蒙特卡洛模拟期权定价公式

材料五：蒙特卡洛方法模拟期权定价

1．蒙特卡洛方法模拟欧式期权定价

利用风险中性的方法计算期权定价：

?(f) f?e?rtET?是风险中性测度 其中，f是期权价格，fT是到期日T的现金流，E如果标的资产服从几何布朗运动：

dS??Sdt??sdW

则在风险中性测度下，标的资产运动方程为：

ST?S0exp[(r??22)T??T?]

对于欧式看涨期权，到期日欧式看涨期权现金流如下：

max{0,S(0)e(r??2/2)T??T??K}

其中，K是执行价，r是无风险利率，?是标准差， ?是正态分布的随机变量。

对到期日的现金流用无风险利率贴现，就可知道期权价格。

例1 假设股票价格服从几何布朗运动，股票现在价格为50，欧式期权执行价格为52，无风险利率为0.1，股票波动标准差为0.4，期权的到期日为5个月，试用蒙特卡洛模拟方法计算该期权价格。

下面用MATLAB编写一个子程序进行计算：

function eucall=blsmc(s0,K,r,T,sigma,Nu) %蒙特卡洛方法计算欧式看涨期权的价格 %输入参数 %s0 股票价格 %K 执行价 %r 无风险利率 %T 期权的到期日 %sig

期权定价中的蒙特卡洛模拟方法

期权作为最基础的金融衍生产品之一，为其定价一直是金融工程的重要研究领域，主要使用的定价方法有偏微分方程法、鞅方法和数值方法。而数值方法又包括了二叉树方法、有限差分法和蒙特卡洛模拟方法。

蒙特卡洛方法的理论基础是概率论与数理统计，其实质是通过模拟标的资产价格路径预测期权的平均回报并得到期权价格估计值。蒙特卡洛方法的最大优势是误差收敛率不依赖于问题的维数，从而非常适宜为高维期权定价。

§1. 预备知识

◆两个重要的定理：柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)强大数定律和莱维一林德贝格(Levy-Lindeberg)中心极限定理。

大数定律是概率论中用以说明大量随机现象平均结果稳定性的一系列极限定律。在蒙特卡洛方法中用到的是随机变量序列同分布的Kolmogorov强大数定律：

设?1,?2,?为独立同分布的随机变量序列，若

E[?k]????,k?1,2,?则有p(lim??kn??nk?1n1n??)?1

显然，若?1,?2,?,?n是由同一总体中得到的抽样，那么由

1k此大数定律可知样本均值??当n很大时以概率1收敛于

nk?1总体均值?。

1

中心极限定理是研究随机变量之和的极限分布在何种情形下是正态的，并由此应用正态

期权定价中的蒙特卡洛模拟方法

期权作为最基础的金融衍生产品之一，为其定价一直是金融工程的重要研究领域，主要使用的定价方法有偏微分方程法、鞅方法和数值方法。而数值方法又包括了二叉树方法、有限差分法和蒙特卡洛模拟方法。

蒙特卡洛方法的理论基础是概率论与数理统计，其实质是通过模拟标的资产价格路径预测期权的平均回报并得到期权价格估计值。蒙特卡洛方法的最大优势是误差收敛率不依赖于问题的维数，从而非常适宜为高维期权定价。

§1. 预备知识

◆两个重要的定理：柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)强大数定律和莱维一林德贝格(Levy-Lindeberg)中心极限定理。

大数定律是概率论中用以说明大量随机现象平均结果稳定性的一系列极限定律。在蒙特卡洛方法中用到的是随机变量序列同分布的Kolmogorov强大数定律：

设?1,?2,?为独立同分布的随机变量序列，若

E[?k]????,k?1,2,?则有p(lim??kn??nk?1n1n??)?1

显然，若?1,?2,?,?n是由同一总体中得到的抽样，那么由

1k此大数定律可知样本均值??当n很大时以概率1收敛于

nk?1总体均值?。

1

中心极限定理是研究随机变量之和的极限分布在何种情形下是正态的，并由此应用正态

期权定价中的蒙特卡洛模拟方法

期权作为最基础的金融衍生产品之一，为其定价一直是金融工程的重要研究领域，主要使用的定价方法有偏微分方程法、鞅方法和数值方法。而数值方法又包括了二叉树方法、有限差分法和蒙特卡洛模拟方法。

蒙特卡洛方法的理论基础是概率论与数理统计，其实质是通过模拟标的资产价格路径预测期权的平均回报并得到期权价格估计值。蒙特卡洛方法的最大优势是误差收敛率不依赖于问题的维数，从而非常适宜为高维期权定价。

§1. 预备知识

◆两个重要的定理：柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)强大数定律和莱维一林德贝格(Levy-Lindeberg)中心极限定理。

大数定律是概率论中用以说明大量随机现象平均结果稳定性的一系列极限定律。在蒙特卡洛方法中用到的是随机变量序列同分布的Kolmogorov强大数定律：

设?1,?2,?为独立同分布的随机变量序列，若

E[?k]????,k?1,2,?则有p(lim??kn??nk?1n1n??)?1

显然，若?1,?2,?,?n是由同一总体中得到的抽样，那么由

1k此大数定律可知样本均值??当n很大时以概率1收敛于

nk?1总体均值?。

1

中心极限定理是研究随机变量之和的极限分布在何种情形下是正态的，并由此应用正态

第八章 Monte Carlo 法

§8.1 概述

Monte Carlo 法不同于前面几章所介绍的确定性数值方法，它是用来解决数学和物理问题的非确定性的（概率统计的或随机的）数值方法。Monte Carlo 方法（MCM），也称为统计试验方法，是理论物理学两大主要学科的合并：即随机过程的概率统计理论（用于处理布朗运动或随机游动实验）和位势理论，主要是研究均匀介质的稳定状态[1]。它是用一系列随机数来近似解决问题的一种方法，是通过寻找一个概率统计的相似体并用实验取样过程来获得该相似体的近似解的处理数学问题的一种手段。运用该近似方法所获得的问题的解in spirit更接近于物理实验结果，而不是经典数值计算结果。

普遍认为我们当前所应用的MC技术，其发展约可追溯至1944年，尽管在早些时候仍有许多未解决的实例。MCM的发展归功于核武器早期工作期间Los Alamos（美国国家实验室中子散射研究中心）的一批科学家。Los Alamos 小组的基础工作刺激了一次巨大的学科文化的迸发，并鼓励了MCM在各种问题中的应用[2]-[4]。“Monte Carlo”的名称取自于Monaco（摩纳哥）内以赌博娱乐而闻名的一座城市。

Monte Carlo 方

第8章 蒙特卡洛模拟金融衍生产品定价

本章介绍蒙特卡洛模拟期权定价的内容，要求读者掌握随机数生成方式，了解蒙特卡洛定价就是模拟风险中性测度下标的资产的运动过程，学会蒙特卡洛方法模拟欧式期权定价，掌握提高模拟精度的常用方法。

§8.1 随机模拟基本原理

1977年，菲力埔〃伯耶勒(Phelim Boyle)提出了模拟方法求解金融资产定价问题，其想法是假设资产价格分布是随机波动，如果知道了这个波动过程，就可以通过随机模拟不同的路径，每做完一次模拟，就产生了一个最终资产价值，再进行若干次这样的过程，那么所得到的结果就是一个最终的资产价值分布，从这个分布中我们可以得到期望的资产价格。 8.1.1 随机数生成函数

1．均匀分布随机数生成函数

MATLAB中的unidrnd函数可以生成1到N的均匀分布随机数。 调用方式 R=unidrnd(N); R=unidrnd(N,m); R=unirnd(N,m,n);

其中，N所要生成的随机数个数，m确定输出随机矩阵R的行数,n确定输出随机矩阵R的列数

2．生成服从连续均匀分布的随机数

如果需要生成服从连续分布的随机数，则需调用unifrnd函数，其调用格式为 调用方式1

R＝unifr

实验二 MCNP的使用

一、实验目的

1、了解MCNP程序运行流程； 2、掌握MCNP输入文件编写规范；

3、理解模拟内容、并能编写输入文件、运行，并获得计算结果； 二、实验原理

MCNP是一种常见的粒子输运模拟软件，软件的安装、运行和输入文件编写方法详见理论课讲义第五章。

MCNP输入文件编写完成后，先确认输入模型是否正确，在DOS环境下进行，打开运行DOS环境，进行以下操作： DOS命令

mcnp5 ip i=name.inp o=name.o PX vx PY vy PZ vz FACTOR m Extent a b ORIGIN X Y Z

操作命令含义 打开画图框

输出模型在x=vx面上的切面 输出模型在y=vy面上的切面 输出模型在z=vz面上的切面 将输出图放大1/m倍 切面沿两坐标轴方向分别放大 定义画图中心位置（X,Y,Z）

也可进行以下操作：点击“开始”→“所有程序”→“MCNP5”→“VisEd”，进入画图窗口，打开输入文件后可进行如下操作：

操作位置

或

图像放大/缩小

改变切面及坐标面与 该曲面的夹角余弦

操作量

修改坐标原点

三、实验内容

1、学习MCNP程序的各种运行方法及输入文件结构；

计算机应用案例

例9-1:蒙特卡洛投资评价风险模型 初始投资额(百万元) 初始销量均值(百万件) 初始销量标准差(百万件) 销量第2年增长率 销量第3年增长率 年固定成本(百万元) 贴现率 初始销量(百万件) 产品价格(元) 单位变动成本(元) 第1年 销量 1.72 销售收益 13.74 总成本 4.44 利润(现金收入) 9.31 2 2 0.6 20% -50% 1 10% 1.72 8 2 第3年 1.03 8.25 3.06 5.18 19.75 4.99 8.21 43.06 (18.04)

第2年 2.06 16.49 5.12 11.37

特定净现值 1000次模拟净现值均值(百万元) 1000次模拟净现值标准差(百万元) 1000次模拟现值最大值(百万元) 1000次模拟净现值最小值(百万元)

微调控件参数 13 指定的净现值X 6.2 大于净值概率Y 50% 垂直线坐标 X坐标 Y坐标 最低点坐标 6.2 0 曲线交点坐标 6.2 50% 最高点坐标 6.2 1

模拟次数 特定净现值 19.75 1 7.38 2 2.54 3 19.62 4 14.18 5 13.52 6 5.10 7 1.13 8 1.35 9 2.28 10

《数学实验》报告

班级：序号：姓名：

1． 问题描述

I、用蒙特卡罗方法计算以下函数在区间上的积分，并改变随机点数

目观察对结果的影响。

（1）y=1/(1+x), 0=

（2）y= (exp(3*x))*sin(2*x), 0=

（4）y=(1/(2*pi)^0.5)*exp(-x(i)^2/2),0=

（5）y=exp(x(i)/2)*(sin(x(i)))^2, 0=

II、用蒙特卡罗法求解全局最优化及约束问题并通过图形做出评论，求下列函数的最大值。

（1） f(x)=(1-x.^2).*sin(3*x),-2*pi=

f(x)=x1*x2*x3,s.t.:-x1+2x2+2x3>=0,x1+2x2+2x3<=72,10<=x2<=20,x1-x2=10;

（3） f(x,y)=(X.^2+2*(Y.^2)+X.*Y).*exp(-X.^2-Y.^2),

abs(x)<1.5,abs(y)<1.5;

2． 问题分析与实验过程

I、(1)使用均值估计法

程序：

function p=shell1(a,b,n) z=0;

x=unifrnd(a,b,1,n); fori=1:n

u=(x(i)+1)^(-1); z=z+u; end

p=(b-a)*z/n;

运行结果：p=shell1(0,1,1000) p =

基于MATLAB的蒙特卡洛方法对可靠度的计算

——《可靠性工程》大作业

目录

目录 ...................................................................................................................................................... 2 摘要 ...................................................................................................................................................... 3 绪论 ...................................................................................................................................................... 4 一、编写MONTE CARLO模拟程序 ..