二维弹性力学问题的有限元法求解

第二章 平面问题的有限元法

实际工程问题，在进行适当简化后，可看成平面问题。平面问题分平面应力问题和平面应变问题。 平面问题比较简单，容易理解。因此，本章以平面问题为研究对象，阐明有限元法的基本概念、理论和求解的一般步骤。

第一节 两种平面问题

任何一个实际结构或构件都是空间物体，外力也都是空间力系。因此，严格地说，任何实际问题都是空间问题，应该考虑所有的应力、应变和位移分量。但是，如果所研究的结构或构件具有特殊的几何形状，承受某种特殊的外力和几何约束，就可以对其进行简化，如简化为平面问题。在平面问题中，忽略一些应力或应变分量，其余的则只是坐标x、y的函数。这样，可以使分析计算工作量大为减少。

一、平面应力问题

属于平面应力问题的弹性体，其几何形状是等厚度薄板，受到平行于板面且沿板厚t均匀分布的外力作用，前、后板面为自由表面。研究这种薄板时，坐标面xoy总是取在平分板厚的中面内，z轴垂直于板面，如图2-1a所示。

Y t O Z （a）

X

?y ?yx ?xy ?x

(b)

图2-1

由于板面是自由表面，故在z=±t

弹性力学基础及有限单元法 课件旨在帮助学者通过本文件更快地掌握弹性力学基础及有限元法基础知识 仅供参考

有限元法与实践-1 Finite Element Method (FEM) & the Practice

Mechanics-Elasticity - Finite Element Method (FEM)Elasticity-FEM & ANSYS-1

绪论：力学-弹性力学-有限元法

内蒙古科技大学 机械工程学院 刘学杰 2015-03

弹性力学基础及有限单元法 课件旨在帮助学者通过本文件更快地掌握弹性力学基础及有限元法基础知识 仅供参考

Introduction: Outline 课程概要

1. Introduction of this course

2. The mechanics and the elasticity 3. The basic problems and the methods of the elasticity

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The study in University

Taking courses, and doin

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有限元法与实践-1 Finite Element Method (FEM) & the Practice

Mechanics-Elasticity - Finite Element Method (FEM)Elasticity-FEM & ANSYS-1

绪论：力学-弹性力学-有限元法

内蒙古科技大学 机械工程学院 刘学杰 2015-03

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Introduction: Outline 课程概要

1. Introduction of this course

2. The mechanics and the elasticity 3. The basic problems and the methods of the elasticity

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The study in University

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弹性力学及有限元法学习总结

摘要：本文就弹性力学的研究对象与方法，弹性力学的基本假设，研究方法，有限元法的基本思想，数学基础，有限元分析的基本步骤进行阐述。

正文：弹性力学是固体力学的一个分支学科，是研究固体材料在外部作用下（外部作用一般包括：荷载、 温度变化以及固体边界约束改变） ，弹性变形及应力状态的一门学科。

弹性力学的研究对象：

材料力学--研究杆件（如梁、柱和轴） 材料力学 的拉压、弯曲、剪切、扭转和组 合变形等问题。

结构力学--在材料力学基础上研究杆系结构 结构力学 （如 桁架、刚架等）。 弹性力学--研究各种形状的弹性体，如杆 弹性力学 件、平面体、空间体、板壳、薄壁 结构等问题。 弹性力学研究方法：

在研究方法上，弹力和材力也有区别： 弹力研究方法 ：在区域V内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，建立 三套方程; 三套方程 在边界s上考虑受力或约束条 件，建立边界条件 并在边界条件下求解上 边界条件; 边界条件 述方程，得出较精确的解答。 弹性力学的基本假设：

1）连续性，假定物体是连续的。 连续性 因此，各物理量可用连续函数表

示。

2）均匀性与各向同性假设 假定固体材料是均匀的，并且在各个方向上物理

特性相同，也即

《弹性力学及有限元》教学大纲

大纲说明

课程代码：5125004 总学时：40学时（讲课32学时，上机8学时） 总学分：2.5学分 课程类别：必修

适用专业：土木工程专业（本科） 预修要求：高等数学、理论力学、材料力学

课程的性质、目的、任务：

本课程是土木工程专业限选修的一门专业基础课。本课程的教学目的，是使学生在理论力学和材料力学等课程的基础上进一步掌握弹性力学的基本概念、原理和方法，了解弹性力学问题的求解思路、方法和解答，为学习相关专业课程打下初步的弹性力学基础。在此基础上，使学生掌握有限单元法的基本概念、理论、方法，了解和应用ANSYS大型结构分析程序求解简单的弹性力学问题。 课程教学的基本要求：

本课程教学环节主要包括：课堂讲授、习题课、作业、答疑、上机计算、考试。采用课堂授课方式，重点章节安排习题课。课后布置一定量的习题，以便掌握弹性力学与有限单元法的基本概念、原理和方法，用弹性力学的求解方法及大型结构分析有限单元程序求解简单的弹性力学问题。考试采用开卷方式。 大纲的使用说明：

本大纲适用于土木工程本科专业40课时的《弹性力学及有限元》课程.

大纲正文

第一

一个最基本的有限元计算程序

胡金山,朱青云,余治国

（西安空军工程大学工程学院,西安710038）

我们在学习有限元课程时做的另一个作业，用C/C++编程求解了一个简单的有限元问题，可以作为有限元学习的编程实例，以更好地理解有限元理论，并为进一步使用大型有限元软件打下基础。本文所涉及的有限元基本理论请参考章本照先生编著的<<流体力学中的有限元方法>>, PP.156-165。源代码下载：FemSrc.zip

一．二维传热问题

二．解题过程

1、对结构进行离散化，将待分析的结构物从几何上用线或面划分为有限个单元，按结构物的不同和分析要求，选取不同形式的单元，在单元的边界上设置节点，并书写编号。计算节点坐标

2、单元分析：设法导出单元的结点位移和结点力之间的关系，建立单元刚度矩阵。 单元刚度矩阵的计算：

对于方程

?????????=??=Ω∈=??+??ΓΓg n u u u y x p y u x

u 21||),(2222

采用 Galerkin 弱解表达式

?????ΩΓΩΓ=Ω+Ω??????????+????2)()(uud g uud p d y uu y u x

uu x u δδδδ （*） 这里采用三节点的三角形单元，单元的基函数共有三个，选用插值

1、简述有限单元法常分析的问题。

答：有限单元法是一种用于连续场分析的数值模拟技术，他不仅可以对机械、建筑结构的位移场和应力场进行分析，还可以对电磁学中的电磁场、传热学中的温度场、流体力学中的流体场进行分析。

2、在有限单元法中，位移模式应满足哪些基本条件。

答：1位移函数在单元节点的值应等于节点位移（即单元内部是连续的）

2所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解

3、简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。

答：对称矩阵 奇异矩阵 稀疏矩阵 具有相对独立性 4、简述有限单元法中单元刚度矩阵的性质。

答：1．单元刚度矩阵是对阵矩阵

2．单元刚度矩阵的主对角线元素恒为正值 3．单元刚度矩阵是奇异矩阵 4．单元刚度矩阵仅与本身有关

5、简述有限元法中选取单元位移函数（多项式）的一般原则。 答：必须假定一个函数，所假定的位移函数必须满足两个条件：其一，它在单元节点上的值应等于节点位移；其二，由该函数出发得到的有限元解收敛于真实解。

6、要保证有限单元法计算结果的收敛性，位移函数必须满足那些条件？

答：1、完备性条件：要求单元的位移函数必须能够满足刚性位移和常量应变状态

2、协调性条件：

弹性力学有限元大作业

一、模型信息：

已知：材料为铝合金。E=71GPa，v=0.3.

矩形平板的几何参数：板长为480mm，宽为360mm，厚度为2mm；图形如下图；

加肋平板：

二、matlab编程实现

1、程序相关说明：

计算使用的软件为：matlab2010a 主函数：main.m 主要计算部分

子函数：Grids.m 生成网格，节点数为：、单元数： 2*I*J （I+1）*（J+1）AssembleK.m 将单元刚度矩阵组装成总刚度矩阵（叠加方法）

GenerateB.m 生成单元格Be矩阵 GenerateS.m 生成单元格Se矩阵 GenerateK.m 生成单元刚度矩阵

2、网格划分：

利用Grid.m子函数，取I?20、J?20，即可以得到网格如下： 节点数为：441个，单元格数：800个

3、计算过程及结果 （1）、网格划分：通过Grid.m，生成节点数为：441个、单元格数：800个的网格 （2）、生成总刚度矩阵K：通过GenerateK.m 、AssembleK.m生成总刚度矩阵 采用常应变三角单元，u?Neae,易得Be=LNe

???1?0

弹性力学与有限元分析2(清华大学)

弹性力学及有限元基础

弹性力学与有限元分析2(清华大学)

讲员介绍：主讲：邢沁妍 Tel: 62795029 (O) (土木系馆213) E-mail: xingqy@助教：聂鑫博士 Tel: 62794019(土木系结构实验室200a) E-mail: nienie12@2

弹性力学与有限元分析2(清华大学)

第一章绪论1.弹性力学研究的对象研究一般弹性体(二维、三维结构，板壳结构)在外界因素作用下的应力、变形和位移问题。

弹性力学与有限元分析2(清华大学)

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材力解答：Myσ= I

弹力解答：My y y2 3σ=+ q (4 2 ) I h h 5

(细长杆)平截面假定

精确解，没有假设。

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材力解答：

q q

q

弹力解答：

q 3q q

q

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2.课程主要内容平面问题基本理论平面问题的若干典型解答空间问题基本理论及典型解答薄板弯曲问题变分法有限元法7

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3.弹性力学的分析方法在外界因素影响下，弹性体内产生的应力、变形和位移(基本未知量)是坐标的连续函数，为无限自由度问题。

精确解法求解描述弹性体性质的偏微分

%%%%% 真解 u=sin(pi*x)*sin(pi*y)*sin(t) %%%%% 方程 diff(u,t)-Laplace(u)=f

%%%%% f=sin(pi*x)*sin(pi*y)*cos(t)+2*pi^2*sin(pi*x)*sin(pi*y)*sin(t) %clear all % clc

%%%%finite element code for parabolic equation with constant coefficient %%%mesh%%

node=[0,0;1,0;1,1;0,1]; elem=[2,3,1;4,1,3]; T=1;

bdEdge=setboundary(node,elem,’Dirichlet’); n=input(‘Please input initial mesh:’); M=input(‘M=’); for i=1:n

[node,elem,bdEdge]=uniformrefine(node,elem,bdEdge); end

N=size(node,1); NT=size(elem,1); S=1/NT; r=1/M;

A=zeros(N,N); u=zeros(N,M+1)