空间解析几何与向量代数典型例题

第4章 向量代数与空间解析几何

4.1 空间直角坐标系

4.1.1 坐标系

在空间中任意取定点O，从O引出三条相互垂直的数轴，它们都以点O为坐标原点，且一般具有相同的长度单位。这三条数轴分别称为x轴（横轴），y轴（纵轴），z轴（竖轴），统称为坐标轴，点O称为坐标原点。

我们常用的是右手系，即用右手握着z轴，当右手四指从x轴正向转向y轴正向时大拇指的指向就是

z轴的正向。

z O yx

图4.1

在此空间直角坐标系中，x轴称为横轴，y轴称为纵轴，z轴称为竖轴，O称为坐标原点;每两轴所确定的平面称为坐标平面，简称坐标面.x轴与y轴所确定的坐标面称为xOy坐标面，类似地有yOz坐标面，zOx坐标面。这些坐标面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限.在空间直角坐标系中建立了空间的一点M与一组有序数(x,y,z)之间的一一对应关系。有序数组(x,y,z)称为点M的坐标；x,y,z分

z III 别称为x坐标，y坐标，z坐标. II

VII VI V 图4.2

IV I o y x VIII 76

这八个卦限中坐标的对应符号为：

卦限 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ － ＋ ＋ Ⅲ － － ＋ Ⅳ ＋ － ＋ Ⅴ ＋ ＋ － Ⅵ － ＋ － Ⅶ －

高等数学教案 第八章 空间解析几乎与向量代数

第八章 空间解析几何与向量代数

教学目的：

1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。

3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

4、掌握平面方程和直线方程及其求法。

5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。 6、会求点到直线以及点到平面的距离。

7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。

9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。 教学重点：

1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算； 2、两个向量垂直和平行的条件； 3、平面方程和直线方程；

4、平面与平面、平面与直线、

第七章 空间解析几何与向量代数

§7.1向量及其线性运算

7.1-1 向量概念

称只有大小的量为数量或标量，而称既有大小、又有方向的量为向量或矢量；称向量的

大小为向量的模．向量一般用一个小写的黑体字母来表示，如a , b 或 a r

，向量a 的模通常表

示为|a |或a r

．模等于1的向量称为单位向量，记作e ；模等于零的向量称为零向量，记作o 或，零向量的方向可以是任意的．向量的相等, 即a =b 意味着|a |=|b |且它们的方向相同，

即平移向量a ,b 到同一个始点后，a ,b 是重合的；a =0r

?b 意味着|a |=|b |且它们的方向相反，称?b 为b 的相反向量．

在几何上若以A ,B 分别表示一个向量a 的起点和终点，则a 也可以表示为有向线段，此时的长即表示向量a 的大小，即|a |=|AB uuu r

AB uuu r AB uuu r

|=AB .

空间向量是一个量，与其在空间的位置无关，因此像平面向量可以在平面上自由移动一样，空间向量也可以在空间中自由平移．

7.1-2 向量的线性运算

1.向量加减运算定义及性质规定两个向量的加法法则：

将两个向量a 和b 的起点移放在一起，并以a 和b 为邻边作 平行四边形，则从起点到对角顶

空间解析几何与向量代数

第一节 向量及其线性运算

一 、向量概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影

第二节 数量积 向量积 混合积

一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 三、向量的混合积

第三节 曲面及其方程

一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面

第四节 空间曲线及其方程

一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 第五节 平面及其方程

一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 第六节 空间直线及其方程

一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程 三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角 五、杂例

《空间解析几何与向量代数》- 1 -

一、

第一节 向量及其线性运算

向量概念

在研究力学、物理学以及其他应用科学时? 常会遇到这样一类量? 它们既有大小? 又有方向? 例如力、力矩、位移、速度、加速度等? 这一类量叫做向量（或矢量）?

在数学上? 用一条有

第七章 向量代数与空间解析几何（1，2）

陈建英 上饶职业技术学院

第一节 向量及其线性运算（1、2）

教学目的：理解空间直角坐标系的概念;点的坐标；掌握空间两点的距离公式. 教学重点：空间中的点与三个有序实数的一 一对应关系 教学难点：点的坐标是空间点在坐标轴上的投影 教学形式：讲授法 教学时间：90分钟 教学过程

一、引入新课

立体几何中长方体的对角线计算公理及其常用的公理。 二、新授课

第一节向量及其线性运算 一﹚空间直角坐标系

1．空间直角坐标系Oxyz的概念，如（图7-1）

（1）坐标轴：横轴X轴、纵轴Y轴和

竖轴Z轴三条。

右手法则（遵守右手法则时各种坐标系的画法） 点O称为坐是原点

（2）坐标面：xOy面、yOz面和zOx面。 （图7-1） 2．空间内点的坐标，如（图7-2） （1）M在坐标轴上的投影； （2）点M的坐标M(x,y,z)；

例1 作出点P（2，-3，4）在坐标轴上的投影。

例2求点M（-1，3，-2）在各坐标轴上的投影及在各坐标面上的垂足的坐标。

向量代数与空间解析几何 *.* 向量代数的几个注意点

① 向量平移后，向量的坐标不变，这是因为向量的模和方向都不变

② 向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影（即向量的坐标）不同，前者是向量，后者是数量。

????③ 在向量代数中，若a?b?0, 则a;b中不一定有零向量.

?????? 若a?b?a?c,a?0 则c,b不一定相等.

④ 两向量的夹角指两向量正方向的夹角，其限制范围

??⑤ 两非零向量垂直 ?ab?0?0,??

，

??⑥ 两非零向量平行?a?b?0或对应坐标成比例，

⑦ 在解向量方程时，注意：

a）

由于向量没有除法运算，所以在方程中不能除以非零向量；

b） 向量的“乘法”由向量积与数量积之分，还有混合积； c） 向量积不满足交换律；

d） 向量积的模可计算面积，混合积可计算体积及向量共面。

*.* 空间解析几何的几个注意点：

1） 熟记直线、平面的各类方程及表达各种位置关系的有关公式 2） 点到直线距离 直线L过P点，

s为方向向量，

M到L距离

d?PM?ss

3） 公垂线长度 直线L1过P1，

s1 直线L2过P2，s2

d?P1P2?(s1?s2)s1?s2

向量代数与空间解析几何 *.* 向量代数的几个注意点

① 向量平移后，向量的坐标不变，这是因为向量的模和方向都不变

② 向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影（即向量的坐标）不同，前者是向量，后者是数量。

????③ 在向量代数中，若a?b?0, 则a;b中不一定有零向量.

?????? 若a?b?a?c,a?0 则c,b不一定相等.

④ 两向量的夹角指两向量正方向的夹角，其限制范围

??⑤ 两非零向量垂直 ?ab?0?0,??

，

??⑥ 两非零向量平行?a?b?0或对应坐标成比例，

⑦ 在解向量方程时，注意：

a）

由于向量没有除法运算，所以在方程中不能除以非零向量；

b） 向量的“乘法”由向量积与数量积之分，还有混合积； c） 向量积不满足交换律；

d） 向量积的模可计算面积，混合积可计算体积及向量共面。

*.* 空间解析几何的几个注意点：

1） 熟记直线、平面的各类方程及表达各种位置关系的有关公式 2） 点到直线距离 直线L过P点，

s为方向向量，

M到L距离

d?PM?ss

3） 公垂线长度 直线L1过P1，

s1 直线L2过P2，s2

d?P1P2?(s1?s2)s1?s2

第六章 空间解析几何与向量代数

第六章 空间解析几何与向量代数

第二十二讲 §6.1 向量及其运算

教学目的：理解向量的概念及其表示；掌握向量的运算，了解两个向量垂直、平行的条件；掌握空间直角坐标系的概念，能利用坐标作向量的线性运算；

教学重点与难点

重点：向量的概念及向量的运算。难点：运算法则的掌握 教学过程： 一、向量

既有大小又有方向的量称作向量

通常用一条有向线段来表示向量? 有向线段的长度表示向量的大小? 有向线段的方向表示向量的方向.

向量的表示方法有两种? a、AB?

向量的模：向量的大小叫做向量的模? 向量a、AB的模分别记为|a|、|AB|? 单位向量： 模等于1的向量叫做单位向量?

零向量： 模等于0的向量叫做零向量? 记作0?规定：0方向可以看作是任意的? 相等向量：方向相同大小相等的向量称为相等向量 平行向量（亦称共线向量）： 两个非零向量如果它们的方向相同或相反? 就称这两个向量平行?记作a // b?规定： 零向量与任何向量都平行?

二、向量运算 向量的加法

向量的加法? 设有两个向量a与b? 平移向量使b的起点与a的终点重合? 此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和? 记

第八章 空间解析几何与向量代数

教学目的：

1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。

3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

4、掌握平面方程和直线方程及其求法。

5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

6、点到直线以及点到平面的距离。

7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。

9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。

教学重点：

1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算；

2、两个向量垂直和平行的条件；

3、平面方程和直线方程；

4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件；

5、点到直线以及点到平面的距离；

6、常用二次曲面的方程及其图形；

7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；

8、空间曲线的参数方程和一般方程。

教学难点：

1、向量积的向量运算及坐标运算；

2、平面方程和直线方程及

第八章 空间解析几何与向量代数

教学目的：

1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。

3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

4、掌握平面方程和直线方程及其求法。

5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

6、点到直线以及点到平面的距离。

7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。

9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。

教学重点：

1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算；

2、两个向量垂直和平行的条件；

3、平面方程和直线方程；

4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件；

5、点到直线以及点到平面的距离；

6、常用二次曲面的方程及其图形；

7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；

8、空间曲线的参数方程和一般方程。

教学难点：

1、向量积的向量运算及坐标运算；

2、平面方程和直线方程及