三阶行列式计算技巧
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课题 二阶与三阶行列式
课题1 二阶与三阶行列式;全排列及其逆序数;n 阶行列式的定义;对换.
1、二阶行列式
ax?ax?b?1111212?把二元线性方程组(1)
ax?ax?b?2212212的四个系数按它们在方程组(1)中的位置,排成二行二列的数表
aa1211(2)aa2212aa?aa称为
数表(2其运算表达式)的二阶行列式,21221112记为aa
1112D?aa?aa? 3 ()
21111222aa2122a(i?1,2;j?1,2)称为行列式(31理解:()数)的元素ij j?1,2)a(i?1,2;)的元素可表为或元,即行列式(3,ij iia j行的第3元素为列标。)位于该行列式(其中为行标,ij j),(ij元.
第列或称为行列式(3)的第aaaa的联的联线称为主对角线,)把(2到到21122211线称为副对角线,二阶行列式等于各
元素主对角线之积减去副对角线各元素之积.
(3)行列式表示按某种法则运算的结果.
利用行列式的概念,二元线性方程组(1)的求解过程- 3 - / 7 可写为
aaabab1121111112?D?D?D?0. ,,
21bbaaaa2222122222DD21?xx?.
所以,21DD1. 例自学P2、三阶行列式2 9个数排成3行3列
利用对角线法则计算下列三阶行列式
第一章 行列式
1? 利用对角线法则计算下列三阶行列式?
201(1)1?4?1? ?183
解
2011?4?1 ?183 ?2?(?4)?3?0?(?1)?(?1)?1?1?8 ?0?1?3?2?(?1)?8?1?(?4)?(?1) ??24?8?16?4??4?
abc(2)bcacab?
解
abcbcacab ?acb?bac?cba?bbb?aaa?ccc ?3abc?a3?b3?c3?
111(3)abca2b2c2?
解
111abca2b2c2 ?bc2?ca2?ab2?ac2?ba2?cb2 ?(a?b)(b?c)(c?a)?
(4)
xyx?yyx?yxx?yxy?
解
xyx?yyx?yxx?yxy
?x(x?y)y?yx(x?y)?(x?y)yx?y3?(x?y)3?x3 ?3xy(x?y)?y3?3x2 y?x3?y3?x3 ??2(x3
四阶行列式的计算
四阶行列式的计算;
N阶特殊行列式的计算(如有行和、列和相等);
矩阵的运算(包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算); 求矩阵的秩、逆(两种方法);解矩阵方程; 含参数的线性方程组解的情况的讨论;
齐次、非齐次线性方程组的求解(包括唯一、无穷多解); 讨论一个向量能否用和向量组线性表示; 讨论或证明向量组的相关性;
求向量组的极大无关组,并将多余向量用极大无关组线性表示; 将无关组正交化、单位化; 求方阵的特征值和特征向量;
讨论方阵能否对角化,如能,要能写出相似变换的矩阵及对角阵; 通过正交相似变换(正交矩阵)将对称矩阵对角化; 写出二次型的矩阵,并将二次型标准化,写出变换矩阵; 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分:基本知识 一、行列式 1.行列式的定义
用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。
(1)它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和; (2)展开式共有n!项,其中符号正负各半; 2.行列式的计算
一阶|α|=α行列式,二、三阶行列式有对角线法则;
N阶(n>=3)行列式的计算:降阶法
定理:n阶行列式的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法:选取比
二阶行列式教案
9.3 二阶行列式
一、新课引入:
问题1:解二元一次方程组:(*)??a1x?b1y?c1
?a2x?b2y?c2同加减消元法:①×b2-②×b1得?a1b2?a2b1?x?c1b2?c2b1 ②×a1-①×a2得?a1b2?a2b1?y?a1c2?a2c1 当?a1b2?a2b1??0,方程组有唯一解
c1b2?c2b1?x??a1b2?a2b1? ??y?a1c2?a2c1?a1b2?a2b1?
二、新课讲授 1、二阶行列式 (1)定义:我们用记号
a1b1a2b2表示算式a1b2?a2b1,即
a1b1a2b2 = a1b2?a2b1,
其中记号教育网
a1b1a2b2叫做行列式,因为它只有两行、两列,所以把它叫做二阶行列式。21世纪(2)展开式:a1b2?a2b1,叫做行列式
a1b1a2b2b1的展开式,其计算结果叫做行列式的值。
(3)元素:a1,b2,a2,b1,叫做行列式
2、二阶行列式的计算
a1a2b2的元素。
a1三角形法则:
b1实线表示的对角线叫主对角线,虚线表示的对角线叫副对角线。二
a2b2阶行列式是这样两项的代数和:一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)
上两个元素的乘
二阶行列式教案
9.3 二阶行列式
一、新课引入:
问题1:解二元一次方程组:(*)??a1x?b1y?c1
?a2x?b2y?c2同加减消元法:①×b2-②×b1得?a1b2?a2b1?x?c1b2?c2b1 ②×a1-①×a2得?a1b2?a2b1?y?a1c2?a2c1 当?a1b2?a2b1??0,方程组有唯一解
c1b2?c2b1?x??a1b2?a2b1? ??y?a1c2?a2c1?a1b2?a2b1?
二、新课讲授 1、二阶行列式 (1)定义:我们用记号
a1b1a2b2表示算式a1b2?a2b1,即
a1b1a2b2 = a1b2?a2b1,
其中记号教育网
a1b1a2b2叫做行列式,因为它只有两行、两列,所以把它叫做二阶行列式。21世纪(2)展开式:a1b2?a2b1,叫做行列式
a1b1a2b2b1的展开式,其计算结果叫做行列式的值。
(3)元素:a1,b2,a2,b1,叫做行列式
2、二阶行列式的计算
a1a2b2的元素。
a1三角形法则:
b1实线表示的对角线叫主对角线,虚线表示的对角线叫副对角线。二
a2b2阶行列式是这样两项的代数和:一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)
上两个元素的乘
行列式的计算技巧和方法总结
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专业技术参考资料 计算技巧及方法总结
一、 一般来说,对于二阶、三阶行列式,可以根据定义来做
1、二阶行列式
2112221122
211211a a a a a a a a -= 2、三阶行列式
33
3231232221
131211
a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 例1计算三阶行列式601504
3
21-
解 =-6
015043
21601??)1(52-?+043??+)1(03-??-051??-624??-
4810--=.58-=
但是对于四阶或者以上的行列式,不建议采用定义,最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以便计算。
计算上三角形行列式 nn nn n n a a a a a a a a a ΛΛ
ΛΛΛΛ
Λ
Λ221122*********= 下三角形行列式 nn
n n a a a a a a ΛΛΛ
ΛΛΛ
Λ
21222111000.2211nn a a a Λ=
行列式 -
第一章 行列式
行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的. 它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用,是常用的一种计算工具。特别是在本门课程中,它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具。
§1.1 n阶行列式定义和性质
1.二阶行列式
定义1 二阶行列式 由22个数排成2行2列所组成下面的式子(或符号)
a11a21a12?a11a22?a12a21 a22称为二阶行列式,行列式中每一个数称为行列式的元素,数aij称为行列式的元素,它的第一个下标i称为行标,表明该元素位于第i行,第二个下标j称为列标, 表明该元素位于第
2j列.位于第i行第j列的元素称为行列式的(i,j)元。2阶行列式由2个数组成,两行两列;展开式是一个数或多项式;若是多项式则必有2!?2项,且正负项的各数相同。
应用:解线性方程
例1:二阶线性方程组
?a11x1?a12x2?b1??a21x1?a22x2?b2 且a11a22?a12a21?0. 解:D?
a11a21a11a12a22b1D1,D?a11a22?a12a21,D1??a11b2?b1a21
x2?D2. Db1b2a12a22?b1a22?a12b2,
D2
行列式的计算技巧与方法总结
行列式的几种常见计算技巧和方法
2.1 定义法
适用于任何类型行列式的计算,但当阶数较多、数字较大时,计算量大,有一定的局限性.
00例1 计算行列式
040030020010. 00?24项,但由解析:这是一个四级行列式,在展开式中应该有4!于出现很多的零,所以不等于零的项数就大大减少.具体的说,展开式中的项的一般形式是a1j1a2j2a3j3a4j4.显然,如果j1?4,那么a1j1?0,从而这个项就等于零.因此只须考虑j1?4的项,同理只须考虑
j2?3,j3?2,j4?1的这些项,这就是说,行列式中不为零的项只有
??6,所以此项取正号.故 a14a23a32a41,而??432100040030020010??4321?=??1?a14a23a32a41?24. 002.2 利用行列式的性质
即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式. 2.2.1 化三角形法
上、下三角形行列式的形式及其值分别如下:
1
a1100?0a11a21a31?an1a12a220?00a22a32?an21a13?a1na23?a2na33?a3n?a11a22?ann,?00???ann?000?a11a22?ann.
行列式的计算技巧与方法总结
行列式的几种常见计算技巧和方法
2.1 定义法
适用于任何类型行列式的计算,但当阶数较多、数字较大时,计算量大,有一定的局限性.
00例1 计算行列式
040030020010. 00?24项,但由解析:这是一个四级行列式,在展开式中应该有4!于出现很多的零,所以不等于零的项数就大大减少.具体的说,展开式中的项的一般形式是a1j1a2j2a3j3a4j4.显然,如果j1?4,那么a1j1?0,从而这个项就等于零.因此只须考虑j1?4的项,同理只须考虑
j2?3,j3?2,j4?1的这些项,这就是说,行列式中不为零的项只有
??6,所以此项取正号.故 a14a23a32a41,而??432100040030020010??4321?=??1?a14a23a32a41?24. 002.2 利用行列式的性质
即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式. 2.2.1 化三角形法
上、下三角形行列式的形式及其值分别如下:
1
a1100?0a11a21a31?an1a12a220?00a22a32?an21a13?a1na23?a2na33?a3n?a11a22?ann,?00???ann?000?a11a22?ann.
行列式的计算
行列式的计算方法
摘要:行列式计算的技巧性很强.理论上,任何一个行列式都可以按照定义进行计算,但是直接按照定义计算而不借助于计算机有时是不可能的.本文在总结已有常规行列式计算方法的基础上,对行列式的计算方法和一些技巧进行了更深入的探讨.总结出“定义法”、“化三角形法”、“滚动消去法”、“拆分法”、“加边法”、“归纳法”、“降级法”、“特征值法”等十几种计算技巧和途径. 关键词: 行列式 计算方法
行列式是研究某些数的“有规”乘积的代数和的性质及其计算方法.它起源于解线性方程, 以后逐步地应用到数学的其它领域.行列式的计算通常要根据行列式的具体特点,采用相应的计算方法. 这里介绍几种常见的,也是行之有效的计算方法. 1.对角线法则
对角线法则是行列式计算方法中最为简单的一种,记忆起来很方便,但它只适用于二阶和三阶行列式,四阶及以上的行列式就不能采用此方法. 2.定义法
根据行列式定义可知,如果所求的行列式中含的非零元素特别少(一般不多于2n个) ,可以直接利用行列式的定义求解,或者行列式的阶数比较低(一般是2阶或者3阶) .如果对于一些行列式的零元素(若有)分布比较有规律,如上(下) 三角形行列式