高等数学直线的一般式方程

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标 题: 关键词: 11.1（２）直线方程 直线点法向式方程、直线的一般式方程 教学目标 在理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程的基础上，进一步探究点法向式方程以及一般式方程；学会分类讨论、数形结合等数学思想，形成探究能力. 教学重点与难点 描 述: 直线的点法向式方程以及一般式方程； 理解直线点法向式方程以及一般式方程的推导. 学 科: 媒体格式: 资源类型: 作 者: 地 址: Email:

高二年级>数学第二册>11.1（2） 语 种: 教学设计.doc 文本类素材 朱敏慧 双阳路388号 zhuminhui@sohu.com 学习者: 教育类型: 单 位: 汉语 学生 高中教育>高中二年级 上海市控江中学

11．1 （２）直线方程

上海市控江中学 朱敏慧 一、教学内容分析

本节的重点是直线的点法向式方程以及一般式方程的推导及应用.在上一堂课的基础上，通过向量垂直的充要条件（对应坐标的关系式）推导出直线的点法向式方程.引导同学发现直线的点方向式方程、点法向式方程都可以整理成关于x、y的一次方程ax?by?c?0（a、b不全为零）的形式.

本节的难

编写人：王红卫 祖豆蔻 审核人：郑战彪 班级：17级 班

学习目标： 1、掌握直线方程的两点式、截距式、一般式以及他们之间的联系和转化；

2、根据条件熟练地求出满足已知条件的直线方程；

3、培养学生分析、比较、概括、化归的数学能力；

重点与难点： 1、直线方程的两点式、一般式；

2、对于一元二次方程表示直线方程的理解；

一、课前准备 1、一般地，如果直线l 上 ，且 ，我们就把这样的方程称为直线l 的方程。

2、如果直线l 经过000(,)p x y ，且斜率为k ，设点(,)P x y 是直线l 上任意一点，可以得到，当0x x ≠时，00

y y k x x -=-，即 （1），我们称（1）式的方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。

【创设情景】

探究一

平面内，两点确定一条直线，在平面直角坐标系中，已知直线l 经过两点11122,2(,),()P x y P x y （其中0x x ≠），则直线l 的方程式什么

归纳总结：直线方程的两点式为

例1

探究二

在坐标平面内，画直线时常选取坐标轴上

§7.8 空间直线及其方程一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程方向向量、直线的对称式方程、直线的参数方程

三、两直线的夹角两直线的夹角及夹角余弦、两直线平行与垂直的条件

四、直线与平面的夹角直线与平面的夹角、夹角正弦 直线与平面平行与垂直的条件

五、杂例平面束

一、空间直线的一般方程空间直线L可以看作是两个平面 1和 2的交线. 如果两个相交平面 1和 2的方程分别为 A 1x B 1y C 1z D 1 0和A 2x B 2y C 2z D 2 0, z 那么直线L上的任一点的坐标应满足方程组 A1 x B1 y C1 z D1 0, A2 x B2 y C2 z D2 0.

1L

2

反过来，如果点M不在直线 L 上， 那么它不可能满足上述方程组.因此， 直线L可以用上述方程组来表示. 上述方程组叫做空间直线的一般方程. x O y

二、空间直线的对称式方程与参数方程方向向量： 如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这 条直线的方向向量. z s

O x

y

二、空间直线的对称式方程与参数方程方向向量： 如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这 条直线

§7.8 空间直线及其方程一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程方向向量、直线的对称式方程、直线的参数方程

三、两直线的夹角两直线的夹角及夹角余弦、两直线平行与垂直的条件

四、直线与平面的夹角直线与平面的夹角、夹角正弦 直线与平面平行与垂直的条件

五、杂例平面束

一、空间直线的一般方程空间直线L可以看作是两个平面 1和 2的交线. 如果两个相交平面 1和 2的方程分别为 A 1x B 1y C 1z D 1 0和A 2x B 2y C 2z D 2 0, z 那么直线L上的任一点的坐标应满足方程组 A1 x B1 y C1 z D1 0, A2 x B2 y C2 z D2 0.

1L

2

反过来，如果点M不在直线 L 上， 那么它不可能满足上述方程组.因此， 直线L可以用上述方程组来表示. 上述方程组叫做空间直线的一般方程. x O y

二、空间直线的对称式方程与参数方程方向向量： 如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这 条直线的方向向量. z s

O x

y

二、空间直线的对称式方程与参数方程方向向量： 如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这 条直线

3.2.3 直线的一般式方程

[A级 基础巩固]

一、选择题

1．直线Ax＋By＋C＝0，通过第二、三、四象限，则系数A，B，C需满足条件( ) A．C＝0，AB<0 C．A，B，C同号

B．AC<0，BC<0 D．A＝0，BC<0

解析：由题意可知B≠0，由Ax＋By＋C＝0，得y＝－x－. 因为直线Ax＋By＋C＝0通过第二、三、四象限，

ABCBA－<0，??B所以?则A，B，C同号．

C??－B<0，

答案：C

2．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( ) A．1 C．－2或－1

B．－1 D．－2或1

解析：当截距都为0时，－2－a＝0，即a＝－2；当截距都不为0即a≠－2时，直线方程可变形为

ya＋2＋＝1，由已知有＝a＋2，解得a＝1.故a的值为－2或1. a＋2a＋2aax答案：D

3．直线＋＝1与x，y轴所围成的三角形的周长等于( )

34A．6 C．24

B．12 D．60

xy解析：直线＋＝1与两坐标轴交于A(3，0)，B(0，4)，所以AB＝5，所以△AOB的周长为

34

xyOA＋OB＋AB＝3＋4＋5＝12.故选B.

答案：B

4．直线y＝3x＋6与直线y＝(m＋2)x＋3m－2平行，则直线y＝(m＋2)x＋3m－2在y轴上的截距为( )

A．1

B．2

- 1

3.2.3 直线的一般式方程

[A级 基础巩固]

一、选择题

1．直线Ax＋By＋C＝0，通过第二、三、四象限，则系数A，B，C需满足条件( ) A．C＝0，AB<0 C．A，B，C同号

B．AC<0，BC<0 D．A＝0，BC<0

解析：由题意可知B≠0，由Ax＋By＋C＝0，得y＝－x－. 因为直线Ax＋By＋C＝0通过第二、三、四象限，

ABCBA－<0，??B所以?则A，B，C同号．

C??－B<0，

答案：C

2．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( ) A．1 C．－2或－1

B．－1 D．－2或1

解析：当截距都为0时，－2－a＝0，即a＝－2；当截距都不为0即a≠－2时，直线方程可变形为

ya＋2＋＝1，由已知有＝a＋2，解得a＝1.故a的值为－2或1. a＋2a＋2aax答案：D

3．直线＋＝1与x，y轴所围成的三角形的周长等于( )

34A．6 C．24

B．12 D．60

xy解析：直线＋＝1与两坐标轴交于A(3，0)，B(0，4)，所以AB＝5，所以△AOB的周长为

34

xyOA＋OB＋AB＝3＋4＋5＝12.故选B.

答案：B

4．直线y＝3x＋6与直线y＝(m＋2)x＋3m－2平行，则直线y＝(m＋2)x＋3m－2在y轴上的截距为( )

A．1

B．2

- 1

第十二章 微分方程

§ 1 微分方程的基本概念

1、由方程x2-xy+y2=C所确定的函数是方程（ ）的解。 A. (x-2y)y?=2-xy B.(x-2y)y?=2x-y C.(x-2)dx=(2-xy)dy D.(x-2y)dx=(2x-y)dy

2、曲线族y=Cx+C2 (C为任意常数) 所满足的微分方程 （ ） 4.微分方程y?= A.dy?dx1写成以

2x?yy为自变量，x为函数的形式为（ ）

1 C. x?=2x-y D. y?=2x-y 2x?y12x?y B.dx?dy§2 可分离变量的微分方程

1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（ ）

A.可分离变量的微分方程 B.一阶微分方程的对称形式， C.不是微分方程 D.不能变成

dxQ(x,y)?? dyP(x,y)2、方程xy?-ylny=0的通解为（ ）

A y=ex B. y=Cex C.y=ecx D.y=e

3．2.2 & 3.2.3 直线的两点式方程 直线的一般式方程

两点式、截距式 [提出问题]某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东P处，如图所示．公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km和4 km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A，B两处，并使区商业中心O到A，B两处的距离之和最短．

问题1：在上述问题中，实际上解题关键是确定直线AB，那么直线AB的方程确定后，点

A，B能否确定？

提示：可以确定．

问题2：根据上图知建立平面坐标系后，A，B两点的坐标值相当于在x轴、y轴上的什么量？

提示：在x轴、y轴上的截距．

问题3：那么若已知直线在坐标轴的截距可以确定直线方程吗？ 提示：可以． [导入新知]

直线的两点式与截距式方程

条件 两点式 截距式 在x轴上截距a，在y轴上截距b P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2 图形 方程 y－y1x－x1＝ y2－y1x2－x1不表示垂直于坐标轴的直线 xy＋＝1 ab不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线 适用范围 [化解疑难] 1．要注意方程

y－y1x－x1

＝和方程(y－y1)·(x2－x1)＝(

编号：

《高等数学（一）》课 程 自 学 辅 导 材 料 配套教材： 《高等数学（一）微积分》 主 编： 章学诚 出 版 社： 武汉大学出版社 版 次： 2004年版 适应层次： 本 科 内 部 使 用 2012年9月 ●●●●●

目 录 第一部分 自学指导 第1章：函数及其图形…………………………………………………………………3 第2章：极限和连续……………………………………………………………………3 第3章：一元函数的导数和微分………………………………………………………3 第4章：微分中值定理和导数的应用…………………………………………………3 第5章：一元函数积分学………………………………………………………………3 第6章：多元函数微积分………………………………………………………………3 第二部分 复习思考题 一．单选题 ……………………………………………………………………………4 二．填空题 ……………………………………………………………………………24 三．计算题 ………………………

2018_2019

1 / 6 2018_2019学年高中数学第三章直线与方程3-2-3直线的一

般式方程练习新人教A 版必修2

【选题明细表】

1.已知直线l 的方程为x-y+2=0,则直线l 的倾斜角为(A)

(A)30°(B)45°(C)60

°(D)150°

解析:设直线l 的倾斜角为θ,则tan

θ=,则θ=30°.

2.(2018·陕西延安期末)如果AB<0,且BC<0,那么直线Ax+By+C=0不

通过(D)

(A)第一象限(B)第二象限

(C)第三象限(D)第四象限

解析:因为直线Ax+By+C=0可化为y=-x-,又AB<0,BC<0,

所以->0,->0,所以直线过第一、二、三象限,不过第四象限.故选D.

3.已知m ≠0,则过点(1,-1)的直线ax+3my+2a=0的斜率为(D)

(A)3(B)-3

(C)(D)-

解析:由题意,得a-3m+2a=0,所以a=m,又因为m ≠0,所以直线

2018_2019

ax+3my+2a=0的斜率k=-=-.故选

D.

4.(2018·郑州调研)直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行,则m等于(C)