微分几何题库答案

《微积分几何》复习题 本科 第一部分：练习题库及答案

一、填空题（每题后面附有关键词；难易度；答题时长）

第一章

1．已知a?(1,1,?1),b?(1,0,?1)，则这两个向量的夹角的余弦cos?=

63

2．已知a?(0,1,?1),b?(1,0,?1)，求这两个向量的向量积a?b?(-1,-1,-1)． 3．过点P(1,1,1)且与向量a?(1,0,?1)垂直的平面方程为X-Z=0 4．求两平面?z?1的交线的对称式方程为x?1?y?z?11:x?y?z?0与?2:x?y?23?1?2

5．计算lim[(3t2?1)i?t3t?2j?k]?13i?8j?k．

6．设f(t)?(sint)i?tj，g(t)?(t2?1)i?etj，求limt?0(f(t)?g(t))? 0 ．

7．已知r(u,v)?(u?v,u?v,uv)，其中u?t2，v?sint，则drdt?(2t?cost,2t?cost,2vt?ucost)

8．已知??t，??t2，则

dr(?,?)dt?(?asin?cos??2atcos?sin?,?asin?sin??2atcos?cos?,acos?)

469．已知?r(t)dt?(?1,2,3)，?r(t

微分几何试题库 选择题

二．单项选择题

1．P(t0)是曲线r=r(t)上一点，P1是曲线上P点附近的一点，

?S为弧PP1的长，??为曲线在P点和P1点的切向量的夹角，k(s) 是曲线在P点的曲率。则下面 不等于???lims?0|?s|。 ① k(t0) ② |r(t0)| ③ |?(t0)| ④ ?(t0) 2．曲线r=r(s)在P点的基本向量为?，?，?。 在P点的

曲率k(s)，挠率为?(s)，则?= 。

① k(s)? ② -k(s)?+?(s)?

③ -?(s)? ④ k(s)?-?(s)? 3．曲线r=r(s)在P（s）点的基本向量为?，?，?。 在P点的曲率k(s)，挠率为?(s)，则?= .

① k(s)? ② ?(s)? ③-k(s)?+?(s)? ④ -?(s)?

12

4.

微分几何试题库 填空题

一．填空题

1．向量函数r?r(t)对任意t有r'(t)? r(t)的充要条件是 。 2．向量函数

r?r(t)具有固定长，则r'(t)?r(t)= 。

3．向量r?{cost,sint,?et}具有固定长，则?= 。 4． 函数r(t)关于t的旋转速度等于其微商的模|r'(t)|。 5．非零向量r(t)对任意是 。

6．向量r?{t,3t,a}具有固定方向，则a = 。

7．非零向量r(t)平行于固定平面的充要条件是 。 8．非零向量

t

有则r't()?r(t)=0的充要条件

r(t)满足(r,r'?r,'其充要条件是，

r(t) 。

9．非零向量函数

r?r(t)具有固定方向，则r'(t)?r(t)= 。

10．对光滑

微分几何试题库 选择题

二．单项选择题

1．P(t0)是曲线r=r(t)上一点，P1是曲线上P点附近的一点，

?S为弧PP1的长，??为曲线在P点和P1点的切向量的夹角，k(s) 是曲线在P点的曲率。则下面 不等于???lims?0|?s|。 ① k(t0) ② |r(t0)| ③ |?(t0)| ④ ?(t0) 2．曲线r=r(s)在P点的基本向量为?，?，?。 在P点的

曲率k(s)，挠率为?(s)，则?= 。

① k(s)? ② -k(s)?+?(s)?

③ -?(s)? ④ k(s)?-?(s)? 3．曲线r=r(s)在P（s）点的基本向量为?，?，?。 在P点的曲率k(s)，挠率为?(s)，则?= .

① k(s)? ② ?(s)? ③-k(s)?+?(s)? ④ -?(s)?

12

4.

课程考核

参考答案及评分标准

考试课程：微分几何 学年学期：2006-2007-1 试卷类型：B 考试时间：2006-12- 适用专业：民族学院数学与应用数学专业2004级1班 层次：本科

一、选择题（每小题2分共10分） 1 (A)；2 (C)；3 (B)；4 (D)；5 (C)。

二、填空题（每小题2分共10分）

1、已知r=(2x?2,2x?2,3x),0

2、已知曲面r=(ucosv, usinv,6v),u>0, 0≤v<π/2, 则它的高斯曲率K= ?36/(u2+36)2 ；

3、Γ：r=(acost, asint, et)的切向量是 (?asint, acost, et) ；

4、曲面上切向du:dv是主方向的条件，用dn与dr的关系表示为，沿方向du:dv成立 dn=λdr ； 5、极小曲面的中曲率为 0 。

三、判断题（每小题2分共10分） 1 (?)；2 (╳)；3 (╳)；4 (?)；5 (?)。

四、计算题（每小题5分共40分）

1、计算z=xy上的曲率线方程；

(提示：曲率线的方程为： dv2 ?dudv du2

课程考核

参考答案及评分标准

考试课程：微分几何 学年学期：2006-2007-1 试卷类型：B 考试时间：2006-12- 适用专业：民族学院数学与应用数学专业2004级1班 层次：本科

一、选择题（每小题2分共10分） 1 (A)；2 (C)；3 (B)；4 (D)；5 (C)。

二、填空题（每小题2分共10分）

1、已知r=(2x?2,2x?2,3x),0

2、已知曲面r=(ucosv, usinv,6v),u>0, 0≤v<π/2, 则它的高斯曲率K= ?36/(u2+36)2 ；

3、Γ：r=(acost, asint, et)的切向量是 (?asint, acost, et) ；

4、曲面上切向du:dv是主方向的条件，用dn与dr的关系表示为，沿方向du:dv成立 dn=λdr ； 5、极小曲面的中曲率为 0 。

三、判断题（每小题2分共10分） 1 (?)；2 (╳)；3 (╳)；4 (?)；5 (?)。

四、计算题（每小题5分共40分）

1、计算z=xy上的曲率线方程；

(提示：曲率线的方程为： dv2 ?dudv du2

《微分几何》复习题与参考答案

一、填空题

1．极限lim[(3t2?1)i?t3j?k]?13i?8j?k．

t?22．设f(t)?(sint)i?tj，g(t)?(t2?1)i?etj，求lim(f(t)?g(t))? 0 ．

t?03．已知?r(t)dt=??1,2,3?， ?r(t)dt=??2,1,2?，a??2,1,1?，b??1,?1,0?，则

2446?42a?r(t)dt+b??a?r(t)dt=?3,?9,5?.

264．已知r?(t)?a（a为常向量），则r(t)?ta?c．

15．已知r?(t)?ta，（a为常向量），则r(t)? t2a?c．

26. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ .

9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线r?r(t)在t = 2处有??3?，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点

微分几何与伴随着微分几何的发展而创立的张量分析是掌握广义相对论的基础工具。也由于广义相对论的成功，使一向冷僻的微分几何成为数学的中心学科之一。

从微积分发明起，微分几何的萌芽就诞生了。但是Euler、Clairaut和Monge的工作才真正使微分几何成为独立学科。Euler在关于测地学的工作中逐步得出重要得研究，并对法曲率的计算得出著名的Euler公式。Clairaut研究了曲线的曲率和挠率，Monge发表了《分析应用于几何的活页论文》，将曲线与曲面的重要性质用微分方程表示，使得经典微分几何的发展到达一个高峰期。Gauss在测地学的研究中，经过繁杂的计算，于 1827年发现了曲面的两个主曲率乘积与它在外围的Euclidean空间中的形状无关，仅仅取决于其第一基本形式，这个结果被Gauss得意地称为是绝妙定理，从而创立了内蕴几何，把曲面的研究从外围空间中解脱出来，将曲面自身作为一个空间来研究。1854年Riemann作了《关于几何基础的假设》，推广了 Gauss在 2维曲面的内蕴几何，从而发展出n维Riemann几何，随着多复变函数的发展。一批优秀数学家将微分几何的研究对象扩展到复流形，再拓展到包含奇点的复解析空间理论。微分几何的每一步前进所

整理的题目,期末可以练练

一、填空题：

1．设有曲线x etcost,y etsint,z et，则当t 0时的切线方程为x 1 y z 1。 2．设曲面S:r r(u,v)的第一基本形式为I du sinhudv，则其上的曲线u v从

2

2

2

et e t

（这里sinht ） v v1到v v2的弧长为|sinhv1 sinhv2|。

2

3．设曲面S:r r(u,v)在某点处的第一基本量为E G 1,F 0，第二基本量为，则曲面在该点沿方向(d) (1:2)的法曲率为kn L a,M 0,N b

a 4b

。 5

4．设曲面S:r r(u,v)在某点处的第一类基本量为E 1,G 1，且曲面在该点的切向量

ru,rv相互平行，则F在该点等于 5．设曲面S:r r(u,v)在某点处的第二基本量为L 1,M 0,N 1，则曲面在该点的渐近方向为(d) (1: 1)。

6．设曲面的参数表示为r r(u,v)，则|ru r

v| 7．曲线x tsin

t,y tcost,z te在原点的切向量为α

(0,

t

，主法向量为22

β

、副法向量为γ 二、计算题

1．圆柱螺线的参数表示为r (cost,sint,t)。计算它在(1,0,0)点的切线、密切平面、法平面方程以及在任意点

《微分几何》复习题与参考答案

一、填空题

1．极限lim[(3t2?1)i?t3j?k]?13i?8j?k．

t?22．设f(t)?(sint)i?tj，g(t)?(t2?1)i?etj，求lim(f(t)?g(t))? 0 ．

t?03．已知?r(t)dt=??1,2,3?， ?r(t)dt=??2,1,2?，a??2,1,1?，b??1,?1,0?，则

2446?42a?r(t)dt+b??a?r(t)dt=?3,?9,5?.

264．已知r?(t)?a（a为常向量），则r(t)?ta?c．

15．已知r?(t)?ta，（a为常向量），则r(t)? t2a?c．

26. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ .

9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线r?r(t)在t = 2处有??3?，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点