初中动态几何问题

初中数学九年级下册 (苏科版)

---动态几何、型问题徐州高级中学

九下---压轴题选讲

一、基础准备 1、如图，D、E为AB、AC的中点，将△ABC沿线段DE 折叠，使点A落在点F处，若∠B=500,则 ∠BDF= .

2、如图，在矩形中，,,当直角三角板的直角顶点在 边上移动时，直角边始终过点，设直角三角板的 另一直角边与相交于点Q,,, 那么与之间的函数图象大致是( )M A D N Q B P C

y4

y42.25

y

y

2.25B

O

A

3

6 x

O

3

6 x

O

C

3

6 x

O

D3

6 x

二、例题 1、已知：如图，△ABC中，∠C=90°,AC=3厘米，CB=4厘米.两个动点P、 Q分别从 A、C两点同时按顺时针方向沿△ABC的边运动.当点Q运动到点A时，P、 3 3 Q两点运动即停止.点P、Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P运动时 间为(秒). (1)当时间为何值时，以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积(图中的阴影部分) 等于2厘米2; (2)当点P、Q运动时，阴影部分的形状随之变化.设PQ与△ABC围成阴影部分 面积为S(厘米2),求出S与时间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；(3) 点P、Q在运动的过程中，阴影部分面积S有最大

初中数学九年级下册 (苏科版)

---动态几何、型问题徐州高级中学

九下---压轴题选讲

一、基础准备 1、如图，D、E为AB、AC的中点，将△ABC沿线段DE 折叠，使点A落在点F处，若∠B=500,则 ∠BDF= .

2、如图，在矩形中，,,当直角三角板的直角顶点在 边上移动时，直角边始终过点，设直角三角板的 另一直角边与相交于点Q,,, 那么与之间的函数图象大致是( )M A D N Q B P C

y4

y42.25

y

y

2.25B

O

A

3

6 x

O

3

6 x

O

C

3

6 x

O

D3

6 x

二、例题 1、已知：如图，△ABC中，∠C=90°,AC=3厘米，CB=4厘米.两个动点P、 Q分别从 A、C两点同时按顺时针方向沿△ABC的边运动.当点Q运动到点A时，P、 3 3 Q两点运动即停止.点P、Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P运动时 间为(秒). (1)当时间为何值时，以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积(图中的阴影部分) 等于2厘米2; (2)当点P、Q运动时，阴影部分的形状随之变化.设PQ与△ABC围成阴影部分 面积为S(厘米2),求出S与时间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；(3) 点P、Q在运动的过程中，阴影部分面积S有最大

中考动态几何问题探究

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。纵观近几年各地的中考题，以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。

以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究，在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动，就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动等。

动态几何型试题题目灵活多变，动中有静、动静结合，能够在运动变化中发展学生空间想象能力，综合分析能力，是近几年中考命题的热点。下面以06、07年各地中考题为例，将动态几何问题进行分类分析。

题型一：点动型

点动型就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上，设计一个或几个动点，并对这些点在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究。 1、单动点型

1（07辽宁十二市）如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC 上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时， △DMN也随之整体移动） ．

（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎

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2013中考总结复习冲刺练： 动态几何问题

冲刺练由京翰教育一对一家教辅导(http://www.zgjhjy.com)整理

【前言】

从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解法，

第一部分 真题精讲

【例1】（2012，密云，一模）

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?3，DC?5，BC?10，梯形的高为4．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t（秒）．

ADN

BMC（1）当MN∥AB时，求t的值；

（2）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．

【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可

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【前言】

从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解法，

第一部分 真题精讲

【例1】（2012，密云，一模）

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?3，DC?5，BC?10，梯形的高为4．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t（秒）．

ADN

BMC（1）当MN∥AB时，求t的值；

（2）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．

【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可

1 立体几何中的动态问题研究

题型1 在运动变化过程中利用方程探求动点的位置

例 如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，

AF=1． 试在线段AC 上确定一点P ，使得PF 与BC 所成的角是60°，并加以证明．

例 如图，已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1 中，ABC=90°，AB=BC=a ，AA1 =2AB ，M 为CC 1 上的点．试问当M 在C 1C 上的什么位置时，B 1M 与平面AA 1C 1C 所成的角为30°

题型2 在运动变化过程中建立函数关系，寻求相关角的变化范围．

例 如图，在三棱锥V-ABC 中，VC 底面ABC ，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且AC=BC=a ，∠VDC=θ (0＜θ＜2π

)

( 1) 求证: 平面VAB ⊥VCD;

( 2) 当角 变化时，求直线BC 与平面VAB 所成的角的取值范围．

2 题型3在运动变化过程中建立方程关系探究二面角的大小．

例 如图所示，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AD=AA1 =1，AB=2，点E 在棱AB 上移动，当AE 等于何值时，二面角D1-EC-D 的大小为

4π．

题型4 在运动变化过程中，利用曲线定义探究动点轨迹．

例 如图，P

动态电路变化

1、串联电路中的动态变化：

例1：如图所示，闭合电键S，当滑片向右移动时，请判断电流表和电压表的示数变化: 电流表的示数 ；电压表的示数 。(均选填“变大”、“不变”或“变小”)

分析方法：

1、先判断电流表、电压表所测的对象；

2、根据滑动变阻器的滑片移动情况及串联电路电阻特点 （例1图）

R总=R1+R2，判断总电阻变化情况；

3、根据I总=U总/R总，判断电流的变化情况；

4、先根据U1=I1R1判断定值电阻（小灯泡）两端电压的变化情况；

5、最后根据串联电路电压特点U总=U1+U2，判断滑动变阻器两端的电压变化情况。

（例2

（例3（例

例2：如图所示，闭合电键S，当滑片向右移动时，请判断电流表和电压表的示数变化:电

流表的示数 ；电压表的示数 。(均选填“变大”、“不变”或“变小”) 例3：如图所示，闭合电键S，当滑片向右移动时，请判断电流表和电压表的示数变化:电

流表的示数 ；电压表的示数 。(均选填“变大”、“不变”或“变小”) 例4：如图所示，闭合电键S，请判断电流表和电压表的示数变化:电流表的示数 ；

电压表的示数

立体几何中的最值问题

海红楼

立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系，与空间图形有关的线段、角、体积等最值问题常常在试题中出现。下面举例说明解决这类问题的常用方法。

一、运用变量的相对性求最值

例1. 在正四棱锥S-ABCD中，SO⊥平面ABCD于O，SO=2，底面边长为SC上移动，则P、Q两点的最短距离为（ ）

Q分别在线段BD、2，点P、

A.

55 B.

255 C. 2 D. 1

解析：如图1，由于点P、Q分别在线段BD、SC上移动，先让点P在BD上固定，Q在SC上移动，当

OQ最小时，PQ最小。过O作OQ⊥SC，在Rt△SOC中，OQ?255中。又P在BD上运动，且当P运动

到点O时，PQ最小，等于OQ的长为

255，也就是异面直线BD和SC的公垂线段的长。故选B。

图1

二、定性分析法求最值

例2. 已知平面α//平面β，AB和CD是夹在平面α、β之间的两条线段。AB⊥CD，AB=3，直线AB与平面α成30°角，则线段CD的长的最小值为______。

解析：如图2，过点B作平面α的垂线，垂足为O，连结AO，则∠BAO=30°。过B作BE//CD交平面α于E，则BE=CD。连结AE，因为AB⊥CD，故AB⊥BE。则

第44章 动态问题

一、选择题

（2011 内蒙古巴彦淖尔）8.如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当APQ是等腰三角形时，运动的时间是（ ）

A.2.5秒

B.3秒 C.3.5秒

D.4秒 答案：【 D 】

1. （2011安徽，10，4分）如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直

于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2，BD=1，AP=x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是（ ）

A． D．

B．

C．

【答案】C

2. （2011山东威海，12，3分）如图，

在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD—DC—CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（ ）

【答案】B

3. （2011甘肃兰州，14，4分）如图，正方形ABCD的边长为1，E、

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。

动态几何之其他问题（平面几何）是除前述动态几何问题以外的平面几何问题，本专题原创编写动态几何之其他问题（平面几何）模拟题。

在中考压轴题中，其他问题（平面几何）的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。

原创模拟预测题1.如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停