解析几何解答题分类汇总专题的存在性问题

2015年12月07日博强教育的高中数学组卷

一．解答题（共30小题）

1．（2014秋?安徽月考）已知椭圆C：

+

=1（{a＞b＞0}）的离心率e=

，且由椭圆

上顶点、右焦点及坐标原点构成的三角形面积为2． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）已知P（0，2），过点Q（﹣1，﹣2）作直线l交椭圆C于A、B两点（异于P），直线PA、PB的斜率分别为k1、k2．试问k1+k2 是否为定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由．

2．（2014?河北）已知点A（0，﹣2），椭圆E：

+

=1（a＞b＞0）的离心率为

，F是

椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．

3．（2015?浙江）已知椭圆

上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．

（1）求实数m的取值范围；

（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．

4．（2015?山东）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的离心率为

，

左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

第1页（共5

探究圆锥曲线中的存在性问题

1．求曲线（或轨迹）的方程。对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力；

2．与圆锥曲线有关的最值（或极值）和取值范围问题，圆锥曲线中的定值、定点问题，探究型的存在性问题。这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、平面向量、函数、不等式、三角函数知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。 一、是否存在这样的常数

x2例1．在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆?y2?1有两个不同的

2交点P和Q． （I）求k的取值范围；

（II）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量OP?OQ与

AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为y?kx?2，

?1x22?2代入椭圆方程得?(kx?2)2?1．整理得??k?x?22kx?1?0 ①

?2?2直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于??8k?4?2?1??k2??4k2?2?0， ?2???2??222?∞，?，?∞?解得k??或k?．即k的取值范围为?．

立体几何

立体几何

1.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，

QA=AB=

12PD.（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ（II）求二面

角Q-BP-C的余弦值.

2.如图，在三棱柱ABC?ABC中，H111是正方形AA1B1B5.（Ⅰ）求

的中心，AA1?22，C1H?平面AA1B1B，且C1H?异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角A?A1C1?B1的正弦值；（Ⅲ）设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN?平面A1B1C，求线段BM的长．

3.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ ACB=90?，

ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.（Ⅰ)若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．

4.如图5，在椎体P?ABCD中，ABCD是边长为1的棱形

?DAB?60,PA?PD?02,PB?2,E,F分别是BC,PC的中点，（1） 证明：AD?平面DEF（2）求二面角P?AD?B的余弦值。

5.如图，ABCDEFG为多面体，平面ABED与平面AGFD垂直，点O在线段AD上，OA?1,OD?2,V

用心 爱心 专心 1 题型六 解析几何中的探索性问题

(推荐时间：30分钟)

1．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为A ，△AF 1F 2为正三角形，且以AF 2为直径的圆与直线y ＝3x ＋2相切．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)在(1)的条件下，过右焦点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点P (m,0)，使得以PM 、PN 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由．

2．(2010·福建)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2，3)，且点F (2,0)为其右焦点．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．

答 案

1．解 (1)∵△AF 1F 2是正三角形，∴a ＝2c .

由已知F 2(c,0)，A (0，b )，

∴以AF 2为直径的圆的圆心为? ??

??12c ，12b ，半径r ＝12a . 又该圆与直线3x －y ＋2＝0相切，

则有??????32c －

专题五 解析几何

例题、 (2011年·辽宁)如图,已知椭圆C1的中心在原 点O,长轴左、右端点M、N在x轴上,椭圆C2的短轴 为MN,且C1,C2的离心率都为e,直线l⊥MN,l与C1交于 两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次 为A,B,C,D.1 (1)设e= ,求|BC|与|AD|的比值; 2

(2)当e变化时,是否存在直线l,使得 BO∥AN?并说明理由.

【解析】(1)因为C1,C2的离心率相同,故依题意可设x2 y2 b2 y 2 x2 C1: + 2=1,C2: + =1,(a>b>0). a2 b a4 a2

设直线l:x=t(|t|<a),分别与C1,C2的方程联立, 求得A(t,1a b2 a t ),B(t, 2

b a

2 a t ). 2

当e= 时,b= a,分别用yA,yB表示A,B的纵坐标,可知 2 |BC|∶|AD|=2 | yB | 2 | yA |

3 2

b2 = 2 a

=

3 4

(2)t=0时的l不符合题意,t≠0时,BO∥AN当且仅当BO的斜率kBO与 AN的斜率kAN相等,b 2 2 a t a t

也可用向量表示更恰当。 也可用向量表示更恰当。

即

=

a 2 2

解析几何证明问题

x2y261、 已知椭圆T:2?2?1(a?b?0)的一个顶点A?0,1?，离心率e?，圆C:x2?y2?4，从圆C上任意一点

ab3P向椭圆T引两条切线PM,PN.

（1）求椭圆T的方程； （2）求证：PM?PN.

x2c6?y2?1 --------------4分 解：（Ⅰ） 由题意可知：b?1，?椭圆方程为：3a3 （Ⅱ）法1：(1) 当P点横坐标为?(2) 当P点横坐标不为?3时，PM斜率不存在，PN斜率为0，PM?PN----------5分

223时，设P(x0,y0),则x0?y0?4,设kPM?k

?y?y0?k(x?x0)?PM的方程为y?y0?k(x?x0),联立方程组 ?x2

2??y?1?322消去y得：(1?3k2)x2?6k(y0?kx0)x?3k2x0?6kx0y0?3y0?3?0 ------6分 22依题意：??0即??36k2(y0?kx0)2?41?3k23k2x0?6kx0y0?3y0?3?0 ---------8分 22化简得：(3?x0)k2?2x0y0k?1?y0?0

2221?y01?(4?x0)x0?3?????1 2223?x03?x03?x0

2011年全国高中数学联赛集训暨2012年中国数学奥林匹克赛前训练材料--内部使用

数学竞赛中的平面几何

一、引言

1．国际数学竞赛中出现的几何问题，包括平面几何与立体几何，但以平面几何为主体．国际数学竞赛中的平面几何题数量较多、难度适中、方法多样（综合几何法、代数计算法、几何变换法等），从内容上看可以分成三个层次：

第一层次，中学几何问题．

这是与中学教材结合比较紧密的常规几何题，虽然也有轨迹与作图，但主要是以全等法、相似法为基础的证明题，重点是与圆有关的命题，因为圆的命题知识容量大、变化余地大、综合性也强，是编拟竞赛试题的优质素材．

第二层次，中学几何的拓展．

这是比中学教材要求稍高的内容，如共点性、共线性、几何不等式、几何极值等．这些问题结构优美，解法灵活，常与几何名题相联系．有时还可用几何变换来巧妙求解．

第三层次，组合几何——几何与组合的交叉 ．

这是用组合数学的成果来解决几何学中的问题，主要研究几何图形的拓扑性质和有限制条件的欧几里得性质．所涉及的类型包括计数、分类、构造、覆盖、递推关系以及相邻、相交、包含等拓扑性质．这类问题在第六届IMO（1964）就出现了，但近30年，无论内容、形式和难度都上了新的台阶，成为一类极有竞赛味、也

解析几何证明问题

x2y261、 已知椭圆T:2?2?1(a?b?0)的一个顶点A?0,1?，离心率e?，圆C:x2?y2?4，从圆C上任意一点

ab3P向椭圆T引两条切线PM,PN.

（1）求椭圆T的方程； （2）求证：PM?PN.

x2c6?y2?1 --------------4分 解：（Ⅰ） 由题意可知：b?1，?椭圆方程为：3a3 （Ⅱ）法1：(1) 当P点横坐标为?(2) 当P点横坐标不为?3时，PM斜率不存在，PN斜率为0，PM?PN----------5分

223时，设P(x0,y0),则x0?y0?4,设kPM?k

?y?y0?k(x?x0)?PM的方程为y?y0?k(x?x0),联立方程组 ?x2

2??y?1?322消去y得：(1?3k2)x2?6k(y0?kx0)x?3k2x0?6kx0y0?3y0?3?0 ------6分 22依题意：??0即??36k2(y0?kx0)2?41?3k23k2x0?6kx0y0?3y0?3?0 ---------8分 22化简得：(3?x0)k2?2x0y0k?1?y0?0

2221?y01?(4?x0)x0?3?????1 2223?x03?x03?x0

高考文科解析几何专题

解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。

【重要知识点】

1.两条相交直线l1与l2的夹角：是指由l1与l2相交所成的四个角中最小的正角?，又称为l1k2?k1??????900,tan??和l2所成的角，它的取值范围是?，当，则有。 ?2?1?kk??12?l1:A1x?B1y?C1?0的交点的直线系方程A1x?B1y?C1??(A2x?B2y?C2)?0(?l:Ax?By?C?022?222.过两直线?为参数，A2x?B2y?C2?0不包括在内）。

3.设点P(x0,y0)，直线l:Ax?By?C?0,P到l的距离为d，则有d?Ax0?By0?CA?B22.

4.两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：|P1P2|?(x2?x1)2?(y2?y1)2 5.两直线l1:y1?k1x1?b1,l2:y2?k2x2?b2的位置关

解析几何专题复习策略

总体来说，新课标的解析几何考查的内容删减较多，但高考难度却变化不大。学生得分不高。属于难题

一、五年高考回顾： （以理科为例文科在具体专节中说明） （一）新课标四年高考考情分析

解析几何主要包括：直线与方程，圆与方程，圆锥曲线与方程。共有31个知识点，（2007~2010）4年来全国高考试题先后涉及到18个知识点，高考覆盖率大约为56%，一共考查了33次，平均每年考查8.25次。解析几何与立体几何相似，在高考试卷中试题所占分值比例较大。一般地，解析几何在高考试卷中试题大约出现3个题目两小一大（其中选择题、填空题占两道，解答题占一道）；其所占平均分值为22分左右，所占平均分值比例约为14%。试题平均难度为0.29（其中选择、填空难度0.15～0.52，平均难度0.29，解答题难度在0.11～0.30，平均难度0.17）。属于难题。对数学技能方面，选择填空题多在基本概念上出题，考查学生推理认证能力与数形结合的能力（比如直线与方程，圆与方程，双曲线的渐近线等），解答题主要考查直线与圆锥曲线位置关系问题的探究技能（特别是直线与椭圆）；对数学能力方面，主要考查数学基本能力中的