。。。。。 （十五）SOS定理。。。

（十六）凸函数理论及受控理论。。。

（十七）杂谈 克劳修斯（Clausius）不等式与热力学第二定律。。。。 （十八）关于机械化方法的历史。。。 （十九）多元函数极值的偏导方法。。。。 （二十）解析——几何与代数的桥梁 小测试 A（轮换不等式） 小测试 B（含参情况） 小测试 C（对称破缺）

出三道小题，作为你们的自我检测，如果做不上来，你你还需要多练习练习。如果可以，那我们继续看：

①对于实数 x , y

不错的不等式题目

2006

1、均值不等式的理解

1．如果正数a，b，c，d满足a b cd 4，那么（ ） Ａ．ab≤c d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一 Ｂ．ab≥c d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一 Ｃ．ab≤c d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一 Ｄ．ab≥c d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一 答案：A

2、均值不等式的应用

1．若x，y R+，且x 4y 1，则x y的最大值是 ． 答案：

116

2．已知x 0，y 0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则最小值是（ ） Ａ．0 Ｂ．1

(a b)cd

2

的

Ｃ．2 Ｄ．4

3

是1 a和1 a的等比中项，则a 3b的最大值为（ ） A．1

B．2

C．3

2aba 2b

5

D．4

的最大值为（ ）

4．若a是1 2b与1 2b的等比中项，则

15

Ｂ．

4

Ｄ．

2

答案：B

3、其他不等式性质

1．设a，b是非零实数，若a b，则下列不等式成立的是（ ） Ａ．a b Ｂ．ab答案：C

4、解复杂不等式

1．解不等式(3x 1 1)(sinx 2) 0．

解：因为对任意x R，sinx 2 0，所以原不等式等价于3