高等数学空间解析几何知识点

向量代数与空间解析几何

第一部分 向量代数___线性运算

[内容要点]:

1. 向量的概念. 2. 向量的线性运算.

3. 向量的坐标，利用坐标作向量的线性运算.

[本部分习题]

1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或哪个卦限. A(2,?3,?5);B(0,4,3);C(0,?3,0) 2. 求点(1,?3,?2)关于点(?1,2,1)的对称点坐标. 3. 求点M(?4,3,?5)到各坐标轴的距离.

4. 一向量的起点为A(1,4,?2),终点为B(?1,5,0),求AB在x轴、y轴、z轴上的投影,并

求|AB|。

5. 已知两点M1(4,2,1)和M2(3,0,2),计算向量M1M2的模、方向余弦和方向角.

6． 已知a?{3,5,4},b?{?6,1,2},c?{0,?3,?4},求2a?3b?4c及其单位向量.

7．设a?3i?5j?8k,b?2i?4j?7k,c?5i?j?4k,求向量l?4a?3b?c在x轴上的投影以及在y轴上的分向量.

???????????????????????????第二部分 向量代数___向量的“积”

[内容要点]:

1.向量的数量积、向量积的概念、坐标表示式及其运

第五章 向量代数与空间解析几何 5.1.1 向量的概念

____

____例1 在平行四边形ABCD中，设AB＝a，AD＝b。试用a和b表示向量MA、MB、

?____?____?____?____?MC和MD，这里M是平行四边形对角线的交点（图5－8）

解 由于平行四边形的对角线互相平行，所

____?以 a＋b＝AC＝2AM

____?____?即 －（a＋b）＝2MA

____?于是 MA＝?____

?1（a＋b）。 2?____因为MC＝－MA，所以MC?________?

____?1（a＋b）. 2____

____ 图5－8

________???11又因－a＋b＝BD＝2MD，所以MD＝（b－a）.由于MB＝－MD，MB＝（a－b）.

22??? 例2 设液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的速度均为（常

向量）v。设n为垂直于S的单位向量（图5－11（a）），计算单位时间内经过这区域流向n所指向一侧的液体的质量P（液体得密度为?）.

（a） （b） 图5－11

解 该斜柱体的斜高| v |，斜高与地面垂线的夹角为v与n的夹角?，所以这柱体的高为| v |cos?

第五章 向量代数与空间解析几何 5.1.1 向量的概念

____

____例1 在平行四边形ABCD中，设AB＝a，AD＝b。试用a和b表示向量MA、MB、

?____?____?____?____?MC和MD，这里M是平行四边形对角线的交点（图5－8）

解 由于平行四边形的对角线互相平行，所

____?以 a＋b＝AC＝2AM

____?____?即 －（a＋b）＝2MA

____?于是 MA＝?____

?1（a＋b）。 2?____因为MC＝－MA，所以MC?________?

____?1（a＋b）. 2____

____ 图5－8

________???11又因－a＋b＝BD＝2MD，所以MD＝（b－a）.由于MB＝－MD，MB＝（a－b）.

22??? 例2 设液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的速度均为（常

向量）v。设n为垂直于S的单位向量（图5－11（a）），计算单位时间内经过这区域流向n所指向一侧的液体的质量P（液体得密度为?）.

（a） （b） 图5－11

解 该斜柱体的斜高| v |，斜高与地面垂线的夹角为v与n的夹角?，所以这柱体的高为| v |cos?

x2y2y2x21、椭圆标准方程的两种形式是：2?2?1和2?2?1(a?b?0)。

ababx2y2a20)，准线方程是x??2、椭圆2?2?1(a?b?0)的焦点坐标是(?c，，

cabc2b2222离心率是e?，通径的长是。其中c?a?b。

aax2y23、若点P(x0,y0)是椭圆2?2?1(a?b?0)上一点，F1、F2是其左、右焦点，

ab则点P的焦半径的长是PF1?a?ex0和PF2?a?ex0。

x2y2y2x24、双曲线标准方程的两种形式是：2?2?1和2?2?1(a?0，b?0)。

ababcx2y2a25、双曲线2?2?1的焦点坐标是(?c，准线方程是x??，离心率是e?，0)，

acab2b2x2y2222通径的长是，渐近线方程是2?2?0。其中c?a?b。

aabx2y2x2y26、与双曲线2?2?1共渐近线的双曲线系方程是2?2??(??0)。与双曲

ababx2y2x2y2?2?1。 线2?2?1共焦点的双曲线系方程是2a?kb?kab7、若直线y?kx?b与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为

AB?(1?k2)(x1?x2)2；

若直线x?my?t与圆锥曲线交于两点A(x1，y1

2015级机自7班高等数学AⅢ 自测题 班级： 姓名： 学号：

第八章 向量代数与空间解析几何

自测题 A卷

一、 填空题：（第1题5分，其余每题3分，共17分） 1.已知三点A(?2,1,?1),B(1,?3,4),C(?3,?1,1),则(1)向量AB的方向余弦为____________________,单位向量为____________________.(2)向量AB在AC上的投影为_______________,AB与AC的夹角为______________.(3)以三点为顶点的三角形的面积为__________________.

(4)过C且垂直于AB的平面方程为________________________.(5)过C且平行于AB的直线方程为________________________.2.设a??{1,1,?4},b??{2,(1)(a?b?)?(a?b?0,?2},??)?_________________.

(2)(a??b?)?(a??b?)?_________________.x2y2

第七章 空间解析几何与向量代数习题

(一)选择题

1. 已知A(1,0,2), B(1,2,1)是空间两点，向量AB 的模是：（ A ） A ）5 B） 3 C） 6 D）9 2. 设a={1,-1,3}, b={2,-1,2}，求c=3a-2b是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B） {-1,-1,5}. C） {1,-1,5}. D）{-1,-1,6}. 3. 设a={1,-1,3}, b={2,-1,2}，求用标准基i, j, k表示向量c;(???) A ）-i-2j+5k B）-i-j+3k C）-i-j+5k D）-2i-j+5k 4. 求两平面x?2y?z?3?0和2x?y?z?5?0的夹角是：（ C ） A ） B） C） D）?

?2?4?35. 一质点在力F=3i+4j+5k的作用下，从点A（1,2,0）移动到点B(3, 2,-1)，求力F所作的功是：（ ??? ）

A ）5焦耳 B）10焦耳 C）3焦耳

第八章向量代数与空间解析几何

自测题 A卷

一、填空题：（第 1 题 5 分，其余每题3分，共 17 分）

1. 已知三点 A ( 2,1, 1), B (1, 3, 4), C (3,1,1), 则

(1) 向量 AB的方向余弦为 __________, 单位向量为 ____________________.

(2)向量AB 在 AC 上的投影为 _______________, AB 与 AC的夹角为 ______________ .

(3)以三点为顶点的三角形的面积为 __________________.

(4)过 C 且垂直于 AB 的平面方程为 ________________________.

(5)过 C 且平行于 AB 的直线方程为 ________________________.

2.设 a{1,1,4},b{2,0, 2},

(1) (a b)(a b)_________________.

(2) (a b )(a b)_________________.

3.曲面x2y 2z2

1 的名称是 __________ __________ _____ . 12516

4.曲线y x21

绕 y 轴旋转一周得到的旋转曲面方程是 ___

高中数学解析几何知识点答题总结

第一部分:直线

一、直线的倾斜角与斜率

1.倾斜角α

(1)定义：直线l向上的方向与x轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。 (2)范围：0????180?

2.斜率：直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.

? k?tan（1）.倾斜角为90?的直线没有斜率。 （2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。

（3）设经过A(x1,y1)和B(x2,y2)两点的直线的斜率为k， 则当x1?x2时，k?tan??y1?y2o；当x1?x2时，??90；斜率不存在；

x1?x2二、直线的方程

1.点斜式：已知直线上一点P（x0,y0）及直线的斜率k（倾斜角α）求直线的方程用点斜式：y-y0=k(x-x0) 注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x?x0；

2.斜截式：若已知直线在y轴上的截距（直线与y轴焦点的纵坐标）为b，斜率为k，则直线方程：y?kx?b；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：y?kx 注意：正确理解“截距”这一概念

高等数学知识点重点

1 高等数学知识点总结 空间解析几何与向量代数

一、重点与难点

1、重点

①向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角; ②数量积(就是个数)、向量积(就是个向量);(填空选择题中考察)

③几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面;(重积分求体积时画图需要)

④平面的几种方程的表示方法(点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程),两平面的夹角;(一般必考)

⑤空间直线的几种表示方法(参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程), 两直线的夹角、直线与平面的夹角;(一般必考)

空间解析几何与向量代数:

。

代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。

是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθ??,cos )(][..sin ,cos ,

,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(222222221212

1221221221c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a k j i b a c b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j

第一讲: 一. 数列函数: 1. 类型:

极限与连续

(1)数列: *an f(n); *an 1 f(an) (2)初等函数:

(3)分段函数: *F(x)

f1(x)x x0 f(x)x x0

; *F(x) ;* ,,

ax x0 f2(x)x x0

(4)复合(含f)函数: y f(u),u (x) (5)隐式(方程): F(x,y) 0

(6)参式(数一,二):

x x(t)

y y(t)

(7)变限积分函数: F(x)

x

a

f(x,t)dt

(8)级数和函数(数一,三): S(x) 2. 特征(几何):

ax,x

nnn 0

(1)单调性与有界性(判别); (f(x)单调 x0,(x x0)(f(x) f(x0))定号) (2)奇偶性与周期性(应用).

3. 反函数与直接函数: y f(x) x f二. 极限性质:

1. 类型: *liman; *limf(x)(含x ); *limf(x)(含x x0 )

n

x

1

(y) y f 1(x)

x x0

2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型:

0

,,1, ,0 ,00, 0 0

4. 性质: *有界性,