初值问题的解法

《计算机数学基础(2)》辅导六

第14章 常微分方程的数值解法

一、重点内容 1. 欧拉公式：

(k＝0，1，2，…，n－1)

局部截断误差是O(h2)。 2. 改进欧拉公式：

或表示成： 平均形式：

局部截断误差是O(h)。

3. 四阶龙格――库塔法公式：

3

0.5

其中 ?1＝f(xk，yk)；?2＝f(xk+h，yk+

0.5

h?1)；?3＝f(xk+

0.5

h，yk+

0.5

h?2)；

?4＝f(xk+h，yk+h?3)

局部截断误差是O(h5)。

二、实例

例1 用欧拉法解初值问题

取步长h＝0.2。计算过程保留4位小数。

解 h＝0.2，f(x，y)＝－y－xy2。首先建立欧拉迭代格式

＝0.2yk(4－xkyk) (k＝0，1，2) 当k＝0，x1＝0.2时，已知x0＝0，y0＝1，有

y(0.2)≈y1＝0.2×1(4－0×1)＝0.8

当k＝1，x2＝0.4时，已知x1＝0.2，y1＝0.8，有

y(0.4)≈y2＝0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.6144

当k＝2，x3＝0.6时，已知x2＝0.4，y2＝0.6144，有

常微分方程初值问题数值解法

朱欲辉

（浙江海洋学院 数理信息学院, 浙江 舟山 316004）

[摘要]：在常微分方程的课程中讨论的都是对一些典型方程求解析解的方法. 然而在生产实际和科学研究中所遇到的问题往往很复杂, 在很多情况下都不可能给出解的解析表达式. 本篇文章详细介绍了常微分方程初值问题的一些数值方法, 导出了若干种数值方法, 如Euler法、改进的Euler法、Runge－Kutta法以及线性多步法中的Adams显隐式公式和预测校正公式, 并且对其稳定性及收敛性作了理论分析. 最后给出了数值例子, 分别用不同的方法计算出近似解, 从得出的结果对比各种方法的优缺点.

[关键词]：常微分方程; 初值问题; 数值方法; 收敛性; 稳定性; 误差估计

Numerical Method for Initial-Value Problems

Zhu Yuhui

(School of Mathematics, Physics, and Information Science, Zhejiang Ocean University, Zhoushan, Zhejiang 316004)

[Abstract]: In the course abo

数值分析第五章课件

第5章 常微分方程数值解法§5.1 引言 u( x1 , , xn ) y ' x y y包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微 ( x) : 2 2 u u y (0) 1 2 0 2 , x1 自变量的 xn 分的方程称为微分方程.在微分方程中 个数只有一个, 称为常微分方程.自变量的个数为 两个或两个以上的微分方程叫偏微分方程.微分方 程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方

程的阶数.如果未知函数y及其各阶导数

y , y , , y

( n)

都是一次的,则称它是线性的,否则称为非线性的.

数值分析第五章课件

在《常微分方程》中，对于常微分方程的求解，给出了一些典型方程求解析解的基本方法，如可分

离变量法、常系数齐次线性方程的解法、常系数非齐次线性方程的解法等.但能求解的常微分方程仍 然是有限的，大多数的常微分方程是不可能给出解 析解. 譬如

y x y2

2

这个一阶微分方程就不能用初等函数及其积分来 表达它的解.

数值分析第五章课件

再如，方程

y y y (0) 1的解 y e x ,虽然有表可查,但对于表上没 有给出 e x 的值,仍

第7章 常微分方程初值问题的数值解法

7.1 引 言

科学研究和工程技术中的许多问题在数学上往往归结为微分方程的求解问题。为了确定微分方程的解，一般要加上定解条件，根据不同的情况，这些定解条件主要有初始条件(initial condition)和边界条件(boundary condition). 只含初始条件作为定解条件的微分方程求解问题称为初值问题(initial-value problem); 例如天文学中研究星体运动,空间技术中研究物体飞行等，都需要求解常微分方程初值问题(initial-value problem for ordinary differential equations). 只含边界条件作为定解条件的微分方程求解问题称为边值问题(boundary-value problem).

除特殊情形外，微分方程一般求不出解析解，即使有的能求出解析解，其函数表示式也比较复杂，计算量比较大，而且实际问题往往只要求在某一时刻解的函数值. 为了解决这个问题，有两种方法可以逼近原方程的解。第一种方法是：将原微分方程化简为可以准确求解的微分方程，然后使用化简后的方程的解近似原方程的解；第二种方法是：将求原微分方程的解析解转化为求原方程的数

数值分析教学课件

第三章 常微分方初值程问数题解法值3.1引 言 3. 2简的数单方值法与本概基念

3.3 格-库龙方塔法.4 单步3法收的性敛稳与性定

.53 性线多步法36.方 程组高阶和方

程3

数值分析教学课件

.1引 言章本论一阶常微分讨方程初值的题问： y f( x ,y ) y x(0 ) y 0只要数函 f x,( y )当光适—如滑满足利普茨希条件：f x( ,y) f ( ,xy ) Ly y

论理就上保证能值问题的解 y初 y( x )存 在并且唯一。所 谓数值法解就，寻求解是 y(x) 在 系一列散离点x1 x2 xn xn 1

上的近 值 y 似, , , yy ,y , ,相两个点间邻距的离h xx 称为步 长一。情般下我况取们h h i( 1, , 2)为 数常，是节点这： x 为 x n, hn 0 ,1 2, ,1 2 nn n1n 1 n in

数值分析教学课件

3.1 0言引初值题问的解求一有基个特点，本们都是它取 采“进式步”求解，的，一即步一地求函步数值。 求的的解主方法要：是对方程进行离散化先，立

《计算方法》实验指导书

《计算方法》实验指导书

实验1 方程求根

一、实验目的

1． 通过对二分法、牛顿法、割线法作编程练习，进一步体会它们各自不同的特点； 2． 了解二分法，切线法，割线法。

3． 能熟练运用二分法，牛顿法进行方程求根

4． 通过上机调试运行，对方程求根的几种方法程序进行改进。

二、实验要求

1． 上机前作好充分准备，包括复习编程所需要的语言工具。 2． 上机时要遵守实验室的规章制度，爱护实验设备。

3． 记录调试过程及结果，记录并比较与手工运算结果的异同。 4． 程序调试完后，须由实验辅导教师在机器上检查运行结果。 5． 给出本章实验单元的实验报告。

三、实验环境、设备

1． 硬件设备：IBM PC以上计算

机，有硬盘和一个软驱、单机和网络环境均可。

2． 软件环境： C语言运行环境。

四、实验原理、方法 二分算法计算步骤：

（1）输入有根区间的端点a、b及预先给定的精度ε；

（2）计算中点x=(a+b)/2；

（3）若f(x)f(b)<0，则a=x，转向下一步；否则b=x，转向下一步； （4）若b-a<ε，则输出方程满足精度要求的根x，结束；否则转向步骤（2）。 迭代法：

256

《计算方法》实验指导书

开始 输入 x0, ε,N k=1 开始 输入x0, ?,N k=1 f'(x0)=0? 是 k=k+1 x1=?(x0) 是 否 x?x?10f(x)

《计算方法》实验指导书

《计算方法》实验指导书

实验1 方程求根

一、实验目的

1． 通过对二分法、牛顿法、割线法作编程练习，进一步体会它们各自不同的特点； 2． 了解二分法，切线法，割线法。

3． 能熟练运用二分法，牛顿法进行方程求根

4． 通过上机调试运行，对方程求根的几种方法程序进行改进。

二、实验要求

1． 上机前作好充分准备，包括复习编程所需要的语言工具。 2． 上机时要遵守实验室的规章制度，爱护实验设备。

3． 记录调试过程及结果，记录并比较与手工运算结果的异同。 4． 程序调试完后，须由实验辅导教师在机器上检查运行结果。 5． 给出本章实验单元的实验报告。

三、实验环境、设备

1． 硬件设备：IBM PC以上计算

机，有硬盘和一个软驱、单机和网络环境均可。

2． 软件环境： C语言运行环境。

四、实验原理、方法 二分算法计算步骤：

（1）输入有根区间的端点a、b及预先给定的精度ε；

（2）计算中点x=(a+b)/2；

（3）若f(x)f(b)<0，则a=x，转向下一步；否则b=x，转向下一步； （4）若b-a<ε，则输出方程满足精度要求的根x，结束；否则转向步骤（2）。 迭代法：

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《计算方法》实验指导书

开始 输入 x0, ε,N k=1 开始 输入x0, ?,N k=1 f'(x0)=0? 是 k=k+1 x1=?(x0) 是 否 x?x?10f(x)

指派问题的匈牙利解法 1、

把各行元素分别减去本行元素的最小值；然后在此基础上

再把每列元素减去本列中的最小值。

15 12??0 3 0 11 8??4 8 7 ?????7 9 17 14 10??0 1 7 7 3??6 9 12 8 7???0 2 3 2 1?????10??0 0 5 0 4??6 7 14 6

?6 9 12 10 6??0 2 3 4 0?????此时每行及每列中肯定都有0元素了。 2、

确定独立零元素，并作标记。

（1）、首先逐行判断是否有含有独立0元素的行，如果有，则按行继续处理；如没有，则要逐列判断是否有含有独立0元素的列，若有，则按列继续处理。若既没有含有独立0元素的行，也没有含有独立0元素的列，则仍然按行继续处理。 （2）在按行处理时，若某行有独立0元素，把该0元素标记为a，把该0所在的列中的其余0元素标记为b；否则，暂时越过本行，处理后面的行。把所有含有独立0元素的行处理完毕后，再回来处理含有2个以及2个以上的0元素的行：任选一个0做a标记，再把该0所在行中的其余0元素及所在列中的其余0元

牛吃草问题的方程解法

牛吃草问题的方程解法

浙江工贸职业技术学院 刘维先

牛吃草问题的方程解法

例题1:一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青 草可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周。那么可 供21头牛吃几周？ 解：设牧场原有草量为1,每周新长草X;可供21头牛 吃y天 列表格如下: 牛的数量 27 23 21 根据每头牛单位时间 吃草数量保持不变列 方程时间 6 9 1+9X Y 1+YX 草的总量 1+6X

(1+6X) / (27×6) = (1+9X) / (23×9) = (1+YX)/21Y 解得x=5/24 ,代人 (1+9X) / (23×9) = (1+YX)/21Y 求出y=12

牛吃草问题的方程解法

题目演变之三(青草减少) 例题2:由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减 少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6 天。那么，可供11头牛吃几天？ 解：设牧场原有草量为1,每天减少草X; 列表如下：牛的数量 时间 草的总量 20 5 1-5X 16 6 1-6X 11 Y 1-YX

每头牛单位时间吃草数量

(1-5X)/20×5

(1-6X)/16×6

(1-YX)/1

年龄问题及其5种解法

年龄问题在数学运算中也是常考的考点之一，有好多年的过联考都曾出现过对年龄问题考察的相关考题。我认为考生对于年龄问题的掌握主要有以下几个方面。 年龄问题的基本知识点：

正常的人(不包括未出生的人和已故去的人)过n年长n岁，同样的n年前，每个人都减去n岁。

每两个人之间的年龄差不变。

随着时间的推移，大年龄除以小年龄所得的倍数逐渐变小。 年龄问题的基本解题方法： 一、代入排除法。

某些年龄问题只需把答案选项带回题干中，在比较容易操作的条件下就可以求出题目的正确答案。这类年龄问题比较容易解决。

【例】今年父亲年龄是儿子年龄的10倍，6年后父亲年龄是儿子年龄的4倍，则今年父亲、儿子的年龄分别是。 A.60岁，6岁 B.50岁，5岁 C.40岁，4岁 D.30岁，3岁

解析：题中给出了父亲和儿子年龄之间的关系，求现在父亲、儿子的年龄分别是多少岁，而答案恰好就是给出了现在父亲和儿子的年龄，我们只要把答案带入题 干中，找出满足题意的选择即可。当然我们要用到过六年时父亲和儿子都长了6岁这样的年龄问题的基本知识点。A、B、C选项用“6年后父亲年龄是儿子年龄的 4倍”可以容易的排除。D选项中今