单位圆与三角函数线知识点

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必修四 三角函数1.2.2 单位圆与三角函数线

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本节课的任务:1、将三角函数值用图形表示出来。 1、会画任意角的三角函数线。 2、会简单应用三角函数线。

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复习引入:1、角的弧度制的定义？ 2、在直角坐标系内画出弧度为2、3、 4、5的角的终边的大体位置。 3、三角函数的定义是什么？ 4、当半径r为1时，角的弧度制和三角 函数的定义会怎样？

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单位圆 我们把 半径为1的圆叫做单位圆 在单位圆上，角终边和圆交 点的横坐标就是 ( cos ) 纵坐标就是( sin ) yP(cos ,sin )

x

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坐标能否用图像表示？yQ N OQ ON , NQ ?P P OM , MP

M

x

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方向：由轴上的点指向外面 1、有向线段 或由原点指向外面 大小：长度

记作： 、 、 ON MP OM NQ、

2、有向线段的数量 正负：与坐标轴同向为正 Q 反向为负 大小：长度 B N O

y

P P OM , MP

M

Ax

OA 1 OB 1

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y

三角函数线α

α的终边 P x

O

M

A(1

单位圆与三角函数线

由三角函数的定义我们知道，对于角 由三角函数的定义我们知道，对于角α 比值来表示的 的各种三角函数我们都是用比值来表示的， 的各种三角函数我们都是用比值来表示的， 或者说是用数来表示的， 或者说是用数来表示的，今天我们再来学习 正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法— 正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法 的另一种表示方法 —几何表示法 几何表示法

1.单位圆的概念 单位圆的概念一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆 一般地，我们把半径为 的圆叫做单位圆， 半径为 的圆叫做单位圆， 设单位圆的圆心与坐标原点重合， 设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与 x轴的交点分别为 轴的交点分别为 A(1,0),A’(-1,0). , , - ,A'(-1,0) B(0,1) y N O P(cosα ,sinα ) 1 x M A(1,0)

α

而与y轴的交点分别为 而与 轴的交点分别为 B(0,1),B’(0,- , , ,-1). ,-B'(0,-1)

2. 三角函数线设任意角α的顶点 设任意角 的顶点 在原点，始边与x轴的 在原点，始边与 轴的 正半轴重合， 正半轴重合，终边与 A'(-1,0) 单位圆相交于点P(x, 单位圆相交于点 ，

单位圆与三角函数线

由三角函数的定义我们知道，对于角 由三角函数的定义我们知道，对于角α 比值来表示的 的各种三角函数我们都是用比值来表示的， 的各种三角函数我们都是用比值来表示的， 或者说是用数来表示的， 或者说是用数来表示的，今天我们再来学习 正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法— 正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法 的另一种表示方法 —几何表示法 几何表示法

1.单位圆的概念 单位圆的概念一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆 一般地，我们把半径为 的圆叫做单位圆， 半径为 的圆叫做单位圆， 设单位圆的圆心与坐标原点重合， 设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与 x轴的交点分别为 轴的交点分别为 A(1,0),A’(-1,0). , , - ,A'(-1,0) B(0,1) y N O P(cosα ,sinα ) 1 x M A(1,0)

α

而与y轴的交点分别为 而与 轴的交点分别为 B(0,1),B’(0,- , , ,-1). ,-B'(0,-1)

2. 三角函数线设任意角α的顶点 设任意角 的顶点 在原点，始边与x轴的 在原点，始边与 轴的 正半轴重合， 正半轴重合，终边与 A'(-1,0) 单位圆相交于点P(x, 单位圆相交于点 ，

高一必修四：三角函数

一 任意角的概念与弧度制

（一）角的概念的推广

1、角概念的推广：

在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向，旋转多少度角就是多少度角。按不同方向旋转的角可分为正角和负角，其中逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角。习惯上将平面直角坐标系x 轴正半轴作为角的起始边，叫做角的始边。射线旋转停止时对应的边叫角的终边。

2、特殊命名的角的定义：

(1)正角，负角，零角 ：见上文。

(2)象限角：角的终边落在象限内的角,根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角等

(3)轴线角：角的终边落在坐标轴上的角

终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈?=,180|οββ

终边在y 轴上的角的集合： {}Z k k ∈+?=,90180|οοββ

终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90|οββ

(4)终边相同的角：与α终边相同的角2x k απ=+

(5)与α终边反向的角： (21)x k απ=++

终边在直线y =x 上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,45180|οοββ

终边在直线x y -=上的角的集合：{}Z k k ∈-?=,45180|οοββ

(6)若

i. 三角函数

1. 角?的终边与角??2k?,k?Z的终边相同.

例题：．与?2002终边相同的最小正角是_______________。 2．弧度制与角度制的互化：1rad（弧度）?3. 弧长公式：半径为R的圆的圆心角

0180?度?57.3?.

??0???2??所对弧的长l???R.

4. 扇形面积公式：设R是圆的半径，l是弧长，??0???2??为圆心角，S是扇形的面积；则S?11l?R???R2. 222例题：．设扇形的周长为8cm，面积为4cm，则扇形的圆心角的弧度数是 。

6. 常用三角不等式：

?（1）若x?(0,)，则sinx?2x?tanx；

?（2）若x?(0,)，则1?sinx?cosx?22；

7. 三角函数的定义：设?为任意角，?的终边上任取一点P(x,y)，则P点到

y 22r?x?y?0，则 原点的距离

?O? x

ysin??； cos??x； tan??y(x?0).

rrxcosx?sinx例题：．已知tanx?2，求的值。

cosx?sinx8. 三角函数在各个象限的符号判断：

例题：1．若cos???x=_____。

3，且?的终边过点P(x,2)，则?是第_____象限角，29.同角

1．角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称

为始边，终止位置称为终边。

2．象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角

的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

3．终边相同的角的表示：

（1）

终边与

终边相同(

的终边在终边所在射线上)

，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等。

如与角

的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧

度。（答：；

）

（2）终边与终边共线(的终边在终边所在直线上)

。

（3）终边与终边关于轴对称

。

（4）终边与终边关于轴对称

。

（5）终边与终边关于原点对称

。

（6）终边在轴上的角可表示为：；终边在轴上的角可表

示为：；终边在坐标轴上的角可表示为：

。

如的终边与的终边关于直线对称，则＝____________。（答：

）

4．

与

的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定。

是第二象限角，则

是第_____象限角（答：一、三）

5．弧

双直角三角形的求解

三角函数的知识点复习应用 1.锐角三角函数的定义： ∠A的正弦函数（简称∠

A

的正弦）：

sinA=a 的余弦函数（简称∠A的余弦）：cosA=

A

∠A的正切函数（简称∠A的正切）：tanA=

A的对边

＝

斜边 A的邻边

＝

斜边 A的对边

＝

A的邻边

∠A的余切函数（简称∠A的余切）：cotA=

同样用数学语言表示锐角B的四种三角函数为：

A的邻边

＝

A的对边

2.

1． 坡角：坡面与水平面的夹角α

坡度(也叫坡比)：坡面的铅直高度h与水平宽度l之比

h

常用i表示，即：i tan l

2． 视线与水平面的夹角中：

视线在水平面上方的叫仰角 视线在水平面下方的叫俯角

h

双直角三角形的求解

3．方位角：指北或指南的方向与目标线所成的锐角 OA表示北偏东25°，OB表示南偏

OC表示

4. 含双直角三角形的组合图形的演变

5.简单应用：

（1）(北京东城区2002)：在坡度为1：2的山坡

上种树，要求株距(和相邻两树间的水平距离)是6米， 问斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米

（2）右图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个扶梯比陡？ 6

5

二：用三角函数求解含有双直角三角形的组合图形问题 （甲） （乙） 1．典型的组合图形中，含双直角三角形，需要多次利用锐角

双直角三角形的求解

三角函数的知识点复习应用 1.锐角三角函数的定义： ∠A的正弦函数（简称∠

A

的正弦）：

sinA=a 的余弦函数（简称∠A的余弦）：cosA=

A

∠A的正切函数（简称∠A的正切）：tanA=

A的对边

＝

斜边 A的邻边

＝

斜边 A的对边

＝

A的邻边

∠A的余切函数（简称∠A的余切）：cotA=

同样用数学语言表示锐角B的四种三角函数为：

A的邻边

＝

A的对边

2.

1． 坡角：坡面与水平面的夹角α

坡度(也叫坡比)：坡面的铅直高度h与水平宽度l之比

h

常用i表示，即：i tan l

2． 视线与水平面的夹角中：

视线在水平面上方的叫仰角 视线在水平面下方的叫俯角

h

双直角三角形的求解

3．方位角：指北或指南的方向与目标线所成的锐角 OA表示北偏东25°，OB表示南偏

OC表示

4. 含双直角三角形的组合图形的演变

5.简单应用：

（1）(北京东城区2002)：在坡度为1：2的山坡

上种树，要求株距(和相邻两树间的水平距离)是6米， 问斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米

（2）右图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个扶梯比陡？ 6

5

二：用三角函数求解含有双直角三角形的组合图形问题 （甲） （乙） 1．典型的组合图形中，含双直角三角形，需要多次利用锐角

双直角三角形的求解

三角函数的知识点复习应用 1.锐角三角函数的定义： ∠A的正弦函数（简称∠

A

的正弦）：

sinA=a 的余弦函数（简称∠A的余弦）：cosA=

A

∠A的正切函数（简称∠A的正切）：tanA=

A的对边

＝

斜边 A的邻边

＝

斜边 A的对边

＝

A的邻边

∠A的余切函数（简称∠A的余切）：cotA=

同样用数学语言表示锐角B的四种三角函数为：

A的邻边

＝

A的对边

2.

1． 坡角：坡面与水平面的夹角α

坡度(也叫坡比)：坡面的铅直高度h与水平宽度l之比

h

常用i表示，即：i tan l

2． 视线与水平面的夹角中：

视线在水平面上方的叫仰角 视线在水平面下方的叫俯角

h

双直角三角形的求解

3．方位角：指北或指南的方向与目标线所成的锐角 OA表示北偏东25°，OB表示南偏

OC表示

4. 含双直角三角形的组合图形的演变

5.简单应用：

（1）(北京东城区2002)：在坡度为1：2的山坡

上种树，要求株距(和相邻两树间的水平距离)是6米， 问斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米

（2）右图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个扶梯比陡？ 6

5

二：用三角函数求解含有双直角三角形的组合图形问题 （甲） （乙） 1．典型的组合图形中，含双直角三角形，需要多次利用锐角

第一章 三角函数 任意角和弧度制知识点

任意角 知识点一、任意角 B 终边 总结：任意角构成要素为顶点、始边、终边、旋转方向、旋转量大小。

α 知识点二、直角坐标系中角的分类 始边 O 1、 象限角与轴线角 A β 2、 终边相同的角 与角α终边相同的角β集合为__________________

C 终边 轴线角的表示：

终边落在x轴非负半轴角的集合为_____________；终边落在x轴非正半轴角的集合为_______； 终边落在x轴角的集合为____________________。

终边落在y轴非负半轴角的集合为_____________；终边落在y轴非正半轴角的集合为_______； 终边落在y轴角的集合为____________________。 终边落在坐标轴角的集合为__________________ 。

象限角的表示 第一象限的角的集合为_________________ 第二象限的角的集合为_____________。

第三象限的角的集合为_________________； 第四象限的角的集合为____________。

例题1、判断下列各角分别是第几象限角：670°， 480°， -150°，