吉米多维奇数学分析题集pdf

《吉米多维奇数学分析习题集》1925题 2k?1x?cos?πndx12k?11n2k?12k?12n??=?Σarctg─ ?sin?2?2x cos?π??cos?π?lnxπ+1+C Σ2k?12n2n2n2n?x2n+1nk=1k=1sin?π2n2N+1π2n2N+1π解：∵ x2n+1=x2n?ei(2N+1)π=x2n?(ei?)，则x2n+1必有因式x?ei?，N为任意整数． 2n2n()π|k=1,2,,2n.}，取a=ei?π， ∴ x2n+1的因式集为{x?ei?2n…2nπ)=∏(x?a2k?1)=(x?a1)(x?a3)(x?a2k?1)(x?a4n?1)． x2n+1=∏(x?ei?2n……k=1k=12n2k?12n2k?1π则 x2n+1可表述为：x2n+1=(x?a2k1?1)(x?a2k2?1)…(x?a2kl?1)…(x?a2k2n?1)，Σ(2k?1)=Σ(2kl?1)． ∴ x2n+1的x2n?l项系数为：Σ2n2nk=1l=1k1，k2，…，kl=11≤l≤2n?12n2n(?a2k1?1)(?a2k2?1)…(?a2kl?1) 2n ∴ k1，k2，…，kl=1j=11≤l≤2n?12n2n2nn

一 选择题（每题4分）

第十章 多元函数微分学

?x2y2?1、函数f(x,y)??x4?y4??0(A)连续但不可微；

(C)可导但不可微； 2、设u?f(r),而r?=（

）

(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)在点(0,0)处（ ）

(B)可微；

(D)既不连续又不可导。

?2u?2u?2ux?y?z，f(r)具有二阶连续导数，?则2??x?y2?z22221'2(B)f\(r)?f'(r) f(r)

rr1112(C) 2f\(r)?f'(r) (D) 2f\(r)?f'(r)

rrrr(A)f\(r)??2u3、设u(x,y)?f(e)?g(siny)，其中f(x),g(x)均有连续导数，则=（

?x?yx ）

(A) esinyf(e)g(siny) (C) ecosyf(e)g(siny)

32x'x'x'x'

(B) uecosyf(e)g(siny) (D) uesinyf(e)g(siny)

'x'x'x'x'4、设f(x,y)?xy?xy?2x?3y?1，则fx(3,2)=（ (A) 59

(B) 56(C) 58

(D) 55

'）

325、设f(x,y)?xy?xy?2x?3y?1，则

▇ ▇ 数学分析

《数学分析Ⅰ》第2讲 教学内容：实数系的连续性

第二章 数列极限

§2.1实数系的连续性

一． 实数系的产生（历史沿革）

从人类历史的开始，人类就逐步认识了自然数，1，2，3，?，n，?

自然数集 整数集 有理数集 实数集

解决的减法解决对除法?????????? ? 的封闭性的封闭性解决对开方?????的封闭性? ? ?

对加法封闭 对加减乘封闭 对加减乘除封闭 对减法不封闭 对除法不封闭 对开方不封闭

2000多年前，毕达哥拉斯学派认为：有理数集是最完美的数集；世界上的万事万物都可以用有理数表示。

但是，毕达哥拉斯的一个“叛逆”的学生，发现了边界为1的正方形的对角线长度不是一个有理数，即

数轴上点c不是一个有理数点。

例2.1.1设c?2，试证明：c不是一个有理数。

2p，则q222p2?c2q2?2q2，所以2|p，不妨设p?2p1，故(2p1)?2q，所以2p1?q， 所以2|q，记q?2q1，即p?2p1，q?2q1，这与 (p,q)

《数学分析Ⅱ》期中考试题

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、曲线2x2 +3y2 + z2 =9, z2 =3x2 + y2 在点 ( 1, -1, 2 )的法平面方程是（ 1 ）

A、8x+10y+7z-12=0； B、8x+10y+7z+12=0；C、8x -10y+7z-12=0； D、8x+10y+7z+12=0 2、L为单位圆周，则

??Lyds?（ 4 ）

A、1 B、2 C、3 D、4 3、L为从( 1, 1, 1 )到( 2, 3, 4 )的直线段，则

?Lzdx?xdz= （ 3 ）

A、3 B、5 C、7 D、9 4、

??x?y?13?x?y?dxdy=（ 2 ）

A、2 B、4 C、6 D、8 5、

?0?12dy?21?y1?x0f(x,y)dx，改变积分顺序得（ 1 ） f(x,y)dy B、?dx?121?x?11?x?1A、C、

??12dx?dx?f(x,y)dy f(x,y)dy

1?x01f(x,y)dy D、?dx?126、V=[-2, 5]?[

第十三章 函数项级数 应用题

第十三章

函数项级数 计算题

1．设S(x)=?ne?nx x>0，计算积分?ln3ln2S(t)dt

2．.判断级数?(?1)nxnn1?xn(x>0)的敛散性.

第十三章 函数项级数 计算题答案

1．?ne?nx在[ln2,ln3]上连续且一致收敛

?它在[ln2,ln3]可逐积分 (得4分)

??ln3?s(t)dt?ln3ne?nxdxln2?? (得6分)

n?1ln2? =?[(1)n?(1)n23]?1?1?1 (得8分)

n?11?121?12 32． 对交错级数?(?1)nn 由莱布尼兹判别法知它收敛 (得3分)

而

xn1?xn 当x>1时,单增有界 ; x=1时,值为

12 ; 当x<1时,单降为界 (得6分)

故由阿贝尔判别法知?(?1)nxnnn收敛

第2，3，11章 习题解答

习题2-1

1. 若自然数n不是完全平方数.证明n是无理数. 证明 反证法. 假若n?pq(p,q?N,且p,q互质)，于是由nq2?p2可知,q2是

p2的因子，从而得q2?1即p2?n,这与假设矛盾.

2. 设a,b是两个不同实数.证明在a和b之间一定存在有理数.

证明 不妨设a0, 所以存在正整数n,使得0

1

mm综上可得 na

nn3. 设x为无理数.证明存在无穷多个有理数

pq(p,q为整数，q?0)使得x?pq?1q2.

证明 反证法. 假若只有有限个有理数满足不等式,即

x?令

piqi<

1qi2 , (i?1,2,3?,m)

??p??min?x?ii?1,2,3,?,m?

qi??取 N:N?1, 且选取整数p,q(0?q?N), 使得 ?p111, x??N?2

qqqNp1??N???, qqq qx?p?但因q是正整数，故又有x?从而可知

习题2-2

ppi? (i?1,2,3,?m), 这与假设矛盾. qqi1．求下列数集的上、下确界. （1）?1???1??1? n?N?, （2）?(1?)nn?N?,

§1.2 数集和确界原理

授课章节：第一章 实数集与函数---§1.2数集和确界原理 教学目标：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念. 教学要求：(1) 掌握邻域的概念；

(2) 理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.

教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）. 教学难点：确界的定义及其应用. 教学方法：讲授为主.

教学过程：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课. 一、 区间与邻域

(一) 区间（用来表示变量的变化范围）

设a,b R且a b.

有限区间区间 ，其中

无限区间

. 开区间: x R|a x b (a,b)

有限区间 闭区间: x R|a x b [a,b].

闭开区间: x R|a x b [a,b)

半开半闭区间

开闭区间: x R|a x b (a,b]

x R|x a [a, ).

x R|x a ( ,a].

无限区间 x R|x a (a, ).

x R|x a ( ,a).

x R| x R.

(二) 邻域

联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.（看左图）.与a邻近的“区域”很多，

玉林师范学院课程期末考试试题参考答案及评分标准 （2006——2007学年度第二学期） 命题教师：梁志清 命题教师所在系：数计系 试卷类型：（A）

装

订 线 装 订 线

课程名称：数学分析Ⅳ 考试专业：数学与应用数学 年级： 2005

题号 应得分 一 20 二 15 三 42 四 7 五 16 总分 一 填空题 （每小题2分）

1 1； 2 (n?1)!； 3

2； 4 1； 5 1； 6 2?10dx?f(x,y)dy；

x17 x3?y3?3xy?c；8

2?6；9 ?a；10 。 34二 单项选择题 (每小题3分)

1 A； 2 B； 3 B； 4 D；5 C。

三 计算题

22 1 L：x?y?2y，令x?cos?,y?1?sin?,则0???2? ??2分

于是ds?d? ??3分

?(xL2?y)ds??2(1?sin?)d?

七章 实数的完备性

判断题：

??11??H???,?n?1,2,????n?2n??为开区间集,则H是(0, 1 )的开复盖. 1. 1. 设

2. 2. 有限点集没有聚点.

3. 3. 设S为 闭区间 ?a,b?, 若x?S,则

x必为S的聚点.

4. 4. 若n??存在, 则点集?an?只有一个聚点.

5. 5. 非空有界点集必有聚点.

6. 6. 只有一个聚点的点集一定是有界点集.

7. 7. 如果闭区间列?[an,bn]?满足条件 [an,bn]?[an?1,bn?1],n?1,2,?, 则闭

区间套定理成立. 8. 8. 若f(x)在[a,b]上一致连续, 则f(x)在[a,b]上连续. 9. 9. 闭区间上的连续函数一定有界.

10. 10. 设f(x)为R上连续的周期函数, 则f(x)在R上有最大值与最小值.

答案: √√√√×××√√√ 证明题

1. 1. 若A与B是两个非空数集,且?x?A,y?B,有 x?y, 则supA?infB. 2. 证明: 若函数f(x)在(a,b)单调增加, 且?

玉林师范学院课程期末考试试题参考答案及评分标准 （2006——2007学年度第二学期） 命题教师：梁志清 命题教师所在系：数计系 试卷类型：（A）

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订 线 装 订 线

课程名称：数学分析Ⅳ 考试专业：数学与应用数学 年级： 2005

题号 应得分 一 20 二 15 三 42 四 7 五 16 总分 一 填空题 （每小题2分）

1 1； 2 (n?1)!； 3

2； 4 1； 5 1； 6 2?10dx?f(x,y)dy；

x17 x3?y3?3xy?c；8

2?6；9 ?a；10 。 34二 单项选择题 (每小题3分)

1 A； 2 B； 3 B； 4 D；5 C。

三 计算题

22 1 L：x?y?2y，令x?cos?,y?1?sin?,则0???2? ??2分

于是ds?d? ??3分

?(xL2?y)ds??2(1?sin?)d?