量子力学讲义 刘觉平

习题一

1. 计算下列情况的Einstein-de Broglie 波长，指出哪种过程要用量子力学处理：

（1）能量为0.025eV 的慢中子24n 1.6710g m -=?（）被铀吸收；

（2）能量为5MeV 的α粒子穿过原子246.6410g m α-=?（）；

（3）飞行速度为100m /s 质量40g 为的子弹的运动。

解：（1）由242220m c p c E +=

注意到：2851.503109.3810n m c J Mev -=?=?>>0.025ev 得2

2k p E m = 利用Einstein-de Broglie 关系

h

p λ=

得：0.181nm λ=

而吸收过程中作用距离（即核半径）约为飞米量级，比0.181nm 小，因此要用量子力学处理。

（2）由242220m c p c E +=

注意到：2855.97610 3.7310m c J Mev α-=?=?>> 6.4fm λ=

得h εν=

利用Einstein-de Broglie 关系

h p λ

=

得： 6.4fm λ=

这比原子半径小的多，因此不需用量子力学处理。

（3）显然子弹不是相对论的，故可利用p mv =。

代入Einstein-de Broglie 关系

第3章 量子力学中的力学量

§1 算符的运算规则

一、算符的定义：

算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。

??v Au表示?把函数u变成 v， ?就是这种变换的算符。为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。 二、算符的一般特性 1、线性算符

满足如下运算规律的算符?，称为线性算符

?(c??c?)?cA??? A11221?1?c2A2其中c1, c2是任意复常数，?1, ?2是任意两个波函数。

????i??， 例如：动量算符p单位算符I是线性算符。 2、算符相等

?对体系的任何波函数?的运算结果都相同，即A???B??，则算符?和算若两个算符?、B??B?相等记为A?。 符B3、算符之和

????B???B??，?对体系的任何波函数?有：?)??A???CB?C??若两个算符?、则AB(A称为算符之和。

??B?，A??B??A??(B?)?(A??B? ??C?)?C A4、算符之积

??，定义为 ?之积，记为AB 算符?与B??)??A?(B?? ??)?C(AB???BA??。 ?是任意波函数。

第三章 力学量用算符表达

§3.1 算符的运算规则

一、算符的定义：

算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。

??v Au表示?把函数u变成 v， ?就是这种变换的算符。

为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。

二、算符的一般特性 1、线性算符

满足如下运算规律的算符?，称为线性算符

?(c??c?)?cA??? A11221?1?c2A2其中c1, c2是任意复常数，?1, ?2是任意两个波函数。

????i??， 例如：动量算符p单位算符I是线性算符。 2、算符相等

?对体系的任何波函数?的运算结果都相同，即A?相等记为???B??，则算符?和算符B若两个算符?、B??B?。 A3、算符之和

??B?称为算符之?对体系的任何波函数?有：(A??C??B???B??，则A?)??A???C若两个算符?、B和。

??B?，A??B??A??(B?)?(A??B? ??C?)?C A4、算符之积

??，定义为 ?之积，记为AB 算符?与B??)??A?(B?? ??)?C(AB???BA??。 ?是任意波函

第三章 力学量用算符表达

§3.1 算符的运算规则

一、算符的定义：

算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。

??v Au表示?把函数u变成 v， ?就是这种变换的算符。

为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。

二、算符的一般特性 1、线性算符

满足如下运算规律的算符?，称为线性算符

?(c??c?)?cA??? A11221?1?c2A2其中c1, c2是任意复常数，?1, ?2是任意两个波函数。

????i??， 例如：动量算符p单位算符I是线性算符。 2、算符相等

?对体系的任何波函数?的运算结果都相同，即A?相等记为???B??，则算符?和算符B若两个算符?、B??B?。 A3、算符之和

??B?称为算符之?对体系的任何波函数?有：(A??C??B???B??，则A?)??A???C若两个算符?、B和。

??B?，A??B??A??(B?)?(A??B? ??C?)?C A4、算符之积

??，定义为 ?之积，记为AB 算符?与B??)??A?(B?? ??)?C(AB???BA??。 ?是任意波函

量子力学的变分法-量子力学的变分法

　　当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。　　
量子力学的变分法-量子力学的变分法
解薛定谔方程的一种应用范围极广的近似方法
对于束缚定态
它是基于能量本征值方程（即不含时间的薛定谔方程）与能量变分原理的等价性
通过求能量的极值得到能量本征值方程的解
在处理具体问题时
总是采用波函数某种特殊的变化去代替最普遍的任意变分
这样就可得到依赖于波函数特殊形式的近似解
这种方法称为变分法

　　若体系的哈密顿量算符为彑
其能量本征值方程为

(1)
该体系的能量平均值
(2)
是波函数φ的泛函
式中表示对体系全部坐标积分
可以证明
求彑的本征值方程
等价于求解
(3)
也就是满足变分原理(3)的φ为彑的本征函数
唕的极值为所对应的本征值
即
(4)
　　这样
如果能猜测到一个φ正好满足式(1)
则由式(2)所得的唕【φ】等于E
如果猜测的φ与ψ 略有不同
则唕【φ】必定大于E
因而唕【φ】总是给出唕的一个上限
当做了多次猜测之后
其中最小的唕一定是这些猜测中最好的
这样就把最小的唕取作E的近似值
应用以上手续可得到一种通过猜测去计算能量近似值的方法
改善波函数通常是通过一个含连续参数的特殊形式的波函数φ(q
α1
α2
α3
...)来实现

《量子力学》题库

一、简答题

1 试写了德布罗意公式或德布罗意关系式，简述其物理意义 答：微观粒子的能量和动量分别表示为： E?h????

??h?p?n??k

?其物理意义是把微观粒子的波动性和粒子性联系起来。等式左边的能量和动量是描述粒

子性的；而等式右边的频率和波长则是描述波的特性的量。

2 简述玻恩关于波函数的统计解释，按这种解释，描写粒子的波是什么波？

答：波函数的统计解释是：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。按这种解释，描写粒子的波是几率波。

3 根据量子力学中波函数的几率解释，说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。

答：根据量子力学中波函数的几率解释，因为粒子必定要在空间某一点出现，所以粒子在空间各点出现的几率总和为1，因而粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度而不决定于强度的绝对大小；因而将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，这是其他波动过程所没有的。

4 设描写粒子状态的函数?可以写成??c1?1?c2?2，其中c1和c2为复数，?1和?2为粒子的分别属于能量E1和E2的构成完备系的能量本征态。试说明式子??c1?1?c2?

一、 填空题

1．玻尔的量子化条件为 。 2．德布罗意关系为 。

3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为 。 4．波函数的统计解释：_____________________________________ __________________________________________________________ 5．

为归一化波函数，粒子在

方向、立体角

内出现的几率

为 ，在半径为 ，厚度为 为 。

的球壳内粒子出现的几率

6．波函数的标准条件为 。 7．

，

为单位矩阵，则算符

的本征值为__________。

8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子 ___________守恒。

9．力学量算符应满足的两个性质是 。 10．厄密算符的本征函数具有

河南科技大学物理工程学院教案（李同伟） 第四章 态和力学量的表象

第四章 态和力学量的表象

§4-1 状态的表象

一、表象

?具有断续谱，它满足的本征方程为 设力学量算符F?u(x)?fu(x) Fnnn?算符F具有一组正交归一完备的本征函数系?un(x)?。如果把?un(x)?作为一组基矢（或称为基底），则它们张开一个空间。由展开假设可知，对任意一个状态?(x,t)，则有

?(x,t)??cn(t)un(x)

n显然，?(x,t)就是该空间中的一个矢量，所以也称为态矢。因此，这个空间就称为态矢空间，也叫做希尔伯特空间。每一个物理上允许的波函数都是态矢空间中的一个元素，量子力学的所有活动都在这个空间内进行。

?的本征函数系?u(x)?作为基矢组，上面讨论的空间是以F所以称为F表象下的态矢空n间。?(x,t)的展开系数

*cn(t)??un(x)?(x,t)dx

???表示态矢?(x,t)在un(x)上的投影。

若波函数?(x,t)和un(x)都已经归一化，则

????***?*(x,t)?(x,t)dx??cmcn?umundx??cmcn?mn??cnmn??mnn?2?1

河南科技大学物理工程学院教案（李同伟） 第四章 态和力学量的表象

第四章 态和力学量的表象

§4-1 状态的表象

一、表象

?具有断续谱，它满足的本征方程为 设力学量算符F?u(x)?fu(x) Fnnn?算符F具有一组正交归一完备的本征函数系?un(x)?。如果把?un(x)?作为一组基矢（或称为基底），则它们张开一个空间。由展开假设可知，对任意一个状态?(x,t)，则有

?(x,t)??cn(t)un(x)

n显然，?(x,t)就是该空间中的一个矢量，所以也称为态矢。因此，这个空间就称为态矢空间，也叫做希尔伯特空间。每一个物理上允许的波函数都是态矢空间中的一个元素，量子力学的所有活动都在这个空间内进行。

?的本征函数系?u(x)?作为基矢组，上面讨论的空间是以F所以称为F表象下的态矢空n间。?(x,t)的展开系数

*cn(t)??un(x)?(x,t)dx

???表示态矢?(x,t)在un(x)上的投影。

若波函数?(x,t)和un(x)都已经归一化，则

????***?*(x,t)?(x,t)dx??cmcn?umundx??cmcn?mn??cnmn??mnn?2?1

从波函数到薛定谔方程

摘要：本文从波函数出发，阐述薛定谔的推导过程，并且根据哈特里福克方程，克莱因戈

尔登方程完善薛定谔方程的泡利不相容原理，洛伦兹不变性。

关键词：波函数 薛定谔方程 哈特里福克方程 克莱因戈尔登方程

一．波函数：

微观粒子的运动状态称为量子态，是用波函数来描述的，这个波函数所反映的微观粒子

波动性 ，这个波函数所反映的微观粒子波动性，就是德布罗意波。（量子力学的基本假设之一）并且，玻恩指出：德布罗意波或波函数不代表实际物理量的波动，而是描述粒子在空间的概率分布的概率波。 （1）推导过程：

在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数一列沿X轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程，即：

应用欧拉公式，可以推广到复数域：

再通过德布罗意公式，可以得到自由粒子的波函数：

（2）波函数性质

1.自由粒子的能量和动量为常量，其波函数所描述的德布罗意波是平面波。

2.对于处在外场作用下运动的非自由粒子，其能量和动量不是常量，其波函数所描述的 德布罗意波就不是平面波。

3.外场不同，粒子的运动状态及描述运动状态的波函数也不相同。 （3）波函数的统计假设

设描述粒子运动状态的波函数为

，则

1.空间某