标志着量子力学诞生的物理量

(Quantum Mechanics)班级 ： 应 物 0902

学号： 200948410222 姓名： 孙 立 志

2005年是光的量子理论诞生100周年 ------世界物理年南点 “ 2005 4 19 30 分年 “月 照 ”日 过晚 济 爱 因 斯 坦 之 光 ” 于 7

量子力学的诞生

什么是量子力学？ 研究微观粒子(原子、分子、基本粒 子等)运动规律的科学

用STM所做的 “量子围栏” 48个铁原子排列在 铜表面 证明电子的波动性

经典物理学的成功 到了19世纪末，已建立了三大物理理论： 牛顿力学： 确定了宏观经典粒子的运动规律；

麦克斯韦电动力学： 确定了电磁场和电磁波的运动规律；

热力学和统计物理： 确定了热平衡态的物性。

虽然三大经典理论在解释某些自然现象取得了巨大的成功，但它们存在局限

性，譬如：

牛顿力学 (包括后来建立的相对论力学)

只局限于研究物体在其外在时 空中的机械运动，并没有涉及 到物体的物质结构和物质的内 禀属性等问题

光学 (包括后来的电磁波理论)

只局限于研究光的传播，并 未真正涉及到光的产生、吸 收和光与物质的相互作用的 物理机制。

量子论的提出背 景 物理学出现了一些物理现象与经典理论解释相矛盾。如黑体辐射问 题，光电

第三章例题剖析

L21 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是H?，L为角动量，求与此对应

2I的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数。 （1）转子绕一固定轴转动 （2）转子绕一固定点转动

???i?[解]：（1）Lz? ??22????(?)?E?(?)，or ?能量的本征方程： H?(?)?E?(?) 22I??2IE2引入 ??2

?由波函数的单值性 ?(2???)??(?)

n2?2?En?，??Aein?

2I1其中 A?

2??2L?（2） H?，在球极坐标系中 2I??(?,?)?E?(?,?) 体系的能量算符本征方程：H其中??2IE，以上方程在0????的区域内存在有限解的条件是?必须取l(l?1)，2?(l?0,1,2,?)，即 ??l(l?1) l?0,1,2,?

于是方程的形式又可写成 此方程是球面方程，其解为

2IE，可解得体系的的能量本征值 ?132 氢原子处于 ??r,?,????321?r,?,????211?r,?,??

44由??l(l?1)及??状态，求：

（1）归一化波函数

（2）能量有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些可能值的概率，并求平均值

当经典物理遇上量子力学

量子力学来源于那晴朗天空中的两朵乌云之一，正是那朵乌云引起了人们对物理世界的重新认识。量子力学的重要性不亚于当年的牛顿力学，其在物理学史上具有划时代意义，对于研究原子、分子、凝聚态物质，以及原子核和基本粒子的结构、性质具有重要的作用。 此前经典物理曾取得了一系列的重大成就，然而在19 世纪末，德国物理学家维恩发现的热辐射理论却是用经典物理所无法解释的，正是这一成果促进了量子力学的产生。从此出现了一门与经典力学不同的理论的诞生。

量子力学与经典力学的核心差异在于对粒子与波的认识。经典力学认为粒子与波是完全不同的，两者毫无联系，相互独立。而量子力学认为物质具有波粒二象性，统一了粒子与波。

对于经典物理的基本观念有连续性，因果性，确定性。我们可以用r,p,t等物理量来准确的描述物体的运动状态等。但量子力学的思想在于不连续性，不因果性，不确定性。不连续性是指物质和能量都有最小的单位，是一份一份的;不确定性认为人们无法同时给定物质所有的参数，一个知道的越详细，另一个就越不准确；不因果性则是即使你知道所有参数（虽然理论上不能），你得到的也只是个概率的结果。于是量子力学采用波函数来描述粒子的状态，量子力学中的力学量可以用由满足一定条

量子力学的变分法-量子力学的变分法

　　当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。　　
量子力学的变分法-量子力学的变分法
解薛定谔方程的一种应用范围极广的近似方法
对于束缚定态
它是基于能量本征值方程（即不含时间的薛定谔方程）与能量变分原理的等价性
通过求能量的极值得到能量本征值方程的解
在处理具体问题时
总是采用波函数某种特殊的变化去代替最普遍的任意变分
这样就可得到依赖于波函数特殊形式的近似解
这种方法称为变分法

　　若体系的哈密顿量算符为彑
其能量本征值方程为

(1)
该体系的能量平均值
(2)
是波函数φ的泛函
式中表示对体系全部坐标积分
可以证明
求彑的本征值方程
等价于求解
(3)
也就是满足变分原理(3)的φ为彑的本征函数
唕的极值为所对应的本征值
即
(4)
　　这样
如果能猜测到一个φ正好满足式(1)
则由式(2)所得的唕【φ】等于E
如果猜测的φ与ψ 略有不同
则唕【φ】必定大于E
因而唕【φ】总是给出唕的一个上限
当做了多次猜测之后
其中最小的唕一定是这些猜测中最好的
这样就把最小的唕取作E的近似值
应用以上手续可得到一种通过猜测去计算能量近似值的方法
改善波函数通常是通过一个含连续参数的特殊形式的波函数φ(q
α1
α2
α3
...)来实现

第三章

力学量用算符表达

3.1

算符的运算规则

(一)算符定义 (二)算符的一般特性

(一)算符定义代表对波函数进行某种运算或变换的符号 由于算符只是一种运算符号，所以它 单独存在是没有意义的，仅当它作用 于波函数上，对波函数做相应的运算 才有意义，例如： 1)du / dx = v , d / dx 就是算符，其作用 是对函数 u 微商， 故称为微商算符。

Ôu=v 表示 Ô 把函数 u 变成 v, Ô 就是这种变 换的算符。

2)x u = v, x 也是算符。 它对 u 作用 是使 u 变成 v。

(二)算符的一般特性(1)线性算符 (2)算符相等 (3)算符之和 (4)算符之积 (5)对易关系 (6)对易括号 (7)逆算符 (8)算符函数 (9)复共轭算符 (10)转置算符 (11)厄密共轭算符 (12)厄密算符

(1)线性算符

满足如下运算规律的 算符 Ô 称为线性算符动量算符 单位算符 是线性算符。 p i I

Ô(c1ψ1+c2ψ2)= c1Ôψ1+c2Ôψ2 其中c1, c2是任意复常数， ψ1, ψ1是任意两个波函数。 例如：

开方算符、取复共轭就不是线

初中物理

第二节 力学基本物理量及测量方法

物理学的发展离不开历史上很多伟大的物理实验，很多物理定律就是通过实验来验证或者是实验基础上的推理得到的，物理学的大厦中镶嵌着无数令人瞠目结舌的精妙实验。古人说九尺之台，起于垒土，我们对物理力学的学习，就从基本的力学物理量和简单的测量方法开始。 1．力学的基本物理量

在物理学中，我们用物理量来描述物体的固有的性质和运动的状态。物理量分为基本物理量和导出物理量。力学中通常选长度、质量、时间为基本物理量，这三个物理量可以导出所有力学的导出物理量，例如速度（如右图）。导出物理量是根据物理量的定义由基本物理量组合而成的。

物理量要同时用数字和单位两部分来表示，否则不产生任何物理意义。 1．1．长度和长度单位

我们用长度这个物理量来表示物体的大小。在国际单位制中，长度的单位是米(m)。为了方便我们也经常使用千米(km)、分米(dm)、厘米(cm)、毫米(mm)、微米(?m)和纳米(nm)等长度单位。

1m=10—3km＝10dm＝102cm＝103mm

《量子力学》题库

一、简答题

1 试写了德布罗意公式或德布罗意关系式，简述其物理意义 答：微观粒子的能量和动量分别表示为： E?h????

??h?p?n??k

?其物理意义是把微观粒子的波动性和粒子性联系起来。等式左边的能量和动量是描述粒

子性的；而等式右边的频率和波长则是描述波的特性的量。

2 简述玻恩关于波函数的统计解释，按这种解释，描写粒子的波是什么波？

答：波函数的统计解释是：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。按这种解释，描写粒子的波是几率波。

3 根据量子力学中波函数的几率解释，说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。

答：根据量子力学中波函数的几率解释，因为粒子必定要在空间某一点出现，所以粒子在空间各点出现的几率总和为1，因而粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度而不决定于强度的绝对大小；因而将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，这是其他波动过程所没有的。

4 设描写粒子状态的函数?可以写成??c1?1?c2?2，其中c1和c2为复数，?1和?2为粒子的分别属于能量E1和E2的构成完备系的能量本征态。试说明式子??c1?1?c2?

一、 填空题

1．玻尔的量子化条件为 。 2．德布罗意关系为 。

3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为 。 4．波函数的统计解释：_____________________________________ __________________________________________________________ 5．

为归一化波函数，粒子在

方向、立体角

内出现的几率

为 ，在半径为 ，厚度为 为 。

的球壳内粒子出现的几率

6．波函数的标准条件为 。 7．

，

为单位矩阵，则算符

的本征值为__________。

8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子 ___________守恒。

9．力学量算符应满足的两个性质是 。 10．厄密算符的本征函数具有

河南科技大学物理工程学院教案（李同伟） 第四章 态和力学量的表象

第四章 态和力学量的表象

§4-1 状态的表象

一、表象

?具有断续谱，它满足的本征方程为 设力学量算符F?u(x)?fu(x) Fnnn?算符F具有一组正交归一完备的本征函数系?un(x)?。如果把?un(x)?作为一组基矢（或称为基底），则它们张开一个空间。由展开假设可知，对任意一个状态?(x,t)，则有

?(x,t)??cn(t)un(x)

n显然，?(x,t)就是该空间中的一个矢量，所以也称为态矢。因此，这个空间就称为态矢空间，也叫做希尔伯特空间。每一个物理上允许的波函数都是态矢空间中的一个元素，量子力学的所有活动都在这个空间内进行。

?的本征函数系?u(x)?作为基矢组，上面讨论的空间是以F所以称为F表象下的态矢空n间。?(x,t)的展开系数

*cn(t)??un(x)?(x,t)dx

???表示态矢?(x,t)在un(x)上的投影。

若波函数?(x,t)和un(x)都已经归一化，则

????***?*(x,t)?(x,t)dx??cmcn?umundx??cmcn?mn??cnmn??mnn?2?1

河南科技大学物理工程学院教案（李同伟） 第四章 态和力学量的表象

第四章 态和力学量的表象

§4-1 状态的表象

一、表象

?具有断续谱，它满足的本征方程为 设力学量算符F?u(x)?fu(x) Fnnn?算符F具有一组正交归一完备的本征函数系?un(x)?。如果把?un(x)?作为一组基矢（或称为基底），则它们张开一个空间。由展开假设可知，对任意一个状态?(x,t)，则有

?(x,t)??cn(t)un(x)

n显然，?(x,t)就是该空间中的一个矢量，所以也称为态矢。因此，这个空间就称为态矢空间，也叫做希尔伯特空间。每一个物理上允许的波函数都是态矢空间中的一个元素，量子力学的所有活动都在这个空间内进行。

?的本征函数系?u(x)?作为基矢组，上面讨论的空间是以F所以称为F表象下的态矢空n间。?(x,t)的展开系数

*cn(t)??un(x)?(x,t)dx

???表示态矢?(x,t)在un(x)上的投影。

若波函数?(x,t)和un(x)都已经归一化，则

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